Dinâmica

Trabalho e energia

Trabalho e energia

O pêndulo simples

A mola elástica (I)

A mola elástica (II)

A mola elástica (III)

Partícula unida a 
uma borracha

Trabalho e energia
(o loop)

O pêndulo cônico

Equilíbrio e 
estabilidade (I)

Equilíbrio e 
estabilidade (II)

Equilíbrio e 
estabilidade (III)

Equilíbrio e 
estabilidade (IV)

Movimento sobre
uma ciclóide (I)

Movimento sobre
cúpula semi-esférica

Movimento sobre
superfície semicircular

Corrida de dois 
esquiadores

Movimento sobre
uma ciclóide (II)

Movimento sobre
uma parábola

Conceito de trabalho

Conceito de energia cinética

Força conservativa. Energia potencial

Princípio de conservação da energia

Forças não conservativas

Balanço de energia

Conceito de trabalho

Se denomina trabalho infinitesimal, ao produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento.

Onde F_t é a componente da força ao longo do deslocamento, ds é o módulo do vetor deslocamento dr, e q  o ângulo que forma o vetor força com o vetor deslocamento.

O trabalho total ao longo da trajetória entre os pontos A e B é a soma de todos os trabalhos infinitesimais

Seu significado geométrico é a área sob a representação gráfica da função que relaciona a componente tangencial da força Ft, e o deslocamento s.

Exemplo: Calcular o trabalho necessário para alongar uma mola 5 cm, se a constante da mola é 1000 N/m.

A força necessária para deformar uma mola é F=1000·x N, onde x é a deformação. O trabalho desta força é calculado mediante a integral

A área do triângulo da figura é (0.05·50)/2=1.25 J

Quando a força é constante, o trabalho é obtido multiplicando a componente da força ao longo do deslocamento pelo deslocamento.

Exemplo:

Calcular o trabalho de uma força constante de 12 N, cujo ponto de aplicação se translada 7 m, se o ângulo entre as direções da força e do deslocamento são 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

• Se a força e o deslocamento tem o mesmo sentido, o trabalho é positivo
• Se a força e o deslocamento tem sentidos contrários, o trabalho é negativo
• Se a força é perpendicular ao deslocamento, o trabalho é nulo.

Conceito de energia cinética

Suponhamos que F é a resultante das forças que atuam sobre uma partícula de massa m. O trabalho desta força é igual a diferença entre o valor final e o valor inicial da energia cinética da partícula.

Na primeira linha aplicamos a segunda lei de Newton; a componente tangencial da força é igual ao produto da massa pela aceleração tangencial.

Na segunda linha, a aceleração tangencial a_t é igual a derivada do módulo da velocidade, e o quociente entre o deslocamento ds e o tempo dt gasto em deslocar-se é igual a velocidade v do móvel.

Se define energia cinética pela expressão

O teorema do trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das forças que atuam sobre uma partícula modifica sua energia cinética.

Exemplo: Achar a velocidade com a qual sai uma bala depois de atravessar uma tabela de 7 cm de espessura e que opõe uma resistência constante de F=1800 N. A velocidade inicial da bala é de 450 m/s e sua massa é de 15 g.

O trabalho realizado pela força F é -1800·0.07=-126 J

A velocidade final v é

Força conservativa. Energia potencial

Uma força é conservativa quando o trabalho de desta força é igual a diferença entre os valores inicial e final de uma função que só depende das coordenadas. A dita função é denominada energia potencial.

O trabalho de uma força conservativa não depende do caminho seguido para ir do ponto A ao ponto B.

O trabalho de uma força conservativa ao longo de um caminho fechado é zero.

Exemplo

Sobre uma partícula atua a força F=2xyi+x2j N Calcular o trabalho efetuado pela força ao longo do caminho fechado ABCA. A curva AB é um ramo de parábola y=x2/3. BC é o segmento de reta que passa pelos pontos (0,1) e (3,3) e CA é a porção do eixo Y que vai desde a origem ao ponto (0,1)

O trabalho infinitesimal dW é o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento

dW=F·dr=(F_xi+F_yj)·(dxi+dyj)=F_xdx+F_ydy

As variáveis x e y são relacionadas através da equação da trajetória y=f(x), e os deslocamentos infinitesimais dx e dy são relacionadas através da interpretação geométrica da derivada dy=f’(x)·dx. onde f’(x) quer dizer, derivada da função f(x) relativo a x.

Vamos calcular o trabalho em cada um dos ramos e o trabalho total no caminho fechado.

• Ramo AB

Trajetória y=x²/3, dy=(2/3)x·dx.

• Ramo BC

A trajetória é a reta que passa pelos pontos (0,1) e (3,3). Se trata de uma reta de inclinação 2/3 e cuja ordenada na origem é 1.

y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx

• Ramo CA

A trajetória é a reta x=0, dx=0, A força F=0 e por tanto, o trabalho W_CA=0

• O trabalho total

W_ABCA=W_AB+W_BC+W_CA=27+(-27)+0=0

O peso é uma força conservativa

Calculemos o trabalho da força peso F=-mg j quando o corpo se desloca da posição A cuja ordenada é y_A até a posição B cuja ordenada é y_B.

A energia potencial E_p correspondente a força conservativa peso tem a forma funcional

Onde c é uma constante aditiva que nos permite estabelecer o nível zero da energia potencial.

A força que exerce uma mola é conservativa

Como vemos na figura quando um mola se deforma x, exerce uma força sobre a partícula proporcional a deformação x e de sinal contrária a esta.

Para x>0, F=-kx Para x<0, F=kx

O trabalho desta força é, quando a partícula se desloca da posição x_A a posição x_B é

A função energia potencial E_p correspondente a força conservativa F vale

O nível zero de energia potencial é estabelecido do seguinte modo: quando a deformação é zero x=0, o valor da energia potencial é tomado zero, E_p=0, de modo que a constante aditiva vale c=0.

Princípio de conservação da energia

Se somente uma força conservativa F atua sobre uma partícula, o trabalho desta força é igual a diferença entre o valor inicial e final da energia potencial

Como vimos no relato anterior, o trabalho da resultante das forças que atua sobre a partícula é igual a diferença entre o valor final e inicial da energia cinética.

Igualando ambos trabalhos, obtemos a expressão do princípio de conservação da energia

A energia mecânica da partícula (soma da energia potencial mais cinética) é constante em todos os pontos de sua trajetória.

Comprovação do princípio de conservação da energia

Um corpo de 2 kg é deixado cair desde uma altura de 3 m. Calcular A velocidade do corpo quando está a 1 m de altura e quando atinge o solo, aplicando as fórmulas do movimento retilíneo uniformemente acelerado A energia cinética, potencial e total nestas posições Tomar g=10 m/s2

• Posição inicial x=3 m, v=0.

E_p=2·10·3=60 J, E_k=0, E_A=E_k+E_p=60 J

• Quando x=1 m

E_p=2·10·1=20 J, E_k=40, E_B=E_k+E_p=60 J

• Quando x=0 m

E_p=2·10·0=0 J, E_k=60, E_C=E_k+E_p=60 J

A energia total do corpo é constante. A energia potencial diminui e a energia cinética aumenta.

Forças não conservativas

Para darmos conta do significado de uma força não conservativa, vamos compará-la com a força conservativa peso.

O peso é uma força conservativa.

Calculemos o trabalho da força peso quando a partícula se translada de A para B, e continuando quando se translada de B para A.

WAB=mg x WBA=-mg x O trabalho total ao longo do caminho fechado A-B-A, WABA é zero.

A força de atrito é uma força não conservativa

Quando a partícula se move de A para B, ou de B para A a força de atrito é oposta ao movimento, o trabalho é negativo por que a força é de sinal contrário ao deslocamento

WAB=-Fr x WBA=-Fr x O trabalho total ao longo do caminho fechado A-B-A, WABA é diferente de zero WABA=-2Fr x

Balanço de energia

Em geral, sobre uma partícula atuam forças conservativas F_c e não conservativas F_nc. O trabalho da resultante das forças que atuam sobre a partícula é igual a diferença entre a energia cinética final menos a inicial.

O trabalho das forças conservativas é igual a diferença entre a energia potencial inicial e a final

Aplicando a propriedade distributiva do produto escalar obtemos que

O trabalho de uma força não conservativa modifica a energia mecânica (cinética mais potencial) da partícula.

Exemplo 1:

Um bloco de massa 0.2 kg inicia seu movimento para cima, sobre um plano de 30º de inclinação, com uma velocidade inicial de 12 m/s. Se o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0.16. Determinar:

• o comprimento x que percorre o bloco ao longo do plano até que pare

• a velocidade v que terá o bloco ao regressar a base do plano

Quando o corpo sobe pelo plano inclinado

• A energia do corpo em A é E_A=½0.2·12²=14.4 J

• A energia do corpo em B é E_B=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J

• O trabalho da força de atrito quando o corpo se desloca de A a B é

W=-F_r·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J

Da equação do balanço energético W=E_B-E_A, explicitamos x=11.5 m, h=x·sen30º=5.75 m

Quando o corpo desce

• A energia do corpo em B é E_B=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J

• A energia do corpo na base do plano E_A==½0.2·v²

• O trabalho da força de atrito quando o corpo se desloca de A a B é

W=-F_r·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J

Da equação do balanço energético W=E_A-E_B, explicitamos v=9.03 m/s.

Exemplo 2:

Uma partícula de massa m desliza sobre uma superfície em forma de quarto de circunferência de raio R, tal como é mostrado na figura.

As forças que atuam sobre a partícula são:

• O peso mg

• A reação da superfície N, cuja direção é radial

• A força de atrito F_r, cuja direção é tangencial e cujo sentido é oposto ao da velocidade da partícula.

Decompondo o peso mg, ao longo da direção tangencial e normal, escrevemos a equação do movimento da partícula na direção tangencial

ma_t=mg·cosθ-F_r

Onde a_t=dv/dt é a componente tangencial da aceleração. Escrevemos na forma de equação diferencial a equação do movimento

Calculamos o trabalho W_r realizado pela força de atrito. A força de atrito é de sentido contrário ao deslocamento

Tendo em conta que o deslocamento é um pequeno arco de circunferência dl=R·dθ e que

O trabalho realizado pelas forças não conservativas F_r vale

Se o móvel parte do repouso v=0, na posição θ=0. Quando atinge a posição θ

• A energia cinética foi incrementada em mv²/2.

• A energia potencial foi diminuída em mgRsenθ.

O trabalho da força de atrito é igual a diferença entre a energia final e a energia inicial ou então, a soma da variação de energia cinética mais a variação de energia potencial.

O trabalho total das forças de atrito quando a partícula descreve um quarto de círculo é

Para um cálculo explícito do trabalho da força de atrito veja "Movimento sobre uma cúpula semi-esférica com atrito"