Fenômenos de transporte

Difusão

Difusão

Medida do coeficiente 
de difusão

Simulação da difusão

Movimento browniano

Sedimentação

Constante Boltzmann

Difusão unidimensional

Difusão de sal em água

Difusão bidimensional. Gota de tinta

Referências

Código fonte

Lei de Fick

A experiência nos demonstra que quando abrimos um frasco de perfume ou de qualquer outro líquido volátil, podemos sentir rapidamente em um recinto fechado. Dizemos que as moléculas do líquido depois de evaporar-se se difundem pelo ar, distribuindo-se em todo o espaço circundante. O mesmo ocorre se colocarmos um pouco de açúcar em um vaso de água, as moléculas de sacarose se difundem por toda a água. Estes e outros exemplos nos mostram que para que aconteça o fenômeno da difusão, a distribuição espacial de moléculas não deve ser homogênea, deve existir uma diferença, ou gradiente de concentração entre dois pontos do meio.

Suponhamos que sua concentração varia com a posição ao longo do eixo X. Chamemos J a densidade de corrente de partículas, logo, ao número efetivo de partículas que atravessam na unidade de tempo uma área unitária perpendicular a direção na qual tem lugar a difusão. A lei de Fick afirma que a densidade de corrente de partículas é proporcional ao gradiente de concentração

A constante de proporcionalidade é denominada coeficiente de difusão D e é característico tanto do soluto como do meio no qual se dissolve.

A acumulação de partículas na unidade de tempo que é produzida no elemento de volume S·dx é igual a diferença entre o fluxo que entra JS, menos o fluxo que sai J’S, logo

A acumulação de partículas na unidade de tempo é

Igualando ambas as expressões e utilizando a Lei de Fick obtemos

Equação diferencial em derivadas parciais que descreve o fenômeno da difusão . Se o coeficiente de difusão D não depende da concentração

Difusão unidimensional

Vamos considerar o problema da difusão unidimensional de uma massa M de soluto, situada na origem de um meio unidimensional representado pelo eixo X.

A solução da equação diferencial nos dá a concentração nos pontos x do meio em cada instante de tempo t.

A qual podemos comprovar por simples substituição na equação diferencial

No programa interativo, cada vez que é introduzido o valor do tempo, é traçado na janela da simulação a função n(x,t). Podemos observar que a área sob a curva em qualquer instante é a mesma para todos os gráficos. Como podemos comprovar

Para isto, é empregado o resultado da integral

Deslocamento medio quadrático

Integramos por partes

Debaixo de cada curva, é traçado um segmento cujo comprimento é igual ao dobro da raiz quadrada da media dos quadrados dos deslocamentos das partículas e medimos o comprimento efetivo das partículas no meio.

Vamos estudar dois tipos de difusão

1. Gás em ar, supomos gases ideais. Nesta aproximação, o coeficiente de difusão é mantido constante e não varia com a concentração.

2. De um soluto sólido em um dissolvente, o coeficiente de difusão é sensível a concentração, embora supormos dissoluções diluídas. Para baixas concentrações, o coeficiente de difusão é mantido aproximadamente constante.

Nos dois exemplos de difusão, de um gás no ar, ou de um soluto em água (líquido), supomos conhecida a relação entre a ordem de grandeza do coeficiente de difusão e a escala de comprimento ou de tempo no qual transcorrem ambos os fenômenos.

Atividades

• Escolha o soluto e o dissolvente.  São apresentados dois grupos: gases e vapores no ar no qual o expoente do coeficiente de difusão é -4, e soluções aquosas no qual o expoente do coeficiente de difusão é -9.

Gases e vapores no ar
1	Hidrogênio	0.64 10-4
2	Oxigênio	0.18 10-4
3	Álcool	0.10 10-4
4	Benzeno	0.08 10-4
Soluções aquosas
5	Açúcar	0.36 10-9
6	Sal comum	1.10 10-9
7	Álcool	0.80 10-9

• O instante t, em horas (Gases e vapores) ou em dias (Soluções aquosas), no qual desejamos representar a distribuição de concentração n(x, t) de cada ponto x do meio unidimensional, no controle de edição ou atuando na barra de deslocamento titulada Tempo.

Clique no botão titulado Gráfico.

São representados a concentração n(x, t) de cada ponto x do meio unidimensional no instante atual (em cor vermelha) e no instante previamente introduzido (em cor azul).
 

Questões

Debaixo da curva é traçados um segmento que mede o comprimento efetivo das partículas de soluto no dissolvente. Na parte superior direita, é proporcionado o valor numérico do comprimento deste segmento.

Comparar a difusão em dois casos pertencentes ao mesmo grupo, medindo o comprimento efetivo do soluto no dissolvente nos mesmos instantes.

Comparar a difusão de um gás no ar e de uma solução aquosa, medindo a extensão efetiva do soluto no dissolvente nos mesmos instantes. As unidades de medida do eixo X estão marcadas em dm.

Difusão do sal na água

O exemplo seguinte, explica as características essenciais da mistura em um estuário, da água salgada procedente do mar com a água de um rio.  A água do rio menos densa flui sobre a água do mar. Há por tanto, uma descontinuidade na densidade com a profundidade, devido as diferenças de salinidade.

Consideremos a seguinte distribuição unidimensional da concentração

c=c₀ para x<0
c=0, para x>0

no instante t=0.

A solução da equação da difusão é

A função erro é definida

D=1.484·10^-9 m²/s é o coeficiente de difusão do sal em água pura

Atividades

Introduza

• O coeficiente de difusão D, multiplicado por 10^-9 m²/s, atuando na barra de deslocamento titulada Coeficiente difusão

• O instante t, em horas, no qual desejamos representar a distribuição de concentração c(x, t)/ c₀ de cada ponto x do meio unidimensional, no controle de edição o atuando na barra de deslocamento titulada Tempo.

Clique no botão titulado Gráfico

É representada a concentração c(x, t)/ c₀ de cada ponto x do meio unidimensional no instante atual (em cor vermelha) e no instante previamente introduzido (em cor azul).

Na parte inferior, a concentração de cada ponto x do meio unidimensional, em cores da escala do vermelho. A cor vermelho intenso, equivale a máxima concentração c=1, e a cor branco a mínima c=0.

Difusão bidimensional. Gota de tinta

Uma gota de tinta de raio a é posta em um recipiente de água de raio R, sendo a<<R. A profundidade da água é pequena, da ordem de 1 cm, de modo que a gota de tinta alcança o fundo do recipiente rapidamente e o movimento da tinta é determinado pelo processo de difusão unicamente.

O processo de difusão bidimensional da tinta na água é descrito mediante a seguinte equação.

onde D é o coeficiente de difusão da tinta em água e n é a concentração de tinta.

No instante inicial t=0, a tinta está distribuída homogeneamente na água dentro de um círculo de raio a. n=n0 para r≤a n=0 para r>a

A solução da equação diferencial é (veja o artigo citado nas referências)

onde I₀(x) é a função modificada de Bessel de ordem zero. Fazendo a mudança de variável

Obtemos a equação

que é independente do raio a da gota e do coeficiente de difusão D da tinta na água.

Na figura, é representada a concentração relativa n(x, τ)/n0 em função de x=r/a (em cor azul) e é comparada com a situação inicial (cor vermelha) para o instante τ=0.02. Conhecido o valor do coeficiente de difusão D e o raio inicial da gota a, podemos determinar a concentração n(r, t) de tinta a uma distância r=x·a do centro da gota no instante t=a2·τ/D

O programa é incapaz de calcular a concentração em função da distância x para um tempo inferior a τ =0.003.

Como comprovação podemos verificar que

a quantidade total de tinta permanece constante, de modo que a integral

que é proporcional a quantidade inicial de tinta contida em um círculo de raio unitário.

Atividades

Introduza

• O tempo τ atuando na barra de deslocamento titulada tempo, ou introduzindo um número maior que 0.003 no controle de edição.

Clique no botão titulado Gráfico

A direita na simulação, é representada a concentração relativa n(x, τ)/n₀ em função de x=r/a (em cor azul) e comparamos com a situação inicial (cor vermelha). A esquerda, é representada a concentração relativa em função de x codificada em uma escala de cinzas.

double erfcc(double x) {
//función complementaria 1-erf(x)
	double t,z,ans;
	z=Math.abs(x);
	t=1.0/(1.0+0.5*z);
	ans=t*Math.exp(-z*z-1.26551223+t*(1.00002368+t*(0.37409196+t*(0.09678418+
		t*(-0.18628806+t*(0.27886807+t*(-1.13520398+t*(1.48851587+
		t*(-0.82215223+t*0.17087277)))))))));
	return x >= 0.0 ? ans : 2.0-ans;
}

//método de Simpson

public double integral(double a, double b, int n){
	if(n%2==1) n++;
	double h=(b-a)/n;
	double suma=f(a)+f(b);
	for(int i=1; i<n; i+=2){
		suma+=4*f(a+i*h);
	}
	for(int i=2; i<n; i+=2){
		suma+=2*f(a+i*h);
	}
	return (suma*h/3);
}

double f(double z){
	double temp=Math.exp(-z*z/(4*t))*bessi0(x*z/(2*t))*z;
	return temp;
}


public double bessi0(double x) {
//Returns the modifed Bessel function I0(x) for any real x.
	double ax,ans;
	double y; //Accumulate polynomials in double precision.
	if ((ax=Math.abs(x)) < 3.75) { //Polynomial t.
		y=x/3.75;
		y*=y;
		ans=1.0+y*(3.5156229+y*(3.0899424+y*(1.2067492+y*(0.2659732+y*(0.360768e-1+y*0.45813e-2)))));
	} else {
		y=3.75/ax;
		ans=(Math.exp(ax)/Math.sqrt(ax))*(0.39894228+y*(0.1328592e-1+y*(0.225319e-2+
		y*(-0.157565e-2+y*(0.916281e-2+y*(-0.2057706e-1+y*(0.2635537e-1
		+y*(-0.1647633e-1+y*0.392377e-2))))))));
	}
	return ans;
}

//se representa la función

 y=Math.exp(-x*x/(4*t))*integral(0.0, 1.0, 40)/(2*t);