Fluidos

Estática de fluidos

Principio de Arquimedes

Medida da densidade 
de um líquido e de um sólido

Flutuação entre dois líquidos
não miscíveis

Equilíbrio de uma varinha
parcialmente submersa

Movimento de um corpo
no seio de um fluido ideal

Movimento de uma bolha
em um fluido viscoso

Flutuação de um barco

Oscilações de uma bóia

Oscilações de 
uma esfera

O diabinho de Descartes

Energia potencial mínima.

Energia potencial de um corpo que se move no seio de um fluido

Energia potencial de um corpo parcialmente submerso

Atividades

Princípio de Arquimedes

O princípio de Arquimedes afirma que todo corpo submerso em um fluido experimenta um empuxo vertical e para cima igual ao peso de fluido deslocado.

A explicação do princípio de Arquimedes consta de duas partes como é indicado nas figuras:

1. O estudo das forças sobre uma porção de fluido em equilíbrio com o resto do fluido.
2. A substituição desta porção de fluido por um corpo sólido de mesma forma e dimensão.

Porção de fluido em equilíbrio com o resto do fluido.

Consideremos, em primeiro lugar, as forças sobre uma porção de fluido em equilíbrio com o resto de fluido. A força que exerce a pressão do fluido sobre a superfície de separação é igual a p·dS, onde p somente depende da profundidade e dS é um elemento de superfície.

Posto que a porção de fluido se encontra em equilíbrio, a resultante das forças devidas a pressão deve ser anulada com o peso de desta porção de fluido. A esta resultante denominamos empuxo e seu ponto de aplicação é o centro de massa da porção de fluido, denominado centro de empuxo.

Deste modo, para uma porção de fluido em equilíbrio com o resto, é obedecido

Empuxo=peso=r_f·gV

O peso da porção de fluido é igual ao produto da densidade do fluido r_f  pela aceleração da gravidade g e pelo volume desta porção V.

Substituímos a porção de fluido por um corpo sólido de mesma forma e dimensões.

Se substituirmos a porção de fluido por um corpo sólido de mesma forma e dimensões. As forças devidas a pressão não mudam, por tanto, sua resultante que denominamos empuxo é a mesmo atua no mesmo ponto, denominado centro de empuxo.

O que muda é o peso do corpo sólido e seu ponto de aplicação que é o centro de massa, que pode ou não coincidir com o centro de empuxo.

Por tanto, sobre o corpo atuam duas forças: o empuxo e o peso do corpo, que não tem a princípio o mesmo valor nem estão aplicadas no mesmo ponto. Nos casos mais simples, supomos que o sólido e o fluido são homogêneos e por tanto, coincidem o centro de massa do corpo com o centro de empuxo.

Exemplo:

Suponhamos um corpo submerso de densidade ρ rodeado por um fluido de densidade ρ_f. A área da base do corpo é A e sua altura h.

A pressão devida ao fluido sobre a base superior é p₁= ρ_fgx, e a pressão devida ao fluido na base inferior é p₂= ρ_fg(x+h). A pressão sobre a superfície lateral é variável e depende da altura, está compreendida entre p₁ e p₂.

As forças devidas a pressão do fluido sobre a superfície lateral são anuladas. As outras forças sobre o corpo são as seguintes:

• Peso do corpo, mg

• Força devida a pressão sobre a base superior, p₁·A

• Força devida a pressão sobre a base inferior, p₂·A

No equilíbrio teremos que

mg+p₁·A= p₂·A
mg+ρ_fgx·A= ρ_fg(x+h)·A

ou então,

mg=ρ_fh·Ag

Como a pressão na face inferior do corpo p₂ é maior que a pressão na face superior p₁, a diferença é ρ_fgh. O resultado é uma força para cima ρ_fgh·A sobre o corpo devida ao fluido que o rodeia.

Como vemos, a força de empuxo tem sua origem na diferença de pressão entre a parte superior e a parte inferior do corpo submerso no fluido.

Com esta explicação surge um problema interessante e debatido. Suponhamos que um corpo de base plana (cilíndrico ou em forma de paralelepípedo) cuja densidade é maior que a do fluido, descansa no fundo do recipiente.

Se não há fluido entre o corpo e o fundo do recipiente, desaparece a força de empuxo, tal como é mostrado na figura

Se enchemos um recipiente com água e colocamos um corpo no fundo, o corpo ficaria em repouso sujeito a seu próprio peso mg e a força p₁A que exerce a coluna de fluido situada acima do corpo, inclusive se a densidade do corpo fosse menor que a do fluido. A experiência demonstra que o corpo flutua e chega a superfície.

O princípio de Arquimedes segue sendo aplicável em todos os casos e é enunciado em muitos textos de Física do seguinte modo:

Energia potencial mínima.

Neste tópico, estudamos o princípio de Arquimedes como um exemplo, de como a natureza busca minimizar a energia.

Suponhamos um corpo em forma de paralelepípedo de altura h, secção A e de densidade ρ_s. O fluido está contido em um recipiente de secção S  até uma altura b. A densidade do fluido é ρ_f> ρ_s.

Liberamos o corpo, este oscila para cima e para baixo, até que alcança o equilíbrio flutuando sobre o líquido ficando submerso um comprimento x.  O líquido do recipiente sobe até uma altura d. Como a quantidade de líquido não variou S·b=S·d-A·x

Temos que calcular x, de modo que a energia potencial do sistema formado pelo corpo e o fluido seja mínima.

Tomamos o fundo do recipiente como nível de referência da energia potencial.

O centro de massa do corpo se encontra a uma altura d-x+h/2. Sua energia potencial é E_s=(ρ_s·A·h)g(d-x+h/2)

Para calcular o centro de massas do fluido, consideramos o fluido como uma figura sólida de secção S e altura d ao qual falta uma porção de secção A e altura x.

• O centro de massas da figura completa, de volume S·d é d/2

• O centro de massas do oco, de volume A·x, está a uma altura (d-x/2)

A energia potencial do fluido é E_f=ρ_f(Sb)g·y_f

A energia potencial total é E_p=E_s+E_f

O valor da constante aditiva cte, depende da escolha do nível de referência da energia potencial.

Na figura, representamos a energia potencial E_p(x) para um corpo de altura h=1.0, densidade ρ_s=0.4, parcialmente submerso em um líquido de densidade ρ_f=1.0.

A função apresenta um mínimo, que é calculado derivando a energia potencial com relação a x e igualando a zero

Na posição de equilíbrio, o corpo se encontra submerso

Energia potencial de um corpo que se move no seio de um fluido

Quando um balão de hélio sobe no ar atuam sobre o balão as seguintes forças: O peso do balão Fg=–mgj . O empuxo Fe= rfVgj, sendo rf  a densidade do fluido (ar). A força de atrito Fr devida a resistência do ar

Dada a força conservativa podemos determinar a fórmula da energia potencial associada, integrando

• A força conservativa peso F_g=–mgj está associada com a energia potencial E_g=mg·y.
• Pela mesma razão, a força conservativa empuxo F_e= rVg j está associada a energia potencial E_e=-r_fVg·y.

Dada a energia potencial podemos obter a força conservativa, derivando

A energia potencial associada com as duas forças conservativas é

E_p=(mg- r_fVg)y

A medida que o balão sobe no ar com velocidade constante experimenta uma força de atrito F_r devida a resistência do ar. A resultante das forças que atuam sobre o balão deve ser zero.

r_f Vg- mg-F_r=0

Como r_fVg> mg a medida que o balão sobe sua energia potencial  E_p diminui.

Empregando o balanço de energia obtemos a mesma conclusão

O trabalho das forças não conservativas F_nc modifica a energia total (cinética mais potencial) da partícula. Como o trabalho da força de atrito é negativo e a energia cinética E_k não varia (velocidade constante), concluímos que a energia potencial final E_pB é menor que a energia potencia inicial E_pA.

Na página titulada "movimento de um corpo no seio de um fluido ideal", estudaremos a dinâmica do corpo e aplicaremos o princípio de conservação da energia.

Energia potencial de um corpo parcialmente submerso

No tópico anterior, estudamos a energia potencial de um corpo totalmente submerso em um fluido (um balão de hélio na atmosfera). Agora vamos supor um bloco cilíndrico que se colocado sobre a superfície de um fluido (por exemplo água).

Podem ocorrer dois casos:

• Que o bloco está parcialmente submerso se a densidade do corpo sólido é menor que a densidade do fluido, r_s< r_f.
• Que o corpo esteja totalmente submerso se r_s³ r_f.

Quando o corpo está parcialmente submerso, sobre o corpo atuam duas forças o peso mg=r_sSh·g que é constante e o empuxo r_fSx·g que não é constante. Sua resultante é

F=(-r_sShg+r_fSxg)j.

Onde S a área da base do bloco, h a altura do bloco e x a parte do bloco que está submersa no fluido.

Temos uma situação análoga a de um corpo que é colocado sobre uma mola elástica na posição vertical. A energia potencial gravitacional mgy do corpo diminui, a energia potencial elástica da mola kx²/2 aumenta, a soma de ambas alcança um mínimo na posição de equilíbrio, quando é obedecido –mg+kx=0, quando o peso se iguala a força que exerce a mola.

O mínimo de E_p é obtido quando a derivada de E_p relativo a y é zero, logo na posição de equilíbrio.

A energia potencial do corpo parcialmente submerso será, de forma análoga

O mínimo de E_p é obtido quando a derivada de E_p relativo a y é zero, logo, na posição de equilíbrio, quando o peso é igualado ao empuxo. -r_sShg+r_fSxg=0

O bloco permanece submerso um comprimento x. Nesta fórmula, foi designado r como a densidade relativa do sólido (relativo ao fluido) logo, a densidade do sólido tomando a densidade do fluido como a unidade.

Forças sobre o bloco

1. Quando r <1 ou então r_s< r_f, o corpo permanece parcialmente submerso na situação de equilíbrio.

2. Quando r >1 ou então r_s> r_f, o peso é sempre maior que o empuxo, a força liquida que atua sobre o bloco é

F_y=-r_sShg+r_fShg<0.

Não existe por tanto, posição de equilíbrio, o bloco cai até que chega ao fundo do recipiente que supomos muito grande.

3. Quando r =1 ou então r_s= r_f, O peso é maior que o empuxo enquanto o bloco está parcialmente submerso (x<h).

F_y=-r Shg+r Sxg<0.

A força liquida que atua sobre o bloco quando está completamente submerso (x³ h) é zero, qualquer posição do bloco, completamente submerso no seio do fluido, é de equilíbrio.

Curvas de energia potencial

1. A energia potencial correspondente a força conservativa peso é

E_g= r_sShgy

2. A energia potencial correspondente a força de empuxo tem duas partes

• Enquanto o corpo está parcialmente submerso (x<h)

Que corresponde a área do triângulo da figura da esquerda.

• Quando o corpo está totalmente submerso (x³ h)

Que corresponde a soma da área de um triângulo de base h, e a de um retângulo de base x-h.

3. A energia potencial total é a soma das duas contribuições

E_p=E_g+E_f

Quando a densidade do sólido é igual a do fluido r_s= r_f, a energia potencial total E_p é constante e independente de x (ou de y) para x³ h como podemos comprovar facilmente.

Atividades

Introduza

• A densidade do sólido r  relativa ao fluido na barra de deslocamento titulada Densidade relativa.

O bloco tem uma altura h=1 de uma unidade e uma secção S. Colocamos o bloco justamente acima da superfície do fluido. A altura de seu centro de massas é y₀=1.5 unidades.

Soltamos o bloco, chega até a posição final de equilíbrio y_e= r h, se a densidade r <1, ou até o fundo do recipiente se a densidade r >1.

O programa interativo não faz nenhuma suposição acerca do modo no qual o bloco parte da posição inicial e chega a posição final (não calcula a posição e velocidade do corpo em cada instante), já que o objetivo do programa é o de mostrar as variações na energia potencial E_p do corpo com a posição y do c.m. do mesmo.

Na parte direita na simulação, é traçada:

• a energia potencial devida a força conservativa peso E_g (em cor preta),
• a energia potencial devida ao empuxo E_f (em cor azul)
• a soma de ambas contribuições E_p (em cor vermelha) em função da posição y do c.m. do bloco

Como podemos ver a curva da energia potencial gravitacional E_g (em cor preta) é uma reta cujo valor máximo está na posição inicial y=1.5 e é zero quando o bloco chega ao fundo y=0.

A curva da energia potencial correspondente ao empuxo E_f (em cor azul) é algo mais complicada e consta de duas partes: Uma parábola enquanto o corpo está parcialmente submerso (x<h) ou (y>0.5), unida a uma linha reta quando o corpo está completamente submerso (x³ h) ou (y£ 0.5). A energia potencial inicial é zero e vai aumentando a medida que o corpo é submerso no fluido.

A curva da energia potencial total E_p (em cor vermelha) é a soma das duas contribuições, E_p=E_g+E_f

Para traçar estes gráficos foi tomada como unidade de energia, a energia potencial inicial do bloco r_sShg·y₀ com y₀=1.5, h=1 y r_s=r , densidade do sólido relativa ao fluido r_f=1. Deste modo, a energia potencial inicial do bloco é uma unidade.

Apresentamos três casos:

1. Quando r <1,a energia potencial apresenta um mínimo em x= r h. Neste caso com x=y₀-y, h=1 e y₀=1.5, teremos que a posição do c.m. no equilíbrio será y_e=1.5-r .
    
2. Quando r >1, a curva da energia potencial não tem mínimo e por tanto, não há posição de equilíbrio estável.
    
3. No caso limite no qual r =1 a energia potencial para y£ 0.5 é uma linha reta horizontal, e a posição de equilíbrio do c.m. do bloco pode ser qualquer y£ 0.5.