Oscilações

Osciladores (II)

Oscilador não linear (I)

Oscilador não linear(II)

O pêndulo

Oscilações
anarmônicas

Molécula diatômica

O oscilador Morse

Oscilações de um
cilindro que roda.

Movimento de
um pistão

Máquina de Atwood

Período das oscilações

Atividades

O oscilador harmônico simples descreve uma grande variedade de situações físicas. Em geral, a energia potencial E_p(x) pode ser desenvolvida em série ao redor de sua posição de equilíbrio estável, que tomaremos como x=0.

O termo constante E_p(0) pode ser eliminado já que a energia potencial está definida a menos de uma constante aditiva.

O segundo termo é zero, já que na posição de equilíbrio x=0, a energia potencial apresenta um mínimo e como conseqüência, o terceiro termo tem que ser positivo.

O desenvolvimento em série da energia potencial E_p(x) é

Um oscilador é linear (harmônico simples) se todos os coeficientes a partir do terceiro são nulos, por isto que podemos expressar a energia potencial na forma

1. Em um grande número de situações físicas, a amplitude das oscilações é suficientemente pequena de modo, que o termo quadrático é o único relevante. Um exemplo, é o pêndulo composto, que será estudado com detalhes mais adiante.

2. Existe outros casos, nos quais a energia potencial E_p(x) não pode ser desenvolvido em série ao redor da posição de equilíbrio estável.

3. Em outros, a energia potencial E_p(x) pode ser desenvolvida em série ao redor da posição de equilíbrio estável, porém o termo quadrático é nulo e a série começa com um termo superior ao de segundo ordem.

Vamos estudar nesta página um exemplo da segunda categoria, a energia potencial E_p(x) não pode ser desenvolvida em série ao redor da posição de equilíbrio estável.

Consideremos uma partícula de massa m carregada com uma carga negativa q, nas proximidades de uma placa infinita carregada com uma densidade de carga positiva  σ C/m2. Na placa há um pequeno furo para que possa passar a partícula carregada, tal como é mostrado na figura A força que exerce o campo elétrico produzido por uma placa plana sobre a carga negativa q, é constante em módulo e de sentido contrário ao campo elétrico

• Quando a partícula está a direita x>0 da placa, a força é negativa F<0

• Quando a partícula está a esquerda x<0 da placa, a força é positiva F>0

A energia potencial E_p(x) correspondente a força conservativa F, é uma função que tem forma de V com o vértice na posição de equilíbrio x=0.

Esta função não pode ser desenvolvida em série ao redor de x=0.

Um outro exemplo deste tipo de oscilador, é o movimento de um material dielétrico entre as placas de um condensador conectado a uma bateria.

Equação do movimento

A posição e velocidade da partícula em qualquer instante t é calculada mediante as equações do movimento uniformemente acelerado

• Primeira etapa:

Desde a posição inicial x=A a posição x=0

Chega a origem no instante t₀, e o módulo de sua velocidade é v₀.

• Segunda etapa

Desde o momento que sai da origem até que regressa ao mesmo ponto sob a ação da força constante F.

Regressa a origem no instante t=3·t₀, com velocidade v₀.

• Terceira etapa

Desde o momento que sai da origem x=0, até que regressa a posição inicial x=A

Chega a posição inicial x=A no instante 4·t₀, com velocidade nula v=0.

Período das oscilações

O período P é quatro vezes o tempo gasto para chegar pela primeira vez a origem x=0, desde a posição inicial x=A

Atividades

Introduza

• O valor do campo elétrico produzido pela placa plana positiva σ/(2є₀), atuando na barra de deslocamento titulada campo

• A carga e a massa da partícula é fixada no valor m=q=1

Clique no botão titulado Início

• Com o ponteiro do mouse mova a partícula para a posição inicial A compreendida entre 0.0 e 1.0

Clique no botão titulado Começar

 Observe o movimento da partícula.

A direita na simulação, é representada a energia potencial E_p(x). A reta horizontal é a energia total, e a reta vertical está dividida em duas porções de cor vermelha e azul, a primeira representa a energia potencial e a segunda, a energia cinética. Também, é representada mediante uma flecha a força sobre a partícula.

Exemplo

• Seja o valor do campo ou da força sobre a partícula F=60.

• A carga e a massa da partícula valem q=m=1

• É deslocada a partícula para a posição inicial A=0.7 e a seguir é solta.

O período das oscilações é