Sólido rígido

Regiões do espaço (tgq , m )

Atividades

Referências

O atrito requer duas superfícies de sólidos e contato e em movimento relativo. No entanto, sob o nome de forças de atrito, são descritas forças de diferentes natureza:

Na página titulada "Movimento vertical de uma esfera no seio de um fluído", foi estudado as forças de atrito que são opostas ao movimento de um corpo no seio de um fluído viscoso. A fórmula da força depende do número de Reynolds.

Na página titulada "O atrito por deslizamento" foi estudado o comportamento de um corpo que descansa sobre um plano horizontal:

• Quando a força de atrito F_r estática não supera o valor máximo m_sN o corpo permanece em repouso sobre a superfície.
• No entanto, quando as duas superfícies em contato estão em movimento relativo a força de atrito toma o valor F_r=m_kN.

Na página titulada "Movimento de rodar em um plano inclinado" no tópico que estuda o movimento de rodar sem deslizar, a força de atrito estática aplicada no ponto de contato entre a roda e a superfície cuja velocidade em cada instante é zero. Esta força de atrito não realiza trabalho líquido, e tanto seu módulo como seu sentido são determinados pelas equações do movimento.

Finalmente, na página titulada "Deformações da roda e do plano horizontal"  quando um sólido, por exemplo, uma bola de bilhar que roda sobre uma superfície, o sólido e a superfície se deformam ao redor da área de contato, como conseqüência a bola vai reduzindo sua velocidade. Esta perda se deve a que os sólidos em contato não são perfeitamente elásticos.

Foi estudado vários exemplos de discos rodando sobre planos horizontais e inclinados, neles foi posto claramente o papel crucial da força de atrito como fonte de acoplamento entre o movimento de translação e o de rotação.

A característica mais importante da situação que é estudada nesta página, é a grande riqueza de comportamentos em comparação com a esfera ou um disco que é deixado em repouso sobre um plano inclinado.

Equações do movimento

Consideremos uma caixa de largura b e altura h, de massa m , situada sobre um plano inclinado de um ângulo q .

A caixa está caracterizada por dois parâmetros sua largura b e sua altura h (é ignorada a dimensão perpendicular o plano da figura) ou então, pelo ângulo β  e pela distância R de um vértice ao centro da caixa.

As forças que atuam sobre a caixa é mostrada na figura da direita:

• O peso mg que atua no centro de massas,
• A reação do plano N, que não passa em geral, pelo centro de massas  A distância entre a direção desta força e o c.m. o designamos por d.
• Finalmente, a força de atrito F_r que atua na superfície de contato entre a caixa e o plano inclinado.

A força de atrito F_r é uma incógnita nas equações do movimento. Adquire seu valor máximo m_s·N quando o corpo vai começar a deslizar, onde m_s é o coeficiente de atrito estático. Quando o corpo desliza o valor de F_r muda a m_k·N. Para simplificar nosso estudo supomos que ambos coeficientes tem o mesmo valor m .

Como é habitual nos problemas com planos inclinados, estabelecemos um sistema de eixos de modo que o eixo Y é perpendicular ao plano inclinado, e o eixo X é paralelo ao plano inclinado

As equações do movimento são as seguintes:

• Movimento de translação do c.m.

N-mgcosθ=ma_cy
mgsenθ-F_r=ma_cx

onde a_cx e a_cy são as componentes da aceleração do centro de massas (c.m.)

• Movimento de rotação ao redor de um eixo perpendicular ao plano da figura e que passa pelo c.m.

O termo mR²/3 é o momento de inércia da caixa relativo a um eixo perpendicular ao plano da figura e que passa pelo c.m..

Vamos expressar a aceleração do c.m. ac em termos da aceleração a do vértice A da caixa e da aceleração angular a . acx=a+αRcosβ acy=αRsenβ

As equações do movimento serão por tanto,

Vamos estudar os distintos casos que podem ser apresentados quando colocamos uma caixa de dimensões b (base) e h (altura) em repouso sobre o plano inclinado.

1.-Não desliza e não tomba,

A caixa permanece em repouso sobre o plano inclinado por que a=0, e a =0. A partir destes dois dados, que introduzimos nas três equações são explicitadas as incógnitas

N=mgcosθ
F_r=mgsenθ
d=(h/2)·tanθ

A força de atrito é inferior a seu valor máximo, F_r£ m ·N, esta condição é equivalente a tanq £ m .

A reação do plano N não pode sair da base da caixa d£ b/2, o que equivale a que tanq £ tanβ .

2.-Desliza, porém não tomba

Se desliza a aceleração já não é nula a³ 0, porém ao não tombar a aceleração angular é nula a =0. Ao deslizar, a força de atrito tem o valor F_r=m ·N. A partir destes dois dados, que introduzimos nas três equações são explicitadas as incógnitas

N=mg·cosθ
a=g(senθ-μcosθ)=g·cosθ(tanθ-μ)
μ·N·h/2-N·d=0, por que  d=μh/2

A reação do plano N não pode sair da base da caixa d£ b/2, o que equivale a que m £ tanβ .

A condição de que a aceleração seja positiva a³ 0 equivale a m £ tanq .

3.-Tomba, porém não desliza

Se não desliza a aceleração é nula, a=0, e se tomba a aceleração angular não é nula a ³ 0. A reação do plano N se encontrará no único ponto de contato A, de modo que d=b/2. Neste caso, o valor da força de atrito F_r é desconhecido, porém para que o ponto A não deslize, tem que cumprir que F_r£ m ·N

A partir destes dois dados, que introduzimos nas três equações são explicitadas as incógnitas

Explicitamos F_r na segunda equação, N na primeira e introduzimos suas expressões na terceira e tendo em conta que h/2=R·cosβ, e b/2=R·senβ

1. A condição de que a aceleração angular seja positiva a ³ 0 equivale a tanθ³ tanβ .

2. A condição de que o ponto A não deslize F_r£m·N, equivale a

4.-Tomba e desliza

Se desliza a aceleração não é nula, a³ 0, e se tomba a aceleração angular não é nula a ³ 0. A reação do plano N se encontrará no único ponto de contato A, de modo que d=b/2. Ao deslizar, a força de atrito toma o valor  F_r=m ·N

A partir destes dois dados, que introduzimos nas três equações, são explicitadas as incógnitas

É explicitado N da primeira equação em função de α, se calcula F_r=m·N em função de α. É explicitado α na terceira equação. Se calcula N e a na primeira e na segunda equação a partir da expressão de α, e tendo em conta que h/2=R·cosβ, e b/2=R·senβ

1. As condições de que N³ 0, a ³ 0 equivalem a

1. A condição a≥0 nos leva a

Regiões do espaço (tanq , m )

As desigualdades em cada um dos quatro casos definem no espaço (tanq , m ), quatro regiões que foi pintado de distintas cores. As abscissas são as tangentes dos ângulos q do plano inclinado, as ordenadas são os valores do coeficiente de atrito m. No eixo horizontal e vertical marcamos o valor de tanb .

1. Não desliza e não tomba (região verde). Corresponde a região definida pelas desigualdades

1. tanq £ m .
2. tanq £ tanb .

2. Desliza porém não tomba (região azul). Corresponde a região definida pelas desigualdades

m £ tanb .
m £ tanq .

O espaço que resta é dividido em duas regiões separadas pela curva μ_l em função de tanθ

cuja representação gráfica é

Esta curva passa pelo ponto (tanb , tanb ) e tem a forma

Quando x®¥ então y®a/c. Quando tanq ® ¥  então μ® μ⁰

Por exemplo, para uma caixa de dimensões h=50 cm, e b=20 cm, tanβ=0.4. A assíntota horizontal é a reta μ=1.367

3. Tomba (região cinza)

A região "tomba porém não desliza", está acima desta curva, tal como expressa a desigualdade correspondente

4. Desliza e tomba (região em vermelho)

A região "desliza e tomba" está abaixo desta curva.

Exemplo:

Por exemplo, para uma caixa de dimensões h=50 cm, e b=20 cm, tanβ=0.4, β=21.8º

• Coeficiente de atrito μ=0.5,
• Ângulo do plano inclinado θ=15º

Corresponde a região 1 "Não desliza e não tomba": θ<β, tanθ<μ

• Coeficiente de atrito μ=0.2,
• Ângulo do plano inclinado θ=15º

Corresponde a região 2 "Desliza e não tomba": μ<tanβ, μ<tanθ

• Coeficiente de atrito μ=0.7,
• Ângulo do plano inclinado θ=40º

Para este ângulo, a curva μ_l que divide as regiões 3 e 4 vale

Corresponde a região 3 "Não desliza e tomba": tanθ³ tanβ, μ>0.5, acima da curva

• Coeficiente de atrito μ=0.45
• Ângulo do plano inclinado θ=40º

Corresponde a região 4 "Desliza e tomba": tanβ<μ<0.5, abaixo da curva

Atividades

Introduza

• A altura h da caixa, no controle de edição titulado Altura
• A largura ou comprimento da base b da caixa, no controle de edição titulado Largura

Clique no botão titulado Novo

O programa interativo calcula o ângulo b , tal que tanb =b/h. O valor máximo admissível do ângulo b  es 50º. Uma mensagem na parte inferior esquerda da simulação nos avisa se ao introduzir as dimensões da caixa é superado este valor.

São representadas as quatro regiões do espaço (tanθ, μ)

• O coeficiente de atrito m , no controle de edição titulado Coef. Atrito
• O ângulo q  do plano inclinado, no controle de edição titulado Ângulo

Clique no botão titulado Começar.

É representado o ponto (tanq , m ) em cor preta sobre a representação gráfica das quatro regiões e vemos o comportamento da caixa, dependendo em que região está situado este ponto.

Nota: a simulação não descreve corretamente o movimento de rotação da caixa ao redor do vértice A, limitamos dar os valores iniciais da aceleração angular no instante no qual é iniciado o tombo. O estudo do comportamento de uma caixa quando não descansa sobre o plano inclinado, e sim que sua base forma um certo ângulo com este, é bastante complicado já que os valores das acelerações variam a medida que a caixa gira ao redor do vértice A.