Fluidos

Dinâmica de fluidos

Esvaziamento de um depósito (I)

Esvaziamento de um depósito (II)

Foguete propulsado
por água

Oscilações em um tubo
em forma de U 

Oscilações e vasos
comunicantes

Fluidos reais
Lei de Poiseuille

Viscosidade de um gás

Viscosidade de um líquido

Fluido entre dois
cilindros coaxiais

Descarga de um
tubo-capilar

Carga e descarga de
um tubo-capilar

Analogia com as séries de
desintegração radioativa

Regime laminar e 
  turbulento

Efeito Magnus

Velocidade de saída do fluido em função da altura h.

Atividades

Referências

Foi estudado o comportamento de um fluido perfeito (equação de Bernoulli) e o comportamento de um fluido viscoso em regime laminar (equação de Poiseuille). No entanto, não existe uma teoria análoga que descreva o comportamento dos fluidos em regime turbulento, ou que explique a transição do regime laminar a turbulento.

O objetivo destas página é a de familiarizar o leitor com o denominado número de Reynolds, e a importância que tem na hora de definir se um determinado fluido está em regime laminar, turbulento, ou na transição entre ambos regimes.

Podemos observar que os resultados experimentais se ajustam notavelmente com as predições do fluxo laminar para valores baixos do número de Reynolds R, até aproximadamente 3000, e se ajustam as predições do fluxo turbulento para valores de R maiores que 4400 aproximadamente. Entretanto que os valores intermediários de R cobrem uma ampla região na qual é produzida a transição de fluxo e nenhuma das duas teorias reproduz satisfatoriamente os resultados experimentais.

O número de Reynolds é o número adimensional

Onde D é o diâmetro do tubo, r a densidade do fluido, e h a viscosidade, e v sua velocidade.

Para fluidos não ideais a equação de Bernoulli toma a forma

onde o termo H é denominado "perda de carga". Se o fluido é ideal H=0,

Dispositivo experimental

O dispositivo experimental consta de um frasco de Mariotte de 27.4 cm de diâmetro e 57.5 cm de altura, que deságua através de um tubo horizontal de comprimento L e diâmetro D, que é inserido em um orifício situado na parte inferior do frasco.

Dispomos de um conjunto de três tubos intercambiáveis dos seguintes diâmetros e comprimentos

A velocidade v de saída da água pelo tubo horizontal podemos determinar mediante simples medidas de vazão.

Na experiência real, são recolhidos os dados correspondentes a velocidade v de saída da água pelo tubo horizontal em função da altura h do tubo do frasco de Mariotte. São comparados os valores "experimentais" com as predições do fluxo laminar e do fluxo turbulento.

A utilização de tubos de vidro de dimensões diferentes permitem comprovar que a transição do regime laminar ao turbulento é independente destas, dependendo unicamente, do valor crítico de um parâmetro adimensional: o número de Reynolds.

O frasco de Mariotte

Um dos exemplos mais ilustrativos da equação de Bernoulli é o frasco de Mariotte. Este simples dispositivo nos proporciona uma vazão constante enquanto o nível de líquido no recipiente está acima do extremo inferior do tubo vertical.

Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos 0 (extremos inferior do tubo vertical) e 1 (orifício de saída ou entrada do tubo horizontal), teremos Tendo em conta que a diferença de alturas y0-y1=h, que a pressão p0 no extremo inferior do tubo vertical é a pressão atmosférica pat, e que v0» 0, já que a secção do recipiente é muito maior que a secção do orifício de saída.         (1)

O tubo horizontal

Para um tubo horizontal de secção uniforme a equação da continuidade implica que v₁=v₂=v. Os pontos 1 e 2 estão a mesma altura y₁=y₂=0, e a pressão na saída do tubo é a atmosférica p₂=p_at.

Fluido perfeito

Como v₁=v₂ e y₁=y₂. A equação de Bernoulli implica

p₁=p₂=p_at.

A equação (1) é escrita 

A vazão G=p ·r²·v, que é mantida constante enquanto que o nível do líquido no recipiente esteja acima do extremo inferior do tubo vertical.

Fluido viscoso em regime laminar

Ao estudar lei de Poiseuille vimos que a vazão G=πr²v era diretamente proporcional ao gradiente de pressão ao longo do tubo, logo, ao quociente (p₁-p₂)/L.

Como  p₂=p_at. a equação (1) é escrita

Exemplo:

Para a água a 20ºC os dados são densidade r=1000 kg/m³ e viscosidade h=1.002·10^-3 kg/(ms)

Suponha que utilizamos o primeiro tubo, L=29.3 cm e D=2r=2.42 mm, e que a altura h=30 cm

Resolvemos a equação de segundo grau para calcular v, tomando a raiz positiva v=1.30 m/s. O vazão é G=πr²v=6.0 litros/s

O número de Reynolds vale

Velocidade de saída do fluido em função da altura h.

• Entre o ponto 0 e 1 (frasco de Mariotte)

                     (1)

• Entre o ponto 1 e 2 (tubo horizontal),

Como o ponto 2 está em contato com o ar, p₂=p_at e v=v₁=v₂ pela equação da continuidade.

p₁-p_at=r (H_L+H_l)

Sendo H= H_L+H_l as perdas totais de carga.

Combinando ambas equações chegamos a equação que relaciona v e h.

   (2)

Há duas expressões para a perda H_L uma que descreve o comportamento do fluido em regime laminar e outra que descreve o comportamento do fluido em regime turbulento como veremos mais adiante.

Outras perdas

Desprezando o termo H_l são agrupadas outras perdas menores devidas a entrada e saída do fluido pelo tubo horizontal, e que são independentes de que o regime do fluido seja laminar ou turbulento.

sendo comuns os valores de K=0.78 na entrada e K=1 na saída. No total temos que

Fluido em regime laminar

A diferença de pressão p₁-p₂ nos extremos do tubo horizontal dividida pela densidade r do fluido, é denominada perda de carga H_L no fluxo laminar

Sendo L e D  o comprimento e o diâmetro do tubo horizontal e h a viscosidade do fluido.

A equação (2) tendo em conta as expressões das perdas de carga H_L no fluxo laminar e as perdas H_l devidas a entrada e saída do fluido pelo tubo horizontal, é expressa

:

Exemplo:

Para a água a 20ºC os dados são r=1000 kg/m³ y h=1.002·10^-3 kg/(ms)

Voltemos ao exemplo do tópico anterior. Suponha que utilizamos o primeiro tubo, L=29.3 cm e D=2r=2.42 mm, e que a altura h=30 cm

Resolvemos a equação de segundo grau para calcular v, tomando a raiz positiva v=0.988 m/s. A vazão é G=πr²v=4.5 litros/s

O número de Reynolds vale

Fluido em regime turbulento

Neste caso, é empregado a fórmula empírica de Blasius válida para tubos lisos e para valores do número de Reynolds até 10⁵.

Expressaremos  H_L em termos das variáveis básicas em vez do número de Reynolds R. As perdas  H_l devidas a entrada e saída do fluido pelo tubo horizontal tem a mesma expressão no regime laminar e no turbulento

A equação (2) é escrita

Resolvemos mediante o procedimento numérico do ponto médio.

Experiência

Estabelecemos a altura h do extremo inferior do tubo vertical no frasco Mariotte medida desde o centro do orifício de saída, ou desde o eixo do tubo horizontal.

A água que sai pelo extremo do tubo horizontal cai em um medidor de vazão. O volume de água que sai do tubo horizontal na unidade de tempo (vazão) é

Medimos o volume V de água em cm³ recolhida no medidor de volume no tempo t, V=G·t. Conhecido o diâmetro do tubo calculamos a velocidade v de saída da água.

Se empregarmos o terceiro tubo D=5.36 mm e se foi gasto um tempo t=8.89 s para recolher V=200 cm³. A velocidade v de saída da água é

v=99.7 cm/s =1.0 m/s

O número de Reynolds é calculado mediante a fórmula

Atividades

Escolhemos um dos três tubos horizontais ativando o botão de raio 1, 2, ou 3 do grupo titulado Tubo de vidro

Clique no botão titulado Início.

Estabelecemos a altura h do extremo inferior do tubo vertical no frasco Mariotte, arrastando a flecha de cor vermelha com o ponteiro do mouse

Clique no botão titulado Começar.

Representamos uma porção do tubo horizontal ampliada, e uma linha de corrente, uma linha horizontal  indica que o fluxo é laminar, uma linha quebrada mostra que o fluxo é turbulento.

O programa interativo calcula a velocidade v do fluido no tubo horizontal para cada altura h e o número de Reynolds.

Clique no botão titulado Dados

Os pares de dados h e v são guardados no controle área de texto situado a esquerda na simulação.

Clique no botão titulado Início e repetimos o processo de medida

Quando se tenham suficientes dados (quatro pares ou mais) clique no botão titulado Gráfico.

Mudamos o tubo horizontal, ativando no correspondente botão de raio do grupo titulado Tubo de vidro

Representamos os dados "experimentais", e as funções que descrevem o comportamento do fluido em regime laminar (em vermelho) e em regime turbulento (em azul).