Física Estatística e Termodinâmica

Física Estatística

Teoria cinética dos
gases

Equação da trans-
formação adiabática.

Função de distribuição
de Boltzmann (I) 

Função de distribuição
de Boltzmann (II)   

Níveis discretos
de energia

Experimento de
Stern-Gerlach

Vibração das
moléculas diatômicas

Modelo simples
  de atmosfera

Distribuição das
velocidades das
moléculas

Efusão de um gás

Atmosfera linear

Referências

Como uma aplicação da lei de distribuição de Boltzmann, vamos calcular a variação da pressão do ar em função da elevação y acima do nível do mar. Para simplificar o problema, supomos que a temperatura se mantém constante com a altitude. Desprezaremos a pequena variação da intensidade do campo gravitacional g com a altura, sempre que consideremos a porção de atmosfera mais próxima a superfície da Terra. Suporemos finalmente, que o ar é um gás ideal que é formado por um só componente, o mais abundante, o nitrogênio.

Vamos comprovar que a distribuição das moléculas com a altura segue uma lei exponencialmente decrescente, justamente a lei de Boltzmann.

Um comportamento similar é produzido quando pequenas partículas estão suspensas no seio de um fluído. Perrin as observou em 1909 com um microscópio e comprovou que a distribuição da densidade destas partículas seguia uma lei exponencial, a partir da qual obteve um valor preciso da constante k de Boltzmann.

Atmosfera isotérmica

Examinemos as forças sobre um pequeno volume secção A e de espessura Dy compreendido entre as alturas y e y+Dy. A força da gravidade sobre esta porção da atmosfera é Fy=-mg(n·A·Dy) Onde m é a massa de uma molécula e n é o número de moléculas por unidade de volume, que é uma função da altura y, que vamos determinar. A força Fy é compensada pela diferença de pressão nas altitudes y e y+Dy, tal como se vê na figura.

(p(y+Dy) - p(y))A=-mg(n·A·Dy)

ou então,

No limite quando Dy tende a zero, obtemos a derivada da pressão

Se considerarmos a atmosfera como um gás ideal, se cumpre que pV=NkT, ou então p=nkT.

• O número de moléculas  é igual ao número de Avogadro pelo número de moles, N=N_A·n
• O número de Avogadro pela constante k de Boltzmann nos dá a constante R=kN_A dos gases, N_A=6.0225·10²³ moléculas/mol, k=1.3805·10^-23 J/K, R=8.3143 J/(K·mol)

Integrando esta equação, obtemos

onde n₀ é o número de moléculas por unidade de volume ao nível do mar.

O número de moléculas por unidade de volume decresce exponencialmente com a altura. É importante destacar que o numerador na função exponencial mgy representa a energia potencial das moléculas individuais com relação ao nível do mar. Por tanto, a distribuição de moléculas com a altura segue a lei de Boltzmann.

Como a equação dos gases ideais é p=nkT. A pressão também diminui exponencialmente com a altura

onde p₀ é a pressão ao nível do mar, uma atmosfera.

Para o nitrogênio N₂ a temperatura de 300 K

Atividades

Introduza

• O valor da temperatura absoluta, no controle de edição titulado Temperatura,

Clique no botão titulado Gráfico.

Na coluna situada a esquerda na simulação se observa uma imagem da distribuição das moléculas com a altura. Na parte direita, se observa a diminuição da pressão p/p₀ com a altura. A disposição do gráfico é algo não usual, já que os eixos estão girados, no eixo vertical é representada a altura sobre o nível do mar (variável independente), e no eixo horizontal a pressão (variável dependente).

A atmosfera linear

A suposição de que a temperatura da atmosfera é a mesma para qualquer altura não é correta. No avião nos informam que a temperatura exterior é muito baixa quando o avião voa a grande altura. A temperatura em geral não varia linearmente com a altura, e sim de forma mais complexa dependendo da camada atmosférica. Por exemplo, na troposfera que é uma capa que se estende desde 12 km a 16 km de altura é de aproximadamente -6.5 ºC/km.

Suponhamos que a variação da temperatura com a altura é da forma

T=T₀-ay

onde T₀ é a temperatura ao nível do solo e a é o gradiente de temperatura. Por exemplo -6.5 ºC/km.

Partimos da expressão

Integrando

Na figura, é comparada a variação da pressão p/p₀ com a altura y, no caso de uma atmosfera isoterma (cor vermelha) e a variação da pressão com a altura para uma atmosfera linear (cor azul)