Eletromagnetismo

Condensadores

Condensador plano-
  paralelo

Modelo elétrico de 
um ciclo de Carnot

Condensador cilíndrico

Condensador esférico

Condensador com um
dielétrico.

Força sobre um 
dielétrico (I)

Força sobre um 
dielétrico (II)

Carga e descarga de
um condensador

Medida da velocidade
de uma bala

Associação de
condensadores

Condensador plano-paralelo

Energia de um condensador carregado

Eletrômetro de placas

Atividades

Referências

Condensador

Se denomina condensador ao dispositivo formado por dois condutores cujas cargas são iguais porem de sinal oposto.

A capacidade C de um condensador é definida como o cociente entre a carga Q e a diferença de potencial V-V’ existente entre elas.

A unidade de capacidade é o faraday F, embora se sejam empregados submúltiplos desta unidade como o microfaraday µF=10^-6 F, e o picofaraday, pF=10^-12 F.

Um condensador acumula uma energia U em forma de campo elétrico. A fórmula como demonstraremos mais abaixo é

Em primeiro lugar, calculamos o campo criado por uma placa plana indefinida, carregada com uma densidade de carga s , aplicando a lei de Gauss.

Campo criado por uma placa plana indefinida, carregada.

Para uma placa indefinida carregada, a aplicação do teorema de Gauss requer os seguintes passos:

1.-A partir da simetria da distribuição de carga, determinar a direção do campo elétrico.

A direção do campo é perpendicular a placa carregada, para fora se a carga é positiva e para a placa se a carga é negativa.

2.-Escolha uma superfície fechada apropriada para calcular o fluxo

Tomamos como superfície fechada, um cilindro de base S, cuja geratriz é perpendicular a placa carregada. O fluxo tem duas contribuições

• Fluxo através das bases do cilindro: o campo e o vetor superfície são paralelos.

E·S₁+E·S₂=2EScos0º=2ES

• Fluxo através da superfície lateral do cilindro. O campo E é perpendicular ao vetor superfície dS, o fluxo é zero.

O fluxo total é por tanto; 2ES

3. Determinar a carga que existe no interior da superfície fechada

A carga (na figura de cor vermelha) no interior da superfície fechada vale q=s S, donde s é a carga por unidade de superfície

4.-Aplicar o teorema de Gauss e explicitar o módulo do campo elétrico

O campo produzido por uma placa infinitamente grande é constante, sua direção é perpendicular a placa. Esta fórmula a podemos considerar válida para distâncias próximas a uma placa em comparação com suas dimensões.

Campo criado por duas placas planas carregadas com cargas iguais e opostas.

Suporemos que as placas são infinitamente grandes ou então, que a separação entre as placas é pequena comparada com suas dimensões. Na figura de cima, é mostrado o campo produzido por cada uma das placas e na figura de baixo, o campo resultante. Seja um condensador formado por duas placas iguais de área S, separadas por uma distância d, pequena em comparação com as dimensões das placas. O campo se anula na região do espaço situado fora das placas, e se soma no espaço situado entre as placas. Por tanto, somente existe campo entre as placas do condensador, sendo desprezível fora das mesmas.

Como o campo é constante, a diferença de potencial entre as placas é calculada multiplicando o módulo do campo pela separação entre as mesmas. A área do retângulo da figura.

A capacidade do condensador plano-paralelo será

onde Q=s S é a carga total da placa do condensador.

A capacidade do condensador somente depende de sua geometria, da área das placas S e da separação entre as mesmas d.

Para carregar um condensador passamos carga da placa de menor para a de maior potencial e requer, por tanto, o consumo de energia. Imaginemos que o processo de carga começa com ambas as placas completamente descarregadas e depois, sacamos repetidamente cargas positivas de uma delas e as passamos a outra. Em um momento dado, teremos uma carga q nas placas e a diferencia de potencial entre as mesmas será V tal que

O trabalho necessário para incrementar em dq a carga do condensador será

O trabalho total realizado no processo de carga, enquanto esta aumenta desde zero até seu valor final Q.

• Carga constante

Conectamos o condensador plano-paralelo a uma bateria que carrega as placas do condensador com uma carga q. A seguir, desconectamos a bateria.

Suponhamos que a separação entre as placas do condensador é x, e mediante uma força mecânica externa F_m igual e oposta a força de atração eletrostática F_e aumentamos a separação entre as placas em dx.

O trabalho dW_m=F_m·dx realizado pela força mecânica se converte em modificar a energia U=q²/(2C) armazenada pelo condensador em forma de campo elétrico. Como a bateria está desconectada não adiciona nenhuma energia ao condensador durante este processo, por que dW_m=dU

Para um condensador plano-paralelo ideal C=ε₀·S/x, a força vale

Quando a placa do condensador se desloca Δx a capacidade diminui, a energia do condensador aumenta

O trabalho realizado pela força exterior F_m=F_e para incrementar a separação das placas é

O trabalho realizado pela força exterior F_m é empregado em incrementar a energia ΔU_c do condensador

Paradoxo

O campo elétrico no condensador é constante e seu valor é σ/ε₀ ou então, q/(Sε₀), a força que exerce este campo sobre a placa carregada é q²/(Sε₀), que é o dobro do que foi deduzido. Como se entende estes dois resultados dispares?.

Imaginemos que a carga na superfície da placa ocupa uma camada delgada, como é indicado na figura, o campo variará desde zero na superfície interna da capa até σ/ε₀ no espaço entre as placas. O campo médio que atua sobre a carga situada na camada delgada é σ/(2ε₀ ), e por tanto as forças sobre a carga situada na camada delgada é qσ/(2ε₀ )=q²/(Sε₀). Esta é a razão do fator 1/2 que aparece na expressão da força que foi deduzida. (Veja Feynman)

A força de atração entre as placas F_e=-F_m é constante e independente de sua separação x. A força F_e podemos obter a partir da energia armazenada em forma de campo elétrico no condensador U=q²/(2C), mediante a expressão.

• Potencial constante

A balança de Kelvin mede a força entre as placas de um condensador plano-paralelo carregado. Uma das placas do condensador pende de um braço de uma balança, no outro braço são colocados pesos.

As placas do condensador são postas em contato com uma fonte ajustável de alta voltagem, que vai variando pouco a pouco até que a balança é colocada em equilíbrio. Um anel metálico que rodeia a placa superior minimiza os efeitos do campo que sai pelas bordas das placas paralelas

Vamos determinar a força F_e de atração entre as placas, supondo que o condensador tem inicialmente uma capacidade C, e as placas estão carregadas com uma carga q tal que q=C·V

Incrementamos em dx a separação entre as placas exercendo uma força mecânica exterior Fm sobre a placa móvel igual e oposta a força de atração elétrica Fe entre as placas. O trabalho realizado pela força mecânica é dWm=Fm·dx

Se as placas do condensador são mantidas a uma diferença de potencial constante V mediante uma bateria, ao modificar-se a capacidade, a bateria realiza um trabalho para adicionar ou retirar uma carga dq=V·dC. Este trabalho vale

dW_V=V·dq=V²·dC

O trabalho total realizado sobre o condensador modifica a energia U=CV²/2 armazenada no mesmo na forma de campo elétrico.

dU= dW_V+ dW_m

Como V é constante, temos que

½V²·dC=V²·dC+F_m·dx

Explicitamos a força F_m

Para um condensador plano-paralelo ideal C=ε₀·S/x

A força de atração entre as placas F_e=-F_m é inversamente proporcional ao quadrado de sua separação x. A força F_e podemos obter também, a partir da energia U=CV²/2 armazenada na forma de campo elétrico no condensador, mediante a expressão.

Quando a placa do condensador é deslocada Δx a capacidade diminui, a energia do condensador diminui.

A força F_m=F_e que devemos fazer para deslocar a placa, de acordo com a argumentação do ponto anterior.

O trabalho desta força é

A medida que é separada as placas, decresce a capacidade, as placas perdem carga que vai a bateria.

O trabalho realizado sobre a bateria é o produto da perda de carga que experimenta o condensador pela ddp V da bateria

A bateria ganha energia que prover, a metade, da diminuição da energia condensador ΔU_c e a outra metade, do trabalho realizado pela força externa W_m.

A simulação trata de medir uma tensão desconhecida V, mediante um eletrômetro formado por duas placas planas e paralelas.

A diferença de potencial V é calculada medindo a força F entre as placas, conhecidos os dados da distância x entre as placas e a área S das mesmas.

Quando clicamos no botão titulado Novo, é gerado um número aleatório que representa a tensão V desconhecida de um gerador.

Quando clicamos no botão titulado Conectar, as placas do condensador se conectam a este gerador, atraindo-se entre se. A balança se desequilibra já que seu braço está unido a placa superior do condensador, e temos que voltar a equilibrar para medir a força de atração F.

Movendo os cursores da balança (flechas de cor azul, vermelha e preta) equilibramos a balança e medimos a força em miligramas.

Exemplo:

Equilibramos a balança deslocando com o ponteiro do mouse os cursores até marcar 481 mg.

Sabendo que a área das placas é de 400 cm² e que sua separação é de 1 cm. Introduzimos os dados na fórmula da força nas unidades adequadas.

Comparamos nossos cálculos com a resposta dada pelo programa interativo 1631.7 V, clicando no botão titulado Resposta.