Sólido rígido

Conservação do
momento angular

Discos que são
  acoplados (I)

Discos que são
acoplados (II)

Conservação do 
momento angular

Giros do patinador no gelo

Analogia com choque
frontal elástico

Pêndulo balístico (II)

Caixa que pode tombar

Choque inelástico
bala-disco em rotação

Transferência de 
velocidade em um choque

Conservação 
m. linear e m. angular

Choque disco-parede

Choque disco-disco (I)

Choque disco-disco (II)

O papel das forças internas

Atividades

Temos dois discos, o inferior tem um raio de 1 m e o superior tem um raio de 0.5 m que podem girar ao redor do mesmo eixo porém com velocidades angulares distintas. Em um momento dado, o disco superior cai e é acoplado ao disco inferior. pede-se calcular a velocidade angular de rotação do conjunto dos dois discos acoplados.

Mediante esta simulação, queremos mostrar que as forças internas ou de interação mútua entre as partículas do sistema não afetam o estado final do sistema.

Fundamentos físicos

Temos um sistema formado por dois discos que giram ao redor de um eixo comum. O momento das forças externas relativo ao eixo de rotação Ou é nulo, por que se conserva o momento angular

O momento angular de um sólido em rotação ao redor de um eixo fixo com velocidade angular w é L=Iw

A fórmula do momento de inércia I₀ de um disco relativo a um eixo de rotação perpendicular ao disco e que passe por seu centro é

Momento angular antes do acoplamento

O momento angular do sistema antes do acoplamento é a soma dos momentos angulares de cada um dos discos

Onde w₁ e w₂ são as velocidades angulares iniciais antes do acoplamento.

Momento angular depois do acoplamento

Depois do acoplamento ambos os discos atingem uma velocidade angular comum w .

Princípio de conservação do momento angular

Explicitando a velocidade angular w , temos

Esta fórmula é similar ao choque entre uma bala e um bloco, quando a bala é incrustada no bloco.

Balanço energético

Energia antes do acoplamento

Energia depois do acoplamento

O trabalho das forças de atrito no acoplamento é W=E_f-E_i. Fazendo algumas simplificações podemos chegar a esta expressão final

A energia final é sempre menor que a inicial E_f<E_i

O papel das forças internas

A velocidade angular dos discos acoplados varia desde as velocidades angulares iniciais w₁ e w₂ a velocidade angular final w ao longo de um tempo t.

Sobre os discos atuam forças internas de atrito entre as superfícies em contato de modo que, um dos discos é acelerado e o outro é desacelerado até que adquirem a mesma velocidade angular final w.

Estas forças internas exercem um momento Mr. Imaginemos que w1 > w2, o momento Mr é oposto a w1 desacelerando o disco inferior e acelerando o disco superior tal como é mostrado na figura. Imaginemos que ambos os discos tem momentos de inércia iguais I1=I2 e velocidades angulares iguais e de sentido contrário w1 =- w2, o momento Mr faz diminuir ambas velocidades, até que a velocidade angular final do conjunto se anule, tal como prediz o princípio de conservação do momento angular.

Equação da dinâmica de rotação

Formulamos a equação da dinâmica de rotação para cada um dos discos

Supondo que M_r é constante, as acelerações angulares são constantes, as velocidades angulares serão

Onde w₁₀ e w₂₀ são as velocidades angulares iniciais no instante t=0.

A partir destas equações podemos calcular o tempo t que gastam os discos para adquirir a mesma velocidade angular w₁=w₂=w.

Também podemos calcular o deslocamento de cada um dos discos durante o intervalo de tempo t.

Trabalho das forças internas

O trabalho do momento da força de atrito é

W=-M_r·q₁+M_r·q₂

Como vemos pelas flechas na figura, M_r é oposto ao deslocamento q₁ (trabalho negativo), e é do mesmo sentido que o deslocamento q₂ (trabalho positivo).

Fazendo algumas operações podemos chegar em poucos passos a mesma expressão para W que obtivemos a partir do balanço energético depois de aplicar o princípio de conservação do momento angular. Porém agora podemos interpretar melhor a origem da dissipação da energia durante o tempo t que dura o acoplamento (até que os discos alcançam a mesma velocidade angular final).

Exemplos

Exemplo 1º:

• Momentos de inércia

Seja m₁=0.2 kg, r₁=1.0 m, I₁=0.1 kg·m²
Seja m₂=0.8 kg, r₂=0.5 m, I₂=0.1 kg·m²

• Velocidades angulares iniciais

Seja w₁=2 rad/s
Seja w₂=0 rad/s

1. Princípio de conservação do momento angular

0.1·2+0.1·0=(0.1+0.1)·w , por que w =1 rad/s

• Balanço energético

E_i=0.2 J
E_f=0.1 J
W=E_f-E_i=-0.1 J

2. Forças internas

Seja o momento das forças de atrito M_r=0.1 N·m. Calculamos as acelerações angulares de cada disco

-0.1=0.1·a₁
0.1=0.1·a₂

Agora as velocidades angulares finais

w_{1 =}2-1·t
w₂₌0+1·t

As velocidades angulares w₁ =w₂ se tornam iguais no instante t=1 s depois de ter-se acoplado. Neste instante a velocidade angular comum é 1 rad/s

• Balanço energético

Deslocamentos (ângulo girado por cada disco no tempo t)

q₁=1.5 rad
q₂=0.5 rad

Trabalho do momento das forças de atrito

W=-0.1·1.5+0.1·0.5=-0.1 J

O momento das forças de atrito é oposto ao deslocamento do primeiro disco e favorece o do segundo

Obtemos o mesmo valor que o do tópico 1º

Exemplo 2º

Um caso interessante é produzido quando ambos os discos tem o mesmo momento de inércia, e velocidades angulares iguais e de sentido contrário

• Momentos de inércia

Seja m₁=0.2 kg, r₁=1.0 m, I₁=0.1 kg·m²
Seja m₂=0.8 kg, r₂=0.5 m, I₂=0.1 kg·m²

• Velocidades angulares iniciais

Seja w₁=-4 rad/s
Seja w₂=4 rad/s

1. Princípio de conservação do momento angular

0.1·4-0.1·4=(0.1+0.1)·w , por que w =0 rad/s

Os discos são parados depois de acoplar-se

• Balanço energético

E_i=1.6 J
E_f=0.0 J

A perda de energia durante o acoplamento

W=E_f-E_i=-1.6 J

2. Forças internas

Seja o momento da força de atrito M_r=0.1 N·m. Calculamos as acelerações angulares de cada disco

-0.1=0.1·a₁
0.1=0.1·a₂

Agora as velocidades angulares finais

w_{1 =}4-1·t
w₂₌-4+1·t

As velocidades angulares w₁ =w₂ se tornam iguais no instante t=4 s depois de ter-se acoplado. Neste instante a velocidade angular final comum é zero

• Balanço energético

Deslocamentos (ângulo girado pelos discos) durante o tempo t

q₁=8 rad
q₂=-8 rad

Trabalho do momento das forças de atrito

W=-0.1·8+0.1·(-8)=-1.6 J

Sabemos agora que o momento das forças de atrito é oposta ao deslocamento de ambos os discos

Atividades

Introduza:

• Massa do disco inferior m₁ (kg)
• O raio do disco inferior foi fixado no programa r₁=1 m
• Velocidade angular inicial w₁ (rad/s)
• Massa do disco superior m₂ (kg)
• O raio do disco superior está fixado no programa r₂=0.5 m
• Velocidade angular inicial w₂ (rad/s)
• Momento das forças de atrito entre os discos M_r (N·m)

Clique no botão titulado Início.

Os discos começam a girar primeiro um independentemente do outro. Na parte esquerda na simulação, temos um diagrama de duas barras, uma para a energia e a outra para o momento angular.

Clique no botão titulado Começar

Ative o mecanismo que faz com que o disco superior se acople com o inferior (veja o desenho na parte inferior da simulação).

Quando estão acoplados começa a atuar o momento das forças de atrito.

Na parte direita da simulação, observamos a evolução da velocidade angular de cada disco em função do tempo. Podemos comprovar que a grandeza do momento da força de atrito não afeta a velocidade angular final comum de ambos os discos. Somente ao tempo que gastam para alcançar este estado final.

Na parte esquerda da simulação, é mostrada a energia e o momento angular de cada um dos discos. A conservação do momento angular não implica na conservação da energia. O efeito do acoplamento é a diminuição da energia inicial que se perde na forma de calor devido ao atrito entre ambos os discos, enquanto que o momento angular permanece constante. O momento angular de um disco aumenta, o do outro diminui porém a soma é constante.