Física Estatística e Termodinâmica

Física Estatística

Teoria cinética dos
  gases

Equação da trans-
formação adiabática.

Função de distribuição
de Boltzmann (I) 

Função de distribuição
de Boltzmann (II)  

Níveis discretos
de energia

Experimento de
Stern-Gerlach

Vibração das
moléculas diatômicas

Modelo simples
de atmosfera

Distribuição das
velocidades das
moléculas

Efusão de um gás

• Pressão exercida por um gás
• Definição cinética de temperatura

Atividades

Nesta secção estudaremos um sistema de muitas partículas e consideraremos a conduta média de seus constituintes microscópicos. Em particular, será calculada a pressão exercida pelo sistema de partículas em termos dos choques que experimentam as moléculas do gás contra as paredes do recipiente.

O objetivo do programa, é o de relacionar as variáveis pressão, volume e temperatura, em um modelo de gás ideal bidimensional, assim como a de conhecer a interpretação cinética da pressão e da temperatura de um gás.

O gás ideal bidimensional está encerrado em um recipiente que dispõe de um êmbolo móvel, de modo que podemos aumentar ou diminuir o volume do gás. As moléculas são colocadas inicialmente em posições aleatórias, as direções de suas velocidades também são aleatórias e suas intensidades são iguais e proporcionais a raiz quadrada da temperatura. Temos deste modo um sistema de partículas em equilíbrio a temperatura T, que chocam elasticamente entre se e com as paredes do recipiente.

O programa calcula a variação do momento linear que experimentam as moléculas ao chocar com o êmbolo e divide esta variação pelo tempo de colisão. O quociente é uma medida da força que exerce o êmbolo sobre as moléculas do gás, ou também pode ser interpretado como a medida da pressão do gás se dividirmos a força pela área.

O programa interativo, também nos permite observar o vetor velocidade associado a cada molécula e como este vetor muda de orientação porém não de módulo quando uma molécula choca com a parede do recipiente, porém varia em módulo e direção quando é produzido uma colisão entre duas moléculas.
Vemos que partindo de uma distribuição inicial no qual as velocidades das moléculas são iguais em módulo, ao cabo de um certo tempo umas moléculas tem maior velocidade e outras moléculas tem menor velocidade. A distribuição de velocidades quando é alcançado o equilíbrio segue a lei de distribuição de Maxwell.

Descrição

O postulado básico da teoria cinética dos gases é que as direções e as intensidades das velocidades das moléculas estão distribuídas ao acaso.

Quando nos referimos as velocidades das moléculas, as medimos relativo ao centro de massas do sistema gasoso, por tanto, a pressão e a temperatura do gás não é modificado se o recipiente que o contém está em movimento.

Se supormos que as velocidades no sentido positivo do eixo X (ou do eixo Y ou Z) são igualmente prováveis a do sentido negativo, as velocidades médias ao longo dos eixo são nulas, logo.

Por outra parte, é estabelecido que as velocidades ao longo do eixo X não estarão relacionadas com as velocidades ao longo do eixo Y ou Z, por tanto,

Como o quadrado do módulo da velocidade é v²= v²_x +v²_y +v²_z resulta que < v²>=3< v²_x>

A pressão exercida pelo gás

Suponhamos que o gás está encerrado em um recipiente, tal como é mostrado na figura. O recipiente dispõe de um êmbolo móvel de área A. Para manter fixo o êmbolo é necessário exercer uma força F, perpendicular à superfície do êmbolo. O valor da força F é igual ao produto da pressão exercida pelo gás pela área do êmbolo.

F=PA

As moléculas do gás chocam elasticamente com o êmbolo, de modo que a componente X da velocidade muda de sentido. Por tanto, a variação no momento linear de cada molécula é

Dp=2mv_x

Se o número total de moléculas que chocam com o êmbolo no intervalo de tempo compreendido entre t e t+Dt é N_x, a variação de momento linear será 2mv_xN_x.

Podemos calcular N_x considerando que somente a metade das moléculas, em média, tem o sentido da velocidade para a parte positiva do eixo X, logo, se dirigem para o êmbolo.

Se supormos que as moléculas que chocam com o êmbolo tem o mesmo valor da componente X da velocidade, cruzarão a área A no tempo Dt todas as partículas contidas no volume Av_xDt. Se n é o número de partículas por unidade de volume N_x valerá então, nAv_xDt/2.

A variação de momento linear Dp no intervalo de tempo compreendido entre t e t+Dt é mv_x nAv_xDt.

A força sobre o êmbolo é o quociente entre a variação do momento linear e o tempo que gasta para efetuar esta variação.

e por tanto, a pressão exercida pelo gás vale

P=n(mv²_x)

Todas as moléculas não tem o mesmo valor v_x de velocidade, e sim que a distribuição de velocidades é tal que seu valor médio quadrático é <v²_x>. Por tanto, na expressão da pressão P, temos de substituir v²_x por <v²_x>.

(1)

já que <v²_x>=<v²>/3

O último termo que aparece na fórmula é o valor médio da energía cinética.

Definição cinética da temperatura

A temperatura de um sistema é definido em Termodinâmica como uma variável que é medida pelas mudanças observadas nas propriedades macroscópicas da matéria quando varia a temperatura. A equação de estado de um gás ideal relaciona as propriedades macroscópicas, pressão P, o volume V e temperatura T.

Sendo m o número de moles.

O número n de moléculas por unidade de volume é obtido dividindo o número total de moléculas N pelo volume do recipiente V.

onde N₀ o número de Avogadro

Introduzindo n na expressão da pressão do gás (1), obtemos

                (2)

Comparando esta equação com a de estado de um gás ideal, chegamos a definição cinética de temperatura

O quociente entre as duas constantes R e N₀ é outra constante que designamos por k, a constante de Boltzmann.

A temperatura absoluta definida, por exemplo, para um termômetro de gás ideal é uma medida direta da energia média de translação das moléculas do gás.

                       (3)

A temperatura poderia ser medida em unidades de energia, o fato de ser medida em graus se deve a definição tradicional de temperatura, que foi estabelecida antes de que fosse descoberta a relação antes mencionada.

Outra forma útil da equação dos gases perfeitos que é derivada de (2) e (3) é

P·V=N·k·T

Onde N é o número de moléculas contidas no recipiente de volume V.

Como as moléculas de um gás ideal somente tem energia cinética, desprezamos a energia potencial de interação devido a que no modelo de gás ideal consideramos que as moléculas não tem carga elétrica. A energia interna U de um gás ideal é N vezes a energia cinética média de uma molécula.

Atividades

Introduza

• O valor da temperatura do gás ideal, atuando na barra de deslocamento titulada Temperatura.
• O "volume" do recipiente, atuando na barra de deslocamento titulada Posição do êmbolo.
• O número de partículas, no controle de edição titulado Número de partículas

Clique no botão titulado Começar

Relacionar a pressão e o "volume" do gás mantendo constante a temperatura. Se mantivermos constante o produto P por V?

Relacionar a pressão e a temperatura mantendo fixo o volume (a posição do êmbolo). Aumente linearmente a pressão com a temperatura?

Para observar o vetor velocidade associado a cada partícula, introduza no controle de edição titulado Número de partículas, um número pequeno de partículas, por exemplo 5.

Quando é clicado o botão titulado Pausa, é detido momentaneamente as moléculas para observar o vetor velocidade associado a cada uma delas. Quando clicamos repetidamente no botão titulado Passo, podemos seguir passo a passo o movimento das moléculas, podemos observar os choques das moléculas com as paredes do recipiente e das moléculas entre se e como isto afetam a seus vetores velocidade respectivos.

Clicando no botão titulado agora Continua, prossegue o movimento das moléculas.