Dinâmica

Movimento no 
seio de um fluído

Fórmula de Stokes

Medida da viscosidade
de um fluído (I)

Medida da viscosidade
de um fluído (II)

Descendo de
para quedas

Movimento vertical de
  uma esfera em um fluído

Tiro parabólico com
atrito.

Modelo unidimensional
movimento em um fluído.

Movimento no vácuo.

Força de atrito proporcional a velocidade. Fórmula de Stokes

Força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade

Referências

Nas páginas anteriores, foi estudado o movimento de queda de um corpo sob a ação de seu peso e de uma força de atrito, casos em que são possível obter expressões analíticas para o cálculo da velocidade em função do tempo e da posição (altura) do móvel em função do tempo.

• A força de atrito é proporcional a velocidade
• A força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade

A fórmula geral da força de atrito é

Onde C_d é denominado coeficiente de arraste, r_f é a densidade do meio, A é a área da secção transversal ao movimento (no caso de uma esfera é p R²), e v é a velocidade.

O coeficiente de arraste é uma função do número de Reynolds, Re. Este número é importante para definir o comportamento de um fluído e em particular, a transição do fluxo laminar ao turbulento. O número Re é definido como

onde l representa o comprimento do objeto medida ao logo de sua secção transversal (no caso de uma esfera é 2R), e h é a viscosidade dinâmica do fluído.

Para um amplo intervalo de números Re, a forma funcional do coeficiente de arraste C_d pode ser escrita.

Para pequenos números Re<1, o primeiro termo domina. A força de atrito sobre um corpo de forma esférica de raio R podemos escrever

Que é a conhecida fórmula de Stokes. A força de atrito sobre uma esfera que se move lentamente em um meio é proporcional a velocidade.

O intervalo de validade da fórmula de Stokes (Re<1) limita o raio R da esfera que empregamos na experiência da medida da viscosidade de um fluído, para um fluído (óleo) e para um material (chumbo) determinado. Conhecidos os dados da densidade do fluído r_f , sua viscosidade η (medida por outros procedimentos alternativos) e a velocidade v da esfera neste meio, o raio R da esfera deve cumprir que

Para grandes números Re, no intervalo 1000<Re<200000, o coeficiente de arraste C_d é aproximadamente constante C_d@ 0.4. A força de atrito para uma esfera de raio R vale

A força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade.

Vamos resolver o problema do lançamento de um corpo de forma esférica verticalmente para cima com velocidade inicial v₀. Suponhamos que o corpo tem forma esférica de raio R, de massa m (ou densidade do sólido r _e), e que se move em um meio de densidade r_f . Tomaremos como medida da aceleração da gravidade g=9.81 m/s²

Movimento no vácuo.

A única força que atua é o peso. O movimento do corpo é uniformemente acelerado.

Força de atrito proporcional a velocidade. Fórmula de Stokes

Sobre o corpo atuam três forças, o peso, o empuxo e a força de atrito. A equação do movimento em seu movimento ascendente é

Esta equação podemos escrever de forma mais simples

Temos denominado G a aceleração efetiva da gravidade

Integrando esta equação com a condição inicial de que no instante t=0, a velocidade v=v₀.

Integrando novamente, obtemos a posição do móvel (altura) em função do tempo. No instante inicial t=0, o corpo parte da origem x=0.

Quando o corpo desce não temos que retornar a demonstrar a equação do movimento já que a velocidade muda de sinal.

Exemplo

Um grão de areia de raio R=0.02 mm=0.00002 m é lançado verticalmente na água com uma velocidade inicial de v₀=0.01 m/s.

Dados: densidade da areia  r_e=2670 kg/m³, densidade da água r_f = 1000 kg/m³,  viscosidade h =0.001 kg/(m·s).

O valor de G=6.14 m/s² e o de a =4213 s^-1.

O número Re é mantido inferior a 1, (no instante inicial) por isto que podemos aplicar a fórmula de Stokes.

Na simulação seguinte é comparado o movimento de uma partícula lançada verticalmente para cima no vácuo com a velocidade inicial v₀=0.01 m/s (em azul) , e o movimento vertical para cima e para baixo do grão de areia na água (em vermelho).

• Selecionado o botão de raio titulado Posição, é representada a posição x em função do tempo t.
• Selecionado o botão de raio titulado Velocidade, é representada a velocidade v em função do tempo t.

Podemos observar como o grão de areia adquire rapidamente uma velocidade constante.

Força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade

Como a força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade, não muda de sinal quando o corpo passa de mover-se para cima a mover-se para baixo. Por tanto, temos que demonstrar as equações do movimento nos dois casos, quando o corpo sobe e quando o corpo desce.

• Movimento vertical para cima

Podemos escrever de uma forma mais simples, na forma

Integrando esta equação com a condição inicial de que no instante t=0, a velocidade v=v₀.

Integrando novamente, obtemos a posição do móvel (altura) em função do tempo. No instante inicial t=0, o corpo parte da origem x=0.

• Movimento vertical para baixo

A equação do movimento é agora

Integrando esta equação com a condição inicial de que no instante t=t₀, a velocidade inicial v=0.

onde t₀ é o tempo que gasta o corpo para subir até a máxima altura v=0.

Integrando novamente obtemos a posição do móvel (altura) em função do tempo. No instante t=t₀, o corpo parte da altura máxima x_máx

Exemplo:

Consideremos uma pelota de plástico que é lançada para cima com uma velocidade inicial v₀=5 m/s. Suponhamos que sua massa é de m=78.3 g e seu raio de R=15 cm. Sabendo que a densidade do ar é r_f =1.293 kg/m³ e sua viscosidade é h=17.1 10^-6 kg/(m·s).

O valor de G=7.53 m/s² e o de g =0.176 s/m. O número de Reynolds no momento do lançamento da pelota vale

O número Re está no intervalo de validade da fórmula da força de atrito, salvo quando se aproxima da máxima altura, a velocidade é próxima a zero. Agora então, na maior parte da trajetória a velocidade da pelota é suficientemente alta para que o número de Reynolds esteja dentro do intervalo 1000<Re<200000.

Na simulação seguinte, é comparado o movimento de uma partícula lançada verticalmente para cima no vácuo com a velocidade inicial v₀=5 m/s (em azul) , e o movimento vertical para cima e para baixo da pelota no ar (em vermelho).

• Selecionado o botão de raio titulado Posição, é representada a posição x em função do tempo t.
• Selecionado o botão de raio titulado Velocidade, é representada a velocidade v em função do tempo t.