Dinâmica

Trabalho e energia

Trabalho e energia

O pêndulo simples

A mola elástica (I)

A mola elástica (II)

A mola elástica (III)

Partícula unida a 
uma borracha

Trabalho e energia
(o loop)

O pêndulo cônico

Equilíbrio e 
estabilidade (I)

Equilíbrio e 
estabilidade (II)

Equilíbrio e 
estabilidade (III)

Equilíbrio e 
estabilidade (IV)

Movimento sobre
uma ciclóide (I)

Movimento sobre
cúpula semi-esférica

Movimento sobre
superfície semicircular

Corrida de dois
esquiadores

Movimento sobre
uma ciclóide (II)

Movimento sobre
uma parábola

Medida da aceleração da gravidade

Atividades

Nesta página estudamos o comportamento do pêndulo simples quando sua amplitude é pequena. No capítulo de Oscilações estudaremos o comportamento do pêndulo para qualquer valor da amplitude

Fundamentos físicos

Um pêndulo simples é definido como uma partícula de massa m suspensa do ponto O por um fio inextensível de comprimento l e de massa desprezível.

Se a partícula é deslocada da posição q₀ (ângulo que faz o fio com a vertical) e logo é solta, o pêndulo começa a oscilar.

O pêndulo descreve uma trajetória circular, um arco de uma circunferência de raio l. Estudaremos seu movimento na direção tangencial e na direção normal. As forças que atuam sobre a partícula de massa m são duas O peso mg A tensão T no fio

• Equação do movimento na direção radial

A aceleração da partícula é a_n=v²/l dirigida radialmente para o centro de sua trajetória circular.

A segunda lei de Newton é escrita

ma_n=T-mg·cosq

Conhecido o valor da velocidade v na posição angular q  podemos determinar a tensão T no fio.

A tensão T no fio é máxima, quando o pêndulo passa pela posição de equilíbrio, T=mg+mv²/l

É mínima, nos extremos de sua trajetória quando a velocidade é zero, T=mgcosq₀

• Princípio de conservação da energia

Na posição θ=θ₀ o pêndulo somente tem energia potencial, que se transforma em energia cinética quando o pêndulo passa pela posição de equilíbrio.

Comparemos duas posições do pêndulo: Na posição extrema θ=θ0, a energia é somente potencial. E=mg(l-l·cosθ0) Na posição θ, a energia do pêndulo é parte cinética e a outra parte potencial

A energia se conserva

v²=2gl(cosθ-cosθ₀)

A tensão da corda é

T=mg(3cosθ-2cosθ₀)

A tensão da corda não é constante, ou seja varia com a posição angular θ. Seu valor máximo é alcançado quando θ=0, o pêndulo passa pela posição de equilíbrio (a velocidade é máxima). Seu valor mínimo, quando θ=θ₀ (a velocidade é nula).

• Equação do movimento na direção tangencial

A aceleração da partícula é a_t=dv/dt.

A segunda lei de Newton é escrita

ma_t=-mg·senq

A relação entre a aceleração tangencial a_t e a aceleração angular a é a_t=a ·l. A equação do movimento é escrita na forma de equação diferencial

(1)

Medida da aceleração da gravidade

Quando o ângulo q  é pequeno então, senq » q , o pêndulo descreve oscilações harmônicas cuja equação é

q =q₀·sen(w t+j )

de freqüência angular w²=g/l, ou do período

A lei da gravitação de Newton descreve a força de atração entre dois corpos de massas M e m respectivamente cujos centros estão separados de uma distância r.

A intensidade do campo gravitacional g, ou a aceleração da gravidade no ponto P situado a uma distância r do centro de um corpo celeste de massa M é a força por unidade de massa g=F/m colocada neste ponto.

sua direção é radial e dirigida para o centro do corpo celeste.

Na página dedicada ao estudo do Sistema Solar, proporcionamos os dados relativos a massa (ou densidade) e raio dos distintos corpos celestes.

Exemplo:

Marte tem um raio de 3394 km e uma massa de 0.11 massas terrestres (5.98·10²⁴ kg). A aceleração g da gravidade em sua superfície é

Temos dois procedimentos para medir esta aceleração

• Cinemática

Medimos com um cronômetro o tempo t gasto para cair uma partícula desde uma altura h. Supomos que h é muito menor que o raio r do corpo celeste.

• Oscilações

Empregamos um instrumento muito mais simples, um pêndulo simples de comprimento l. Medimos o período de várias oscilações para minimizar o erro da medida e calculamos  o período P de una oscilação. Finalmente, explicitamos g de a fórmula do período.

Da fórmula do período estabelecemos a seguinte relação linear.

São representados os dados "experimentais" em um sistema de eixos: P2/(4p2) no eixo vertical e O comprimento do pêndulo l no eixo horizontal. A inclinação da reta é inversa da aceleração da gravidade g.

Atividades

Selecione um corpo celeste da lista de corpos celestes, no controle de seleção titulado Planeta

Estabeleça o comprimento l do pêndulo em cm, atuando na barra de deslocamento.

Clique no botão titulado Em marcha, para colocar em marcha o cronômetro, clique no mesmo botão titulado Parar, para medir o intervalo de tempo. Nesta "experiência" medimos o tempo de cinco oscilações

Variando o comprimento do pêndulo e realizamos uma nova medida e assim sucessivamente.

No controle área de texto, situado a esquerda da simulação recolhemos os dados "experimentais", comprimento do pêndulo (em m) período (de uma oscilação em s). Quando temos suficientes dados clique no botão titulado Gráfico.

O programa interativo traça a reta cuja inclinação é a inversa da aceleração da gravidade g e os dados "experimentais" na forma de pontos de cor vermelho.