Sólido rígido

Dinâmica de rotação

Equação da
 dinâmica de rotação

Momentos de inércia

Dinâmica de rotação
e balanço energético

Pêndulo de torção

Pêndulo composto

O balanço

Atrito no
movimento de rotação

O oscilador de 
"Atwood"

Varinha inclinada

Lápis que cai (I)

Lápis que cai (II)

Escada que desliza

Escada, estática e
dinâmica

Momento angular de um sólido rígido

Teorema de Steiner

Energia cinética de rotação

Equação da dinâmica de rotação

Princípio de conservação do momento angular

Trabalho e energia no movimento de rotação

Impulso angular

Momento angular de uma partícula

Se define momento angular de uma partícula como o produto vetorial do vetor posição r pelo vetor momento linear mv L=r´mv

Momento angular de um sólido rígido

As partículas de um sólido rígido em rotação ao redor de um eixo fixo descrevem circunferências centradas no eixo de rotação com uma velocidade que é proporcional ao raio da circunferência que descrevem v_i=w ·r_i

Na figura, é mostrado o vetor momento angular Li de uma partícula de massa mi cuja posição é dada pelo vetor ri e que descreve uma circunferência de raio Ri com velocidade vi. O módulo do vetor momento angular vale Li=rimivi Sua projeção sobre o eixo de rotação Z é Liz=miviricos(90-q i), logo,

O momento angular de todas as partículas do sólido é

A projeção L_z do vetor momento angular ao longo do eixo de rotação é

O termo entre parênteses é denomina momento de inércia

Em geral, o vetor momento angular L não tem a direção do eixo de rotação, logo, o vetor momento angular não coincide com sua projeção Lz ao longo do eixo de rotação. Quando coincidem dizemos que o eixo de rotação é um eixo principal de inércia. Para estes eixos existe uma relação simples entre o momento angular e a velocidade angular, dois vetores que tem a mesma direção, a do eixo de rotação L=Iw

O momento de inércia não é uma quantidade característica como a massa ou o volume, e sim que seu valor depende da posição da massa relativa ao eixo de rotação. O momento de inércia é mínimo quando o eixo de rotação passa pelo centro de massa.

Teorema de Steiner

O teorema de Steiner é uma fórmula que nos permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto O, quando conhecemos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massas e a distância entre os eixos.

O momento de inércia do sólido relativo a um eixo que passa por O é

O momento de inércia relativo a um eixo que passa por C é

Para relacionar I_O e I_C temos que relacionar r_i e R_i.

Na figura, temos que

O termo intermediário no segundo membro é zero já que obtemos a posição x_C do centro de massa desde o centro de massa (condição para que C seja o centro de massas do sistema).

Exemplo

Seja uma varinha de massa M e comprimento L, que tem duas esferas de massa m e raio r simetricamente dispostas a uma distância d do eixo de rotação que é perpendicular a varinha e passa pelo ponto médio da mesma.

Um pêndulo consiste em uma varinha de massa M e comprimento L, e um corpo de forma cilíndrica de massa m e raio r. O pêndulo pode oscilar ao redor de um eixo perpendicular a varinha que passa por seu extremo O

Energia cinética de rotação

As partículas do sólido descrevem circunferências centradas no eixo de rotação com uma velocidade que é proporcional ao raio da circunferência que descrevem v_i=w ·r_i . A energia cinética total é a soma das energias cinéticas de cada uma das partículas. Esta soma pode ser expressa de forma simples em termos do momento de inércia e a velocidade angular de rotação

Equação da dinâmica de rotação

Consideremos um sistema de partículas. Sobre cada partícula atuam as forças externas ao sistema e as forças de interação mútua entre as partículas do sistema. Suponhamos um sistema formado por duas partículas. Sobre a partícula 1 atua a força externa F₁ e a força que exerce a partícula 2, F₁₂. Sobre a partícula 2 atua a força externa F₂ e a força que exerce a partícula 1, F₂₁.

Por exemplo, se o sistema de partículas fosse o formado pela Terra e a Lua: as forças externas seriam as que exerce o Sol ( e o resto dos planetas) sobre a Terra e sobre a Lua. As forças internas seriam a atração mútua entre estes dois corpos celestes.

Para cada uma das partículas se cumpre que a variação do momento angular com o tempo é igual ao momento da resultante das forças que atuam sobre a partícula considerada.

Somando membro a membro, aplicando a propriedade distributiva do produto vetorial, e tendo em conta a terceira Lei de Newton, F₁₂=-F₂₁, temos que

Como os vetores r₁-r₂ e F₁₂ são paralelos seu produto vetorial é zero. Por que nos dá

A derivada do momento angular total do sistema de partículas com relação ao tempo é igual ao momento das forças externas que atuam sobre as partículas do sistema.

Consideremos agora que o sistema de partículas é um sólido rígido que está girando ao redor de um eixo principal de inércia, então o momento angular L=I·w, a equação anterior é escrita

Momento angular de um sistema de partículas

Consideremos o sistema de duas partículas da figura anterior. O momento angular total do sistema relativo a origem é

L=r₁´ m₁·v₁+r₂´ m₂·v₂

Calculamos o momento angular relativo ao centro de massas

r_1cm=r₁-r_cm
r_2cm=r₂-r_cm

v_1cm=v₁-v_cm
v_2cm=v₂-v_cm

O momento angular relativo a origem é a soma de duas contribuições:

L=(r_1cm+r_cm) ´ m₁·(v_1cm+v_cm)+ (r_2cm+r_cm) ´ m₂·(v_2cm+v_cm)=

(r_1cm ´ m₁·v_1cm)+ (r_2cm ´ m₂·v_2cm)+ r_cm´ (m₁·v_1cm+ m₂·v_2cm)+ (m₁·r_1cm+ m₂·r_2cm) ´ v_cm

Da definição de posição e velocidade do centro de massas, temos que

m₁·v_1cm+ m₂·v_2cm=0,
m₁·r_1cm+ m₂·r_2cm=(m₁+m₂)·r_cm

L=L_cm+(m₁+m₂)·r_cm ´ v_cm

Em geral, para um sistema de partículas de massa total m

O primeiro termo, é o momento angular interno relativo ao sistema c.m. e o último termo, o momento angular externo relativo ao sistema de laboratório, como se toda a massa estivesse concentrada no centro de massa.

Relação entre o momento das forças externas M_ext e o momento angular interno L_cm.

O momento das forças externas relativo a origem é a suma de duas contribuições

M_ext= r₁´F₁+r₂´ F₂=(r_1cm+r_cm) ´ F₁+(r_2cm+r_cm) ´ F₂= r_1cm´ F₁+r_2cm´ F₂+ r_cm´ (F₁+F₂)=

M_cm+ r_cm´ (F₁+F₂).

O primeiro termo é o momento das forças externas relativo ao c.m. e o segundo é o momento da força resultante F₁+F₂ como se estivesse aplicada no centro de massas.

Derivando relativo ao tempo o momento angular total L, temos

Tendo em conta que o segundo termo e o produto vetorial de dois vetores paralelos e que a equação do movimento do c.m. é

resulta

Como foi demonstrado no tópico anterior que

Obtemos a relação

Estas duas relações são idênticas porém existem diferenças em sua interpretação. Na primeira é calculado o momento angular L e o momento das forças externas M_ext relativo a um ponto fixo O (origem do sistema de coordenadas) em um sistema de referência inercial. Na segunda é calculado o momento angular L_cm e o momento das forças M_cm relativo ao sistema de referências do centro de massas inclusive se não está em repouso com relação ao sistema inercial de referência O.

Esta última relação, é a que empregaremos para descrever o movimento do c.m. de um sólido rígido.

Vamos estudar com mais detalhes a validade da relação

Sendo A um ponto arbitrário, L_A o momento angular do sistema de partículas relativo a A e M_A o momento total das forças externas relativo ao mesmo ponto.

A posição da partícula i relativo a origem do sistema de referência inercial é ri, a posição desta partícula relativo a A é riA. Na figura, é mostrada a relação entre estes dois vetores ri=rA+riA A velocidade da partícula i relativo ao sistema de referência inercial é vi, e do ponto A é vA.

O momento angular do sistema de partículas relativo a A, L_A é

Seja F_i a força externa que atua sobre a partícula i. A segunda lei de Newton (para sistemas de massa constante) afirma que

O momento das forças externas relativo a A é

Como a posição do centro de massas r_cm é definida

Sendo M a massa total do sistema de partículas, chegamos a relação

Podemos obter a mesma relação derivando o momento angular L_A relativo ao tempo

Quando o termo M(r_cm-r_A)×a_A desaparece, a relação M_A=dL_A/dt é cumprida. Isto ocorre nos seguintes casos:

• Quando o ponto A coincide com o centro de massas r_cm=r_A

• Quando a aceleração de A é zero a_A =0, logo, A se move com velocidade constante.

• Quando a aceleração de A, a_A é paralela ao vetor (r_cm-r_A)

Nos exemplos da secção Movimento geral de um sólido rígido empregaremos unicamente a relação

O momento angular L_cm do sólido rígido e o momento das forças externas M_cm são calculados com relação ao centro de massas.

Princípio de conservação do momento angular

O princípio de conservação do momento angular afirma que se o momento das forças externas é zero (o que não implica que as forças externas sejam zero, que seja um sistema isolado), o momento angular total se conserva, logo, permanece constante.

Trabalho e energia no movimento de rotação

Em outra página relacionamos o trabalho da resultante das forças que atuam sobre uma partícula com a variação de energia cinética desta partícula.

Considere um corpo rígido que pode girar ao redor de um eixo fixo tal como é indicado na figura. Suponhamos que é aplicada uma força externa F no ponto P. O trabalho realizado por esta força a medida que o corpo gira percorrendo uma distância infinitesimal ds=rdq no tempo dt é

F·senf é a componente tangencial da força, a componente da força ao longo do deslocamento. A componente radial da força não realiza trabalho, já que é perpendicular ao deslocamento.

O momento da força é o produto da componente tangencial da força pelo raio. A expressão do trabalho podemos escrever de forma alternativa

O trabalho total quando o sólido gira um ângulo q é

Na dedução foi levado em conta a equação da dinâmica de rotação M=Ia , e a definição de velocidade angular e aceleração angular.

Obtemos uma equação análoga ao teorema trabalho-energia para uma partícula. O trabalho dos momentos das forças que atuam sobre um sólido rígido em rotação ao redor de um eixo fixo modifica sua energia cinética de rotação.

Impulso angular

Na dinâmica de uma partícula vimos o conceito de impulso linear. Uma força aplicada durante um tempo modifica o momento linear (a velocidade da partícula).

No caso de um sólido em rotação a grandeza equivalente é denominada impulso angular.

O momento das forças que são aplicadas durante um tempo t a um sólido rígido em movimento de rotação ao redor de um eixo fixo, modifica o momento angular do sólido em  rotação.