Dinâmica

Movimento no 
seio de um fluído

Fórmula de Stokes.

Medida da viscosidade
de um fluído (I)

Medida da viscosidade
de um fluído (II)

Descendo de 
para quedas

Movimento vertical de
uma esfera em um fluído

Tiro parabólico com
 atrito.

Modelo unidimensional
movimento em um fluído.

Força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade.

Referências

Código fonte

Na página anterior "Movimento vertical de uma esfera no seio de um fluído" foi estudado o movimento de um objeto lançado verticalmente para cima em um meio que oferece resistência a seu movimento e comparamos com o movimento do mesmo corpo no vácuo.

Aplicamos dois modelos de força para descrever a resistência que oferece o meio ao movimento do corpo.

• Uma força de atrito proporcional a velocidade, para baixos valores do número de Reynolds

• Uma força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade para altos números de Reynolds.

Nesta página, vamos estudar o movimento de projéteis disparados com a mesma velocidade inicial v₀ porém com ângulos de tiro q distintos.

Como foi visto na página "Movimento sob a aceleração constante da gravidade" o projétil disparado no vácuo com um ângulo de q =45º tem um alcance máximo. Vamos comprovar se esta afirmação é mantida quando o projétil (por exemplo, uma pelota de golf) se move em um meio como o ar.

Força de atrito proporcional a velocidade

Se desprezarmos o empuxo, as forças que atuam sobre o corpo de massa m são:

O peso mg A força de atrito Fr, que tem sentido contrário ao vetor velocidade (tangente a trajetória). Fr=-mbv.

As equações do movimento do corpo serão por tanto.

A solução destas equações com as condições iniciais t=0, v_x=v_0x, v_y=v_0y, são

Integrando de novo, com as condições iniciais t=0, x=0, y=0, temos

Para um projétil disparado com velocidade v₀ e ângulo de tiro q . As velocidades iniciais são

v_0x=v₀·cosq
v_0y=v₀·senq

Alcance do projétil, altura máxima e tempo de vôo

O projétil atinge o solo y=0, a uma distância x=R da origem. R é denominado alcance do projétil.

Na primeira equação fazemos x=R e explicitamos o tempo de vôo t,

substituindo na segunda equação com y=0.

Altura máxima, como v_y=dy/dt=0, explicitamos o tempo t

Introduza na expressão de y

Atividades

Introduza

• O valor do parâmetro b

• A velocidade inicial de disparo v₀

• O ângulo de tiro θ

Clique no botão titulado Calcular

• O programa interativo, calcula o alcance R, resolvendo a equação transcendental pelo método do ponto médio.

• Calcula o tempo de vôo

• A altura máxima

Entre parêntesis é mostrado os resultados para o caso do tiro parabólico ideal (sem atrito)

Quando tem atrito, o alcance máximo não é obtido para 45º, e sim para um ângulo ligeiramente inferior. Calcular o alcance para 45º, 44º, 43º...

Aproximações

Se a resistência do ar é pequena b~0, o termo ln(1-bR/v_0x) é desenvolvido em série até potências de terceira ordem em b.

Fazendo algumas operações obtemos a equação de segundo grau em R

Onde R₀ é o alcance quando não é considerado o atrito do ar.

Exemplo: Seja v₀=60 m/s. e θ=45º

Quando não é considerado atrito o alcance é

Quando tem um pequeno atrito com o ar b=0.01, o alcance é obtido resolvendo a equação de segundo grau em R, cuja raiz positiva é R=348.3 m

Atividades

Introduza:

• O valor do parâmetro b em unidades s^-1, no controle de edição titulado c/m
• A velocidade inicial v₀ no controle de edição titulado Velocidade inicial.

O programa interativo traça as trajetórias e calcula o alcance dos projéteis disparados com ângulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 e 45º (em cor vermelha)

Compara estas trajetórias com as que seguiriam o mesmo projétil disparado com um ângulo de 45º no vácuo (em cor azul).

Na parte superior direita da simulação, é mostrado o alcance de cada um dos projéteis. Podemos observar que o máximo alcance pode não ser obtido para o ângulo de disparo de 45º e sim para um ângulo inferior e como era de se esperar, o alcance do projétil disparado com 45º é inferior num meio como o ar que no vácuo.

Força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade.

Se desprezarmos o empuxo, as forças que atuam sobre o corpo de massa m são como foi visto

• O peso mg
• A força de atrito F_r, que é de sentido contrário ao vetor velocidade (tangente a trajetória). F_r=-bmv·v.

As equações do movimento do corpo serão por tanto.

Este sistema de equações diferenciais acopladas é resolvida aplicando procedimentos numéricos, por exemplo, o método de Runge-Kutta.

As condições iniciais são as mesma que na secção anterior t=0, v_0x=v₀·cosq , v_0y=v₀·senq , x=0, y=0

Atividades

Na simulação introduzimos:

• O valor do parâmetro b em unidades m^-1, no controle de edição titulado c/m
• A velocidade inicial v₀ no controle de edição titulado Velocidade inicial.

O programa interativo traça e calcula o alcance dos projéteis disparados com ângulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 e 45º (em cor vermelha).

Compara estas trajetórias com as que seguiriam o mesmo projétil disparado com um ângulo de 45º no vácuo (em cor azul).

Na parte superior direita da simulação, é mostrado o alcance (aproximado) de cada um dos projéteis. Podemos observar que o máximo alcance do projétil não é obtido para o ângulo de disparo de 45º e sim para um ângulo inferior e como era de se esperar, o alcance do projétil disparado com 45º é inferior em um meio como o ar que no vácuo.

Alcance, altura máxima e tempo de vôo

No tópico anterior, foi calculado a trajetória do projétil resolvendo um sistema de duas equações diferenciais de segundo ordem. Neste tópico, vamos integrar as equações do movimento para calcular o alcance, o tempo de vôo e a altura máxima.

Mudamos de sistema de referência, e escrevemos as equações do movimento na direção tangencial e na direção normal onde ρ é o raio de curvatura da trajetória.

No intervalo de tempo compreendido entre t e t+dt, a direção do vetor velocidade varia de um ângulo dθ, que é o ângulo entre as tangentes ou entre as normais. O móvel se desloca neste intervalo de tempo um arco ds=ρ·dθ,  tal como podemos ver na figura.

Temos de levar em conta que a curvatura da trajetória é negativa (figura da direita). A curva da direita a tangente é tomada no sentido dos x crescentes. A igualdade anterior é escrita para este caso

As equações do movimento na direção tangencial e na direção normal é convertida em uma única equação diferencial de primeira ordem.

Fazendo a mudança de variável u=1/v²

Esta equação é do tipo linear (veja Puig Adam P., Curso teórico-práctico de Ecuaciones Diferenciales aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, 1970. págs. 29-30)

Buscamos uma solução da forma u=w(θ)·z(θ)

Fazemos

A integral é calculada facilmente

Fazendo agora

Integramos por partes

Resolvemos esta última integral fazendo a mudança de variável t=tan(θ/2)

Deste modo,

Finalmente,

A constante de integração C₂ é calculada a partir das condições iniciais: no instante t=0, a velocidade de disparo é v₀ e faz um ângulo θ₀ com a horizontal (veja a figura abaixo)

A função que relaciona o módulo da velocidade v e o ângulo θ, que forma a direção da velocidade (tangente a trajetória) com a horizontal é

Posição do projétil

dx=ds·cosθ=ρdθ·cosθ

Utilizando a equação do movimento na direção normal, e tendo em conta que a trajetória tem curvatura negativa

Do mesmo modo

dy=ds·senθ=ρdθ·senθ

Tempo de vôo

ds=v·dt
ρdθ= v·dt

O programa interativo calcula o ângulo θ final que forma a direção da velocidade quando y=0 (veja a figura mais acima).

Conhecido o ângulo final θ_f é calculado o alcance x e o tempo de vôo t, resolvendo numericamente as integrais

Atividades

Introduza

• O valor do parâmetro b

• A velocidade inicial de disparo v₀

• O ângulo de tiro θ

Clique no botão titulado Calcular

O programa interativo, calcula

• o alcance .

• o tempo de vôo

• a altura máxima

Entre parêntesis são mostrados os resultados para o caso do tiro parabólico ideal (sem atrito)

public class PuntoMedio {
	final double CERO=1e-10;
	final double ERROR=0.001;
	final int MAXITER=200;
	double v0x;
	double v0y;
	double b;
PuntoMedio(double b, double v0, double angulo){
	this.b=b;
	v0x=v0*Math.cos(angulo);
	v0y=v0*Math.sin(angulo);
}

public double raiz(double a, double b) {
	double m, ym;
	int iter=0;
	do{
		m=(a+b)/2;
		ym=f(m);
		if(Math.abs(ym)<CERO) break;
		if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
		if((f(a)*ym)<0) b=m;
		else a=m;
		iter++;
	}while(iter<MAXITER);
	return m;
}
double f(double x){
	double y=(9.8/b+v0y)*x/v0x+9.8*Math.log(1.0-x*b/v0x)/(b*b);
	return y;
}

}

//calcula el alcance
	double R0=v0*v0*Math.sin(2*angulo)/9.8;
	PuntoMedio p=new PuntoMedio(b, v0, angulo);
	x=p.raiz(0.0, R0);

public class PuntoMedio {
	final double CERO=1e-10;
	final double ERROR=0.001;
	final int MAXITER=200;
	Simpson obj;
PuntoMedio(Simpson obj){
	this.obj=obj;
}

public double raiz(double a, double b) {
	double m, ym;
	int iter=0;
	do{
		m=(a+b)/2;
		ym=f(m);
		if(Math.abs(ym)<CERO) break;
		if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
		if((f(a)*ym)<0) b=m;
		else a=m;
		iter++;
	}while(iter<MAXITER);
	return m;
}
double f(double x){
	double y=obj.integral(obj.angIni, x, 100);
	return y;
}

}

public abstract class Simpson {
	double v0;
	double angIni;
	double b;
Simpson(double b, double v0, double angulo){
	this.b=b;
	this.v0=v0;
	this.angIni=angulo;
}
public double integral(double a, double b, int n){
	if(n%2==1) n++;
	double h=(b-a)/n;
	double suma=g(a)+g(b);
	for(int i=1; i<n; i+=2){
		suma+=4*g(a+i*h);
	}
	for(int i=2; i<n; i+=2){
		suma+=2*g(a+i*h);
	}
	return (suma*h/3);
}
abstract public double g(double x);

double v2(double x){
	double z=Math.cos(x)*Math.cos(x)*(1.0/(v0*Math.cos(angIni)*v0*Math.cos(angIni))
	-b*(h(x)-h(angIni))/9.8);
	return (1.0/z);
}
double h(double x){
	double z=Math.tan(x)/Math.cos(x)+Math.log(Math.abs(Math.tan(x)+1.0/Math.cos(x)));
	return z;
}
}

public class Pos_Y extends Simpson {

public Pos_Y(double b, double v0, double angulo) {
	super(b, v0, angulo);
}
public double g(double x){
	double z=-v2(x)*Math.tan(x)/9.8;
	return z;
}
}

public class Pos_X extends Simpson {

public Pos_X(double b, double v0, double angulo) {
	super(b, v0, angulo);
}
public double g(double x){
	double z=-v2(x)/9.8;
	return z;
}
}

public class Tiempo extends Simpson {

public Tiempo(double b, double v0, double angulo) {
	super(b, v0, angulo);
}
public double g(double x){
	double z=-Math.sqrt(v2(x))/(Math.cos(x)*9.8);
	return z;
}
}

//calcula el ángulo final, la altura máxima, el alcance y el tiempo de vuelo 
	Simpson pos_Y=new Pos_Y(b, v0, angIni);
	PuntoMedio p=new PuntoMedio(pos_Y);
	double angFinal=p.raiz((-88*Math.PI/180), angIni); //con -90º hay desbordamiento
	hMax=pos_Y.integral(angIni, 0.0, 100);
	x=new Pos_X(b, v0, angIni).integral(angIni, angFinal, 100);
	t=new Tiempo(b, v0, angIni).integral(angIni, angFinal, 100);