Erros nas medidas

Unidades e medidas

Sistema Internacional
de Unidades

Símbolos das grandezas 
físicas

Erros nas medidas

A balança

O paquímetro

Medida da área de 
uma figura retangular

Regras para expressar uma medida e seu erro

Medidas diretas

Medidas indiretas

Referências

Regras para expressar uma medida e seu erro

Toda medida deve ser seguida por uma unidade, podendo ser do Sistema Internacional de Unidades de medida.

Quando um físico mede algo deve ter grande cuidado para não produzir uma perturbação no sistema que está sob observação. Por exemplo, quando medimos a temperatura de um corpo, colocamos este em contato com um termômetro. Porém quando colocamos juntos, alguma energia ou "calor" é trocado entre o corpo e o termômetro, dando como resultado uma pequena variação na temperatura do corpo que desejamos medir. Assim, o instrumento de medida afeta de algum modo a quantidade que desejamos medir

Além disso, todas as medidas estão afetadas em algum grau por um erro experimental devido as imperfeições inevitáveis do instrumento de medida, ou das limitações impostas por nossos sentidos que devem registrar a informação.

1.-Todo resultado experimental ou medida feita no laboratório deve ser acompanhada do valor estimado do erro da medida e da unidade empregada.

Por exemplo, ao medir uma certa distância obtemos

 297±2 mm.

Deste modo, entendemos que a medida desta grandeza tem um valor que está entre 295 mm e 299 mm. Na realidade, a expressão anterior não significa estamos seguro de que o valor verdadeiro está entre os limites indicados, existe uma certa probabilidade de que está no intervalo.

Uma medida de uma velocidade expressa da forma

6051.78±30 m/s

é completamente ridícula, já que o algarismo das dezenas pode ser tão pequena como 2 ou tão grande como 8. O algarismo que vem  depois 1, 7 e 8 não tem significado e devem ser arredondados. A expressão correta é

6050±30 m/s

Uma medida de 92.81 com um erro de 0.3, é expresso

92.8±0.3

Com um erro de 3, é expresso

93±3

Com um erro de 30 é expresso

90±30

2.- Os erros devem ser dados somente com um único algarismo significativo. Unicamente, em casos excepcionais, podemos dar com dois algarismos significativos (o segundo algarismo deve ser 5 ou 0).

3.-O último algarismo significativo no valor de uma grandeza física e seu erro, expresso nas mesmas unidades, devem corresponder a mesma ordem de grandeza (centenas, dezenas, unidades, décimos, centésimos).

• Expressões incorretas pela regra 2

 24567±2928 m

23.463±0.165 cm

345.20±3.10 mm

•  Expressões incorretas pela regra 3.

24567±3000 cm

43±0.06 m

345.2±3 m

•  Expressões corretas

 24000±3000 m

23.5±0.2 cm

345±3 m

43.00±0.06 m

Medidas diretas

Um experimentador que faz a mesma medida várias vezes não obterá, em geral, o mesmo resultado, não só por causas imponderáveis como variações imprevistas das condições de medida: temperatura, pressão, umidade, etc., também, pelas variações nas condições de observação do experimentador.

Se ao determinar uma grandeza por medida direta realizamos várias medidas com o fim de corrigir os erros aleatórios, os resultados obtidos são x₁, x₂, ... x_n é adotado como melhor estimativa do valor verdadeiro, o valor médio <x>, que é dado por

O valor médio, se aproximará tanto mais do valor verdadeiro da grandeza quanto maior for o número de medidas, já que os erros aleatórios de cada medida vão se compensando uns com os outros. Na prática, o número de medidas deve ser em geral 10 ou mesmo 4 ou 5.

Quando a sensibilidade do método ou dos aparelhos utilizados é pequena comparada com a magnitude dos erros aleatórios, pode ocorrer que a repetição da medida nos dê sempre o mesmo resultado; neste caso, está claro que o valor médio coincidirá com o valor medido em uma só medida, e não é obtido nada de novo na repetição da medida e do cálculo do valor médio, por isto somente será necessário neste caso fazer uma só medida.

De acordo com a teoria de Gauss dos erros, que supõe que estes sejam produzidos por causas aleatórias, é tomado como a melhor estimativa do erro, o chamado erro quadrático definido por

 O resultado do experimento é expresso como

 <x>±Dx e a unidade de medida

4.-A identificação do erro de um valor experimental como o erro quadrático obtido de n medidas diretas consecutivas, somente é válido no caso de que o erro quadrático seja maior que o erro instrumental, aquele que vem definido pela resolução do aparelho de medida.

É evidente, por exemplo, tomando o caso mais extremo, que se o resultado das n medidas seja o mesmo, o erro quadrático, de acordo com a fórmula será zero, porém isto não quer dizer que o erro da medida seja nulo. Caso, que o erro instrumental é tão grande, que não permite observar diferenças entre as diferentes medidas, e portanto, o erro instrumental será o erro da medida.

Exemplos:

O seguinte applet pode ser utilizado para calcular o valor médio de uma série de medidas e o erro quadrático. Introduza cada uma das medidas no controle área de texto do applet, clique na tecla RETORNO ou ENTER após introduzir cada medida, deste modo as medidas aparecem em uma coluna. Continuando, clique no botão titulado Calcular. O botão titulado Apagar limpa a área de texto e o prepara para a introdução de outra série de medidas.

1. Se ao fazer uma medida da intensidade de corrente com um amperímetro digital cuja menor divisão é de 0.01 A, e a leitura da corrente 0.64 A, e esta leitura é constante (não é observado variações ao medir em diferentes instantes), tomaremos 0.64 como o valor da medida 0.01 A como seu erro. A medida será expressa assim

0.64±0.01 A

2. Suponha que medimos um determinado intervalo de tempo, t, quatro vezes, e dispomos de um cronômetro que permite conhecer até a décimos de segundo. Os resultados são: 6.3, 6.2, 6.4 e 6.2 s. De acordo com o que foi dito anteriormente, tomaremos como o valor da medida o valor médio:

 O erro quadrático será

Este erro é expresso com um só algarismo significativo, (regra 2), Dt=0.05 s. Porém o erro quadrático é menor que o erro instrumental, que é 0.1 s, portanto devemos tomar este último como o erro da medida, e arredondar em conseqüência o valor médio, (regra 3) e o resultado final da medida é

t=6.3±0.1 s

3. Consideremos um exemplo similar ao anterior, porém os valores obtidos para o tempo estão mais dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 e 6.5 s. Encontramos que o valor médio é 5.975, e o erro quadrático 0.2286737. O erro quadrático é neste caso maior que o erro instrumental, portanto devemos tomá-lo como o erro da medida. Seguindo a regra 2, devemos arredondar a 0.2 (um só algarismo significativo), e de acordo com a regra 3 (a medida e o erro com o mesmo número de decimais), expressamos a medida finalmente como

 t=6.0±0.2 s

Erro absoluto e erro relativo

Os erros que temos falado até agora são os erros absolutos. O erro relativo é definido como o quociente entre o erro absoluto e o valor médio. Logo

onde <x> é tomado em valor absoluto, de forma que e é sempre positivo.

O erro relativo é um índice da precisão da medida. É normal que a medida direta ou indireta de uma grandeza física com aparelhos convencionais tenham um erro relativo da ordem de um por cento ou maior. Erros relativos menores são possíveis, porém não são normais em um laboratório escolar.

Medidas indiretas

Em muitos casos, o valor experimental de uma grandeza é obtido, de acordo com uma determinada expressão matemática, a partir de medida de outras grandezas da qual ela depende. Tratamos de conhecer o erro da grandeza derivada a partir dos erros das grandezas medidas diretamente.

Funções de uma só variável

Se desejamos calcular o índice de refração n de um vidro com o ângulo crítico θ, temos que n=1/senθ. Se medimos o ângulo θ é fácil calcular o índice de refração n. Porém se conhecemos o erro da medida do ângulo, necessitamos conhecer o erro do índice de refração.

Seja uma função y=y(x). Como vemos na figura, se o erro Δx é pequeno. O erro Δy é calculado do seguinte modo

Δy=tanθ·Δx

Porém tanθ é a inclinação da reta tangente a curva no ponto de abscissa x

Como a inclinação pode ser positiva, se a função é crescente ou negativa se a função é decrescente, em geral temos que

Seja y=cos x

Seja x=20±3 º,

y=cos20=0.9397

O erro Δx=0.05 rad

Δy=|sen20|·0.05=0.02

y=0.94±0.02

Um exemplo importante e corriqueiro no laboratório sobre as medidas indiretas é o seguinte:

4. Suponhamos que queremos medir o período P de um oscilador, o tempo gasto para efetuar uma oscilação completa, e dispomos de um cronômetro que mede décimos de segundo, 0.1 s. Medimos o tempo gasto para fazer 10 oscilações, por exemplo 4.6 s, dividindo este tempo por 10 resulta P=0.46 s, que é o período "médio".

 

 Obtemos para o erro DP=0.01 s. Por tanto, a medida podemos expressar como

P=0.46±0.01 s

É evidente, que podemos aumentar indefinidamente a resolução instrumental para medir P aumentando o número de períodos que incluímos na medida direta de t. O limite está em nossa paciência e na crescente probabilidade de cometer erros quando contamos o número de oscilações. Por outra parte, o oscilador não se mantém com a mesma amplitude indefinidamente, parando ao cabo de um certo tempo.

Funções de várias variáveis

A grandeza y é determinada pela medida de várias grandezas p, q, r, etc., como a que está ligada por uma função

 y=f(p, q, r ...).

O erro da grandeza y é dado pela seguinte expressão.

Casos mais freqüentes

5. A medida dos lados de um retângulo são 1.53±0.06 cm, e 10.2±0.1 cm, respectivamente. Calcular a área do retângulo e o erro da medida indireta.

A área é z=1.53×10.2=15.606 cm²

O erro relativo da área Dz/z é obtido aplicando a fórmula do produto de duas grandezas.

O erro absoluto com um só algarismo significativo é 0.6. De acordo com a regra 3, a medida da área junto com o erro e a unidade é escrito como

15.6±0.6 cm²

Funções de duas variáveis

Queremos calcular a aceleração da gravidade g, medindo o período P de um pêndulo de comprimento l

• O período de um pêndulo

 

A expressão do erro Δg da variável dependente g

Suponhamos que medimos o período P e o comprimento l do pêndulo

P=1.396±0.004 s
l=92.95±0.1 cm

Calculamos a aceleração da gravidade e o erro

g=979.035 cm/s²
Δg=4.28

Expressamos corretamente a medida de g como

979±4 cm/s²

• Lei de Snell da refração

Cálculo do erro da medida do índice de refração n.

Seja i=20±1 º e r=13±1 º

É calculado o índice de refração e o erro

 n=1.52
Δn=0.136

Expressamos corretamente a medida de n como

n=1.5±0.1