Fenômenos de transporte

Condução do calor

Condução do calor

Condução do calor (II)

Condução do calor (III)

Medida da 
condutividade térmica

Ondas térmicas

Simulação da
condução

Solução analítica

Solução numérica

Referências

Lei de Fourier

Seja J a densidade de corrente de energia (energia por unidade de área e por unidade de tempo), que é estabelecida na barra devido a diferença de temperaturas entre dois pontos da mesma. A lei de Fourier afirma que há uma proporcionalidade entre o fluxo de energia J e o gradiente de temperatura.

Sendo K uma constante característica do material denominada condutividade térmica.

Consideremos um elemento da barra de comprimento dx e secção S. A energia que entra no elemento de volume na unidade de tempo é JS, e a que sai é J’S. A energia do elemento varia, na unidade de tempo, de uma quantidade igual a diferença entre o fluxo entra e o fluxo que sai.

Esta energia, é empregada para mudar a temperatura do elemento. A quantidade de energia absorvida ou cedida (na unidade de tempo) pelo elemento é igual ao produto da massa deste elemento pelo calor específico e pela variação de temperatura.

Igualando ambas as expressões, e tendo em conta a lei de Fourier, obtemos a equação diferencial que descreve a condução térmica

Solução analítica

Suponhamos uma barra metálica de comprimento L, conectada por seus extremos a duas fontes de calor a temperaturas T_a e T_b respectivamente. Seja T₀ a temperatura inicial da barra quando conectamos as fontes aos extremos da barra.

Ao cabo de certo tempo, teoricamente infinito, que na prática depende do tipo de material que empregamos, é estabelecido o estado estacionário no qual a temperatura de cada ponto da barra não varia com o tempo. Este estado é caracterizado por um fluxo J constante de energia. A lei de Fourier estabelece que a temperatura variará linearmente com a distância x a origem da barra.

Para descrever o estado transitório buscamos uma solução da forma T(x, t)=F(x)·G(t), variáveis separadas

O sinal negativo assegura o caráter transitório.

Integramos a primeira equação diferencial

Integramos a segunda equação diferencial

É uma equação diferencial similar a de um MHS, cuja solução é a·sen(ωr+δ)

A temperatura em qualquer ponto x ao longo da barra, em um instante determinado, T(x, t) é a solução da equação diferencial, que é uma combinação de dois termos, o que corresponde ao regime permanente mais o do regime transitório.

Condições de contorno

• Em x=0, T(0, t)=T_a, temperatura fixa do extremo esquerdo da barra

• Em x=L, T(L, t)=T_b, temperatura fixa do extremo direito da barra

O regime variável geral de temperaturas da barra é

Distribuição inicial de temperaturas

Somente, resta por determinar os coeficientes a_n, identificando esta solução com a distribuição inicial de temperaturas na barra T(x, 0)=T₀ no instante t=0.

Mais abaixo, são proporcionados os detalhes do cálculo dos coeficientes a_n do desenvolvimento em série ao leitor interessado.

A temperatura em qualquer ponto da barra x, em um instante t, é composta da soma de um termo proporcional a x, e de uma série rapidamente convergente que descreve o estado transitório.

O valor de α=K/(ρc) nos da uma medida da rapidez com a qual o sistema alcança o estado estacionário. Quanto maior seja α mais rápido é alcançado o estado estacionário

Atividades

Neste programa, estudaremos a condução do calor ao longo de uma barra metálica cujos extremos estão conectados a duas fontes de calor que tem distintas temperaturas. Observaremos a evolução da temperatura de cada ponto da barra a medida que transcorre o tempo.

Examinaremos os fatores que determinam a condução do calor ao longo de uma barra metálica, provando barras de distintos materiais, com distintas temperaturas fixas dos extremos e inicial da barra.

• Selecione no controle de seleção o Metal da barra. As unidades das grandezas estão expressas no Sistema Internacional de Unidades de Medida.

Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975. págs 36, 74-75, 85-86

Introduza, movendo as flechas de cor azul com o ponteiro do mouse

• A temperatura fixa no extremo esquerdo da barra T_a.
• A temperatura fixa no extremo direito da barra T_b.
• A temperatura inicial da barra T₀.
• O comprimento da barra metálica foi fixado no valor de L=0.5 m.

Clique no botão titulado Novo

• O instante t, em minutos, no qual queremos representar a distribuição de temperaturas ao longo da barra, no controle de edição ou atuando na barra de deslocamento titulada Tempo.

Clique no botão titulado Gráfico.

O programa interativo representa a distribuição de temperaturas ao longo da barra, no instante atual (em cor vermelha), e no instante previamente introduzido (em cor azul).

Questões:

• Examinar a evolução da distribuição de temperaturas com o tempo. Comprovar que o regime estacionário é independente da temperatura inicial, somente depende da temperatura das fontes fria e quente.

• Examinar o comportamento de barras feitas de distintos materiais, com a mesma temperatura inicial e fixas nos extremos.

Cálculo dos coeficientes do desenvolvimento em série a_n

A parte direita da igualdade é o desenvolvimento em série de uma função f(x) impar, já que carece do termo independente e dos termos em cosseno. O período de f(x) é 2L e se estende desde –L a +L tal como é mostrado na figura.

Multiplicamos ambos os membros por sen(mπx/L) e integramos entre –L e +L

Efetuamos a mudança de variável z=πx/L, dz= πdx/L

(1)

Integramos por partes a integral que aparece no segundo membro

Voltemos a integrar por partes

Quando m=n

A expressão (1) é simplificada notavelmente

Suponhamos que a temperatura inicial da barra em todos seus pontos é a mesma T(x, 0)=T_0, a função f(x) é linear

Calculamos os coeficientes a_n do desenvolvimento em série de Fourier

Finalmente,

Solução numérica

Para simplificar, tomemos uma escala de tempos tal que x=a²t, a equação diferencial que descreve a condução térmica se transforma em outra mais simples.

A solução da equação diferencial em derivadas parciais pode ser obtida utilizando o procedimento de redes do seguinte modo

Consideremos um sistema de coordenadas posição – tempo (x no eixo horizontal e x no vertical). Construímos um retículo traçando retas paralelas ao eixo x eqüidistantes um intervalo fixo h e tal que h=L/n, sendo L o comprimento da barra e n o número de intervalos nos quais foi dividido a barra. Tracemos retas paralelas ao eixo X, eqüidistantes uma quantidade k.

Podemos calcular a temperatura nos pontos da barra x=ih (i=1, 2, 3, 4...n) e no instante x=(j+1)k, a partir dos dados da temperatura da barra nos pontos x da barra no instante anterior x=jk (j=0, 1, 2, 3...) sem mais que aplicar o procedimento de recorrência esquematizado na figura, e cuja fórmula é

A distribuição inicial de partida (j=0) é dada pela temperatura inicial da barra T₀, e as temperaturas fixas nos extremos T_a e T_b a partir dos quais e aplicando a fórmula de recorrência, pode calcular-se, sucessivamente, as temperaturas de cada um dos pontos da malha (i, j).

Para praticar este método com uma calculadora ou com um pequeno programa de computador, podemos seguir o seguinte procedimento:

1. Construa uma tabela como a indicada e preencha a coluna esquerda, a coluna direita e a fila inferior com as temperaturas fixas no extremo esquerdo da barra T_a, do extremo direito da barra T_b, e com a temperatura inicial T₀.

2. Completar a primeira fila vazia aplicando a fórmula de recorrência. As cifras obtidas correspondem a distribuição de temperatura em um instante posterior ao inicial.

3. A partir dos dados da primeira fila, completar a segunda fila vazia, e assim sucessivamente.