Sólido rígido

Dinâmica de rotação

Equação da
dinâmica de rotação

Momentos de inércia

Dinâmica de rotação
 e balanço energético

Pêndulo de torção

Pêndulo composto

O balanço

Atrito no
movimento de rotação

O oscilador de 
"Atwood"

Varinha inclinada

Lápis que cai (I)

Lápis que cai (II)

Escada que desliza

Escada, estática e
dinâmica

Segunda experiência

Terceira experiência

Atividades

Na aula e no laboratório é proposto aos estudantes resolver um conjunto de problemas de dinâmica de sólido rígido para praticar as equações da dinâmica de rotação e o princípio de conservação da energia.

É usado um dispositivo similar a uma roda de bicicleta que pode girar ao redor de um eixo fixo. São enroladas cordas das quais pendem um ou dois pesos tal como é mostrado na figura.

Medimos o tempo que gasta um peso para percorrer uma determinada altura, partindo do repouso. A partir deste dado, das massas dos corpos, e dos raios interno e externo da roda, são calculados o momento de inércia por dois procedimentos

• Aplicando as equações da dinâmica
• Aplicando o princípio de conservação da energia

Descreveremos a seguir, cada um das três experiências desde a mais fácil a mais complicada

Primeira experiência

• Método: conservação da energia

A comparação da situação inicial e a situação final nos permite formular rapidamente o princípio de conservação da energia.

O peso de massa m desce uma altura h. O peso de massa m incrementa sua velocidade em v A roda gira com velocidade angular w A energia potencial diminui em mgh, sua energia cinética é incrementa em mv2/2, e o mesmo ocorre para sólido em rotação, sua energia cinética é incrementa em Iw 2/2.

A equação do balanço energético é

A velocidade v é calculada a partir de h e do tempo t que gasta o peso para descer esta altura, partindo do repouso.

A velocidade angular w está relacionada com a velocidade v do peso que por sua vez, é a mesma que a velocidade de um ponto da borda da roda de raio r (sendo r o raio interno da roda). Veja a relação entre grandezas lineares e angulares.

Completar a seguinte tabela  e explicitar o momento de inércia desconhecido

• Método: dinâmico

Na figura, está desenhado o esquema das forças sobre os corpos que intervém no movimento.

A equação da dinâmica de rotação da roda é T·r=Ia A equação da dinâmica de translação do peso é mg-T=ma A relação entre a aceleração angular a do disco e a aceleração a do peso é a mesma que a existente entre suas respectivas velocidades a=a·r

Conhecido o tempo t que gasta para cair o peso e a altura h da qual cai, é determinado a aceleração a

A partir da medida do raio r da roda (interno ou externo, segundo o caso), é calculada a aceleração angular a do disco, a tensão T da corda e é explicitado o momento de inércia I desconhecido.

Exemplo:

Introduza

• Massa da primeiro peso zero (m₁=0),
• Massa do segundo peso m₂=200 g,
• Raio interno r=30 cm.

Clique no botão titulado Começar, e é medido o tempo que gasta o peso para percorrer uma determinada altura medida pela régua próxima. Utilizar os botões titulados Pausa e Passo para aproximar da altura desejada.

É calculado o momento de inércia e é comparado com a resposta dada pelo programa interativo clicando no botão titulado Resposta.

Segunda experiência

• Método: conservação da energia

A comparação da situação inicial e a situação final nos permite formular o princípio de conservação da energia.

O peso de massa m2 desce uma altura h. O peso de massa m1 sobe a mesma altura h. O peso de massa m1 aumenta em v sua velocidade. O mesmo ocorre ao peso de massa m2 A roda gira com velocidade angular w .

A fórmula do princípio de conservação da energia

Calculando a velocidade v a partir de h e do tempo t que o peso gasta para descer esta altura, partindo do repouso, e relacionando v com velocidade angular w da roda, é obtido o momento de inércia I.

Completar a seguinte tabela  e explicitar o momento de inércia desconhecido

• Método: Dinâmico

Na figura, está desenhado o esquema das forças sobre os corpos que intervém no movimento. A partir deste esquema, formulamos as equações da dinâmica de cada um dos corpos.

m2g-T2=m2a T1-m1g=m1a T2R-T1R=Ia a=a R

Como no exemplo anterior, conhecido o tempo t gasto para cair o peso de maior massa e a altura h da qual cai, é determinada a aceleração a

A partir da medida do raio externo R da roda, é calculada a aceleração angular a do disco, as tenções T₁ e T₂ da corda e é explicitado o momento de inércia I desconhecido.

Exemplo:

Introduza:

• Massa m₁ do primeira peso, 100 g
• Massa m₂ do segundo peso, 200 g
• Raio R, 30 cm.

Clique no botão titulado Começar, e medimos o tempo gasto pelo peso para percorrer uma determinada altura medida pela régua próxima. Utilizar os botões titulados Pausa e Passo para aproximar da altura desejada.

É calculado o momento de inércia e é comparado com a resposta dada pelo programa interativo clicando no botão titulado Resposta.

Terceira experiência

• Método: conservação da energia

Comparando o estado inicial e final observamos que

O peso de massa m1 desce uma altura h1 O peso de massa m2 sobe uma altura h2 O peso de massa m1 incrementa sua velocidade em v1 O peso de massa m2 incrementa sua velocidade em v2 A roda está girando com velocidade w

Formulamos o princípio de conservação da energia

Existe uma relação entre h₁ e h₂, a mesma que existe entre v₁ e v₂. Recordaremos que as grandezas angulares são as mesmas para todos os pontos do sólido em rotação enquanto que as grandezas lineares são proporcionais ao raio.

• v₁=w  r₁
• v₂=w  r₂
• h₁=q  r₁
• h₂=q  r₂

w é a velocidade angular da roda e q é o ângulo girado no tempo t.

Dados os valores de h₁, a altura que cai o peso de massa m₁ e o tempo t que gasta para cair, e a partir das medidas dos raios interno r₂ e externo r₁ da roda podemos calcular, o momento de inércia I desconhecido da roda, seguindo os mesmos passos que nos exercícios prévios.

Completar a seguinte tabela  e explicitar o momento de inércia desconhecido

• Método: dinâmico

Na figura, está desenhado o esquema das forças sobre os corpos que intervém no movimento. A partir deste esquema formulamos as equações da dinâmica de cada um dos corpos.

Primeiro determinamos o sentido do movimento. Não é suficiente comparar as massas dos corpos m₁ e m₂, é necessário comparar os momentos de seus pesos. Se m₁g·r₁>m₂g·r₂, o movimento terá o sentido indicado na figura. Se m₁g·r₁<m₂g·r₂, o movimento terá sentido contrário.

m1g-T1=m1a1 T2-m2g=m2a2 T1r1-T2r2=Ia a1=a r1 a2=a r2

Como nos exemplos anteriores, conhecido o tempo t que gasta o peso de massa m₁ para cair e a altura h₁ da qual cai, é determinada a aceleração a₁. Com os valores dos raios r₁ e r₂, é determinado a e a₂. Continuando T₁, T₂ e finalmente I.

Completar a seguinte tabela  e explicitar o momento de inércia desconhecido

Exemplo:

Introduza:

• Massa m₁ do primeiro peso, 150 g
• Massa m₂ do segundo peso 200 g.
• Raio r₂ interno, 20 cm

Em que sentido gira?

Clique no botão titulado Começar, e meça o tempo que gasta o peso para percorrer uma determinada altura medida pela régua próxima. Utilizar os botões titulados Pausa e Passo para aproximar da altura desejada.

Clique no botão titulado Resposta para comparar o momento de inércia calculado com o gerado pelo programa interativo.

Atividades

Introduzir os dados dos três exercícios nos controles da simulação, e comprovar que os resultados obtidos coincidem com os proporcionados pelo programa interativo.

Na simulação também é mostrado o balanço energético mediante um diagrama de barras. A esquerda, a energia cinética:

• Em cor cinza, a energia cinética de rotação do disco.
• Em cor vermelha, a energia cinética do peso vermelho
• Em cor azul, a energia cinética do peso azul

A direita, a energia potencial dos pesos vermelho e azul representados mediante barras de cor vermelha e azul, respectivamente.