Oscilações

Movimento Harmônico
Simples. M.H.S.

Movimento Harmônico
  Simples

M.H.S e movimento
circular uniforme

Composição de dois
M.H.S. de mesma
direção e freqüência

Composição de dois
M.H.S. de mesma
direção e distinta
freqüência

Composição de dois
M.H.S. de direções
perpendiculares

Medida da defasagem
e da freqüência

Cinemática de um M.H.S.

Dinâmica de um M.H.S.

Curva de energia potencial

Atividades

O estudo do oscilador harmônico constitui em Física um capítulo muito importante, já que são muitos os sistemas físicos oscilantes que ocorrem na natureza e que são produzidos pelo homem.

Definição

Uma partícula descreve um Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) quando se move ao longo do eixo X, estando sua posição x dada em função do tempo t pela equação

x=A·sen(ωt+φ)

onde

• A é a amplitude.
• w a freqüência angular.
• w t+j a fase.
• j a fase inicial.

As características de um M.H.S. são:

• Como os valores máximo e mínimo da função seno são +1 e -1, o movimento se realiza em uma região do eixo X compreendida entre -A e +A.

• A função seno é periódica e se repete cada 2p, por tanto, o movimento se repete quando o argumento da função seno é incrementado em 2p, logo, quando transcorre um tempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .

P=2π/ω

Cinemática de um M.H.S.

Em um movimento retilíneo, dada a posição de um móvel, obtemos a velocidade derivando relativo ao tempo e logo, a aceleração derivando a expressão da velocidade.

A posição do móvel que descreve um M.H.S. em função do tempo é dada pela equação

x=A·sen(ωt+φ)

Derivando com relação ao tempo, obtemos a velocidade do móvel

Derivando de novo relativo ao tempo, obtemos a aceleração do móvel

Este resultado podemos expressar na forma de equação diferencial

Esta é a equação diferencial de um MHS onde x pode ser qualquer grandeza: um deslocamento linear, um deslocamento angular, a carga de um condensador, uma temperatura, etc.

Podemos comprovar que a solução desta equação diferencial é

x=A sen(w t+j )

Condições iniciais

Conhecendo a posição inicial x₀ e a velocidade inicial v₀ no instante t=0.

x₀=A·senj
v₀=Aw·cosj

são determinadas a amplitude A e a fase inicial φ

Dinâmica de um M.H.S.

Aplicando a segunda lei de Newton obtemos a expressão da força necessária para que um móvel de massa m descreva um M.H.S. Esta força é proporcional ao deslocamento x e de sentido contrário a este.

Como a  força  F é conservativa. O trabalho desta força é igual a diferença entre o valor inicial e o final da energia potencial E_p.

A expressão da energia potencial é

Onde c é qualquer constante. Tomamos como nível zero da energia potencial E_p=0 quando o móvel esta na origem, x=0, por que c=0

A energia total E, é a soma da energia cinética E_k e da energia potencial E_p que é constante.

Curva de energia potencial

A função E_p=mω²x²/2 representa uma parábola cujo vértice está na origem, que tem um mínimo em x=0 cujo valor é E_p=0.

As regiões onde podemos mover a partícula é determinada pela condição de que a energia cinética tem que ser maior ou igual a zero E_k>=0. Em outras palavras, que a energia total seja maior ou igual a energia potencial E>=E_p. Se a partícula tem uma energia total E, a partícula somente poderá se mover na região compreendida entre -A e +A, sendo A a amplitude de seu M.H.S.

O módulo e o sentido da força é dado pela inclinação da reta tangente mudando de sinal. Por tanto, a força que atua sobre a partícula é negativa a direita da origem e positiva a esquerda.

Na origem a inclinação é nula, a força é nula, uma situação de equilíbrio, que por coincidir com um mínimo da energia potencial é de caráter estável.

Atividades

Introduza

• O valor de mω², atuando na barra de deslocamento titulada Constante

• A energia total da partícula E, atuando na barra de deslocamento titulada Energia.

Clique no botão titulado Começar

Observar os valores da energia cinética, potencial e a força sobre a partícula, em particular, quando a partícula passa pela origem e pelas posições de máximos deslocamento.