Oscilações

Osciladores (I)

Oscilações livres

Oscilações
amortecidas

Oscilações forçadas
o estado estacionário

Oscilações forçadas
o estado transitório 

O pêndulo de Pohl

Uma partícula cai 
sobre mola elástica

Caixa sobre uma correia
transportadora

Oscilador amortecido
por uma força constante (I).

Oscilador amortecido
por uma força constante (II).

Trajetória no espaço de fases

Energia do oscilador

Atividades

Nesta página, estudamos as oscilações livres tomando como modelo uma partícula de massa m unida a uma mola elástica de constante k.

Equação do movimento

Quando uma partícula se desloca x da posição de equilíbrio, atua sobre ela uma força que é proporcional ao deslocamento x, e de sentido contrário a este, tal como é mostrado na figura.

A equação do movimento é escrita

Tendo em conta que a aceleração é a derivada segunda da posição x, podemos expressar a equação do movimento como equação diferencial de segundo ordem.

w₀ é denominada freqüência própria ou natural do oscilador harmônico.

A vantagem de expressar as oscilações em termos de uma equação diferencial é que podemos estabelecer analogias entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecânicos elétricos, hidráulicos, etc.

A solução desta equação diferencial é a equação do M.H.S.

Condições iniciais

A posição inicial x₀ e a velocidade inicial v₀ determinam a amplitude A e a fase inicial j. Para t=0,

x₀=A·senj
v₀=Aw₀·cosj

Neste sistema de equações são explicitadas A e j a partir dos dados x₀  e v₀

Exemplo:

Seja um MHS de freqüência angular ω₀=100 rad/s. Sabendo que a partícula parte da posição x=5 com velocidade inicial nula, v₀=0, escrever a equação do MHS.

5=A·senj
0=100·A·cosj

A equação do MHS é

x=5·sen(100t+π/2)

Instantes nos quais o móvel passa por uma determinada  posição

Calculamos os instantes t nos quais o móvel passa pela posição x, sendo |x|<A

Exemplo:

Se a partícula descreve MHS

x=5·sen(100·t+π/2)

cujo período é P=2π/100

Calculamos os instantes que passa pela posição x=2

• O primeiro instante que passa pela posição x=2 é t=0.0116 com velocidade v<0

• O segundo instante que passa pela posição x=2 é t=0.0512 com velocidade v>0

• O terceiro instante que passa pela posição x=2 é t=0.0744=0.0116+2·π/100 com velocidade v<0

• O quarto instante que passa pela posição x=2 é t=0.1141=0.0512+2·π/100 com velocidade v>0

e assim, sucessivamente.

Trajetória no espaço de fases

O espaço de fases nos mostra outra perspectiva do comportamento de um oscilador, e representamos o momento linear (ou a velocidade) v no eixo vertical, e a posição do móvel x no eixo horizontal.

x=A·sen(ω₀t+φ)
v=A·ω_0·cos(ω₀t+φ)

Eliminando o tempo t nestas duas equações, obtemos a equação da trajetória, uma elipse.

Energia do oscilador

A característica essencial de uma oscilação livre é que a amplitude é mantida constante e por tanto, a energia total é mantida constante.

Atividades

Introduza

• a posição inicial x₀, no controle de edição titulado Posição
• a velocidade inicial do móvel v₀, no controle de edição titulado Velocidade.
• a freqüência angular foi fixada em w₀ =100 rad/s.

Clique no botão titulado Começar.

• Observe a posição do móvel em função do tempo na parte esquerda da janela, gráfico x-t. O valor da posição x do móvel é mostrada no canto superior esquerdo.
• A trajetória do móvel no espaço de fases, gráfico v-x, na parte superior direita.
• A energia total do móvel em função do tempo, gráfico E-t, na parte inferior direita.