Oscilações

Dependência do estado inicial

Bifurcações

Vamos examinar o comportamento de um sistema para diferentes valores de um parâmetro A, e a partir de um estado inicial dado. Este sistema é dado pela seguinte expressão, denominada equação logística

X_j+1=4AX_j(1-X_j)

onde

• X_j é o estado atual do sistema
• X_j+1 é o estado do sistema num instante posterior
• A é um parâmetro que pode tomar qualquer valor no intervalo (0, 1)

Para encontrar o estado do sistema em diferentes instantes, é seguido um processo iterativo: começamos com um valor inicial X₀, é encontrado o valor X₁ a partir da equação logística,

X₁=4AX₀(1-X₀).

Este último, é o valor inicial que usaremos para a iteração seguinte

X₂=4AX₁(1-X₁)

e assim sucessivamente.

Dado o valor do parâmetro A, o estado do sistema pode tender para um valor único e independente do valor inicial, pode oscilar entre dois valores fixos, entre quatro, ..etc. A partir de um certo valor crítico A_c=0.892486, o sistema oscila entre uma infinidade de estados e seu comportamento é dependente do valor inicial de partida.

Comparando com o sistema massa-mola, o valor de X representaria o deslocamento máximo entre rebotes sucessivos

No programa interativo, é representado o estado final (eixo vertical) do sistema em função do parâmetro A (eixo horizontal). Assim temos uma visão global do comportamento do sistema.

Observamos, como até um certo valor de A, A₀, o sistema tende para um só estado, até certo valor A₁, o sistema oscila entre dois estados, até certo valor A₂, o sistema oscila entre quatro estados, e assim sucessivamente. A razão

Como podemos comprovar, são observados comportamentos regulares (independentes do valor inicial), dentro do comportamento caótico (A>A_c), como o que corresponde a pequena região em torno a A=0.935. Denominamos a estas regiões ilhas de estabilidade.

Atividades

Introduza

• O valor inicial de A, no controle de edição titulado A desde
• O valor final de A, no controle de edição titulado até

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São representados 200 valores de x para cada valor de A no intervalo selecionado. É interessante observar o intervalo de 0.9 a 1.0.

Dependência do estado inicial

Examinemos com mais detalhe a equação logística, observando a evolução dos distintos estados X com o tempo, introduzindo nos controles de edição o valor do parâmetro A, e dois valores iniciais distintos, em cor vermelha são representados os estados X, correspondentes ao primeiro valor inicial, e em cor azul os estados X correspondentes ao segundo valor inicial.

Para a maior parte dos valores de A, os sucessivos estados X, não dependem do valor inicial, assim que somente veremos pontos azuis. Os pontos azuis são traçados depois e são superpostos sobre os pontos vermelhos. A partir de certo valor de A crítico A_c=0.892486, os sucessivos estados X dependem do valor inicial de partida, separando-se claramente os pontos vermelhos dos azuis.

Com este pequeno programa podemos determinar os valores limite de A, A₀ quando o sistema tende para um só estado,  A₁ quando o sistema oscila entre dois estados,  A₂, quando o sistema oscila entre quatro estados, e assim sucessivamente.

Atividades

• O valor de A, no controle de edição titulado A
• Dois valores de iniciais de x, nos controles de edição titulados Dois valores iniciais entre (0-1)

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