Composição de movimentos: translação e rotação

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Sólido rígido

ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana

Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:

www.sc.ehu.es/sbweb/fisica

Autor: (C) Ángel Franco García 

Movimento geral
de um sólido rígido
marca.gif (847 bytes)Composição de
  movimentos
A roda de Maxwell
Equilíbrio
rotação-translação(I)
Força sobre uma 
roda
Rodando por
um plano inclinado
Equilíbrio 
rotação-translação(II)
Deformações da
roda e do plano
Deslocando o 
plano sobre o qual 
se apóia a roda
Choque frontal de
duas esferas.
Percussão em uma
bola de bilhar
Movimento de uma 
esfera em um
plano horizontal
Choque de duas 
bolas de bilhar
 Movimento geral de um sólido rígido

java.gif (886 bytes) Movimento de rodar sem deslizar

java.gif (886 bytes) Composição de movimentos

java.gif (886 bytes) Velocidade e trajetória de um ponto de uma roda.
 

Movimento geral de um sólido rígido

Nesta página, é descrito o movimento geral de um sólido rígido relativo a um observador inercial O. Um sólido fixo se caracteriza por ser indeformável, as posições relativas dos pontos do sólido são mantidas fixas embora sejam aplicadas forças ao mesmo.

Na figura vemos que a posição do ponto P do sólido é

rP=rc+R

Onde C se refere ao centro de massas do sólido. O vetor R que vai do centro de massas ao ponto P é um vetor cujo módulo é constante. 

general.gif (2282 bytes)

Derivando a expressão anterior relativo ao tempo obtemos

O primeiro termo é a velocidade do ponto P, o segundo a velocidade do centro de massas e o terceiro é a velocidade do ponto P relativo ao centro de massas.

rotacion.gif (2951 bytes) Dado que o vetor R tem módulo constante, o único movimento possível de P relativo a C é uma rotação com velocidade angular w ao redor de um eixo instantâneo que passe por C, tal como vemos na figura.

Assim pois, o movimento de um ponto P do sólido podemos considerar como a soma de um movimento de translação do centro de massas mais uma rotação ao redor de um eixo instantâneo que passa pelo centro de massas.

 

Movimento de rodar sem deslizar

O movimento geral de um sólido rígido, é a composição de um movimento de translação do centro de massa e de um movimento de rotação ao redor de um eixo que passa pelo centro de massa. No movimento de rodar sem deslizar, a roda se translada toda vez que gira.

  • No movimento de translação, todos os pontos do sólido se movem em trajetórias paralelas. A velocidade de um ponto do sólido é a mesma que a velocidade do centro de massas.
  • No movimento de rotação ao redor de um eixo que passa pelo centro de massas, a velocidade de um ponto do sólido é proporcional ao raio da circunferência que descreve, e sua direção é tangente a esta circunferência.

No movimento de rodar sem deslizar, existe uma relação entre o movimento de rotação e translação. O ponto da roda que está em contato em um instante dado com o solo tem velocidade nula. Por tanto, se deve cumprir que

vc=w R

A velocidade de translação vc é igual a velocidade de rotação w pelo raio da roda R.

Calculamos a velocidade de qualquer ponto P, que dista r do centro de uma roda de raio R, e que forma um ângulo φ, com a horizontal. Os ângulos são medidos no sentido dos ponteiros do relógio, que é o sentido do movimento de rotação da roda.

O módulo e o ângulo que formam com o eixo horizontal X são, respectivamente

Exemplo:

Seja r=R=1;

  • Quando φ=π/2, v=0
  • Quando φ=π, , θ=π/4
  • Quando φ=3π/2, v=2vc, θ=0

Seja r=0.5

  • Quando φ=π/2, v=0.25, θ=0
  • Quando φ=π, , θ=0.46 rad=26.6º
  • Quando φ=3π/2, v=1.5vc, θ=0

Atividades

Introduza

  • A posição angular φ em graus, atuando na barra de deslocamento titulada Ângulo. Os ângulos são medidos no sentido dos ponteiros do relógio, que é o sentido do movimento de rotação da roda.

  • A distância r entre o ponto P e o centro da roda, atuando na barra de deslocamento titulada Distância.

  • O raio da roda foi fixado em R=1 m

  • A velocidade do c.m. da roda foi fixado em vc=1 m/s

Clique no botão titulado Calcular

No disco da esquerda:

  • a flecha de cor azul representa a velocidade de translação do centro de massa, vc.

  • a flecha de cor vermelha representa a velocidade de rotação ao redor de um eixo perpendicular ao disco e que passa por seu centro ωr.

No disco da direita, uma flecha de cor preta representa o vetor resultante, soma vetorial de ambas velocidades.

Na parte superior da simulação, são proporcionados o dado da velocidade resultante v proporcional a vc e sua direção θ, ou ângulo que forma com o eixo horizontal X.

 
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Composição de movimentos

Neste programa interativo se trata de comprovar que o movimento geral de um sólido rígido é a composição de um movimento de translação do centro de massas e de um movimento de rotação ao redor de um eixo que passa pelo centro de massas.

Por outra parte, se trata de estabelecer a relação que deve existir entre as velocidades de translação e de rotação para produzir um movimento de rodar sem deslizar.

Introduza:

  • A velocidade angular de rotação, no controle de seleção titulado v. rotação
  • A velocidade de translação do centro de massas foi fixado em vc=1.0
  • O raio da roda, foi fixado em R=1.0

Clique no botão titulado Começar

São representados os perfis de velocidades de diversos pontos da roda e em particular, os situados em seu diâmetro vertical, que são os mais importantes para a resolução dos problemas. Podemos observar, que as velocidades destes pontos (em cor vermelha na figura abaixo) são a soma vetorial de sua velocidade de translação (em cor azul na figura intermediária) e de sua velocidade de rotação (em cor azul na figura acima).

Como caso particular, sugerimos ao leitor examinar o movimento de rodar sem deslizar, a velocidade do ponto da roda que está em contato com o plano horizontal deve ser zero. Por tanto, a relação entre as velocidades angulares de rotação w  e translação vc deverá ser vc=w R. Observar que:

  • A velocidade do ponto da roda que está em contato com o plano horizontal deve ser zero
  • A velocidade do centro de massas é vc
  • A velocidade do ponto mais alto da roda  é o dobro da velocidade do centro de massas, 2·vc

 
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Velocidade e trajetória de um ponto de uma roda.

Neste programa interativo, podemos observar o vetor velocidade e a trajetória que descreve um ponto da roda.

Clique no botão titulado Início

  • Situamos o ponteiro do mouse em um ponto de cor azul, clicamos no botão esquerdo do mouse e arrastamos até a posição desejada no diâmetro vertical da roda . Continuando, deixamos de clicar no botão esquerdo do mouse.

Na parte superior da simulação, observamos a posição do ponto relativa ao centro da roda cujo raio está fixado pelo programa interativo e é de um metro

Introduza:

  • A velocidade angular de rotação, no controle de seleção titulado v. rotação
  • A velocidade de translação do centro de massas foi fixado em vc=1.0
  • O raio da roda, foi fixado em R=1.0

Clique no botão titulado Começar.

Quando a roda chega ao final na simulação, clique no botão titulado Início para preparar outra "experiência".

Observamos a trajetória de um ponto da roda e seu vetor velocidade, tangente a trajetória. O vetor velocidade de um ponto da roda é a soma de

  • O vetor velocidade no movimento de translação, que é constante..
  • O vetor velocidade no movimento de rotação cujo módulo é constante porém cuja direção vai mudando, é perpendicular a direção radial e seu comprimento é proporcional a distância entre o ponto da roda e o centro da mesma.

Será considerado aquelas situações nas quais o disco roda sem deslizar, (quando a velocidade de rotação e de translação coincidem, já que o raio é de um metro). Será observado, nesta situação, o movimento de:

  • Um ponto que está na periferia da roda
  • O centro da roda
  • Um ponto situado entre o centro e a periferia.

 
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Mover o ponto azul com o ponteiro do mouse aproximando-se ou afastando-se do centro do disco