Dinâmica

Movimento no 
seio de um fluído

Fórmula de Stokes

Medida da viscosidade
de um fluído (I)

Medida da viscosidade
de um fluído (II)

Descendo de
para quedas

Movimento vertical de
uma esfera em um fluído

Tiro parabólico com
atrito.

Modelo unidimensional
movimento em um fluído.

Atividades

Nesta página, é descrito o movimento vertical de uma esfera de massa me de raio R, no seio de um fluído viscoso, em regime laminar.

Descrição

A esfera se move sob a ação das seguintes forças: o peso, o empuxo (supomos que o corpo está completamente submerso no seio de um fluído), e uma força de atrito que é proporcional a velocidade da esfera (suponha que o fluxo é mantido em regime laminar).

O peso é o produto da massa pela aceleração da gravidade g. A massa é o produto da densidade absoluta do material ρ_e pelo volume da esfera de raio R.

De acordo com o princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao produto da densidade absoluta do fluído ρ_f, pelo volume do corpo submerso, e pela aceleração da gravidade.

A força de atrito (resistência) é proporcional a velocidade, e sua expressão é denominada lei de Stokes onde h é a viscosidade do fluído. A equação do movimento será, por tanto,

A velocidade limite, é alcançada quando a aceleração seja zero, logo, quando a resultante das forças que atuam sobre a esfera é zero.

Explicitamos a velocidade limite v_l

A equação do movimento é

onde F é a diferença entre o peso e o empuxo F=mg-E, y k=6πRh

Integramos a equação do movimento para obter a velocidade da esfera em função do tempo.

Obtemos

Esta equação nos diz que é alcançada a velocidade limite vl depois de um tempo teoricamente infinito. Se representarmos v em função do tempo t o gráfico tem uma assíntota horizontal em v=vl.

Integramos a expressão da velocidade em função do tempo para obter  a posição x do móvel em função do tempo t. Supomos que a esfera parte da origem x=0, no instante inicial t=0.

é obtido

Dado que a exponencial tende a zero rapidamente a medida que transcorre o tempo, vemos que ao cabo de um certo tempo, o deslocamento x do móvel será proporcional ao tempo t.

As diferenças entre o movimento de um corpo em queda livre (vácuo) e quando cai no seio de um fluído viscoso pode ser resumida no seguinte quadro

Atividades

• Escolha o material da esfera, no controle de seleção titulado Esfera
• O raio em mm da esfera
• Escolha o fluído, no controle de seleção titulado Fluído

Clique no botão titulado Começar

Podem ser introduzidos nos controles de edição, outros valores distintos dos que figuram nas tabelas

 

Material da esfera	Densidade absoluta (g/cm3)
Ferro	7.88
Alumínio	2.70
Cobre	8.93
Chumbo	11.35
Volfrânio	19.34

 

Fluído	Densidade absoluta (g/cm3)	Viscosidade dinâmica (kg/m·s)
Água	1.0	0.00105
Glicerina	1.26	1.3923
Benzeno	0.88	0.000673
Óleo	0.88	0.391

Para determinar a dependência da velocidade limite com o raio da esfera, com a densidade absoluta do material, com a densidade e viscosidade do fluído:

1. Escolha esferas de distintos raio, de mesmo material e que se movam no mesmo fluído.
   
2. Escolha esferas de mesmo raio porém de distinto material, e que se movam no mesmo fluído.
   
3. Mudar o fluído no qual se movem as esferas, mantendo suas dimensões e seu material constitutivo.

O círculo de cor vermelha representa a esfera que cai no seio de um fluído viscoso. Ao lado é representada as forças sobre a esfera.

• Em cor vermelha, a força F constante que é a diferença entre o peso e o empuxo do fluído.
• Em cor azul, a força de atrito proporcional a velocidade kv.

Quando ambas flechas são aproximadamente iguais, a velocidade da esfera é constante e igual a velocidade limite.

Exemplo:

Em um tubo vertical cheio de óleo de automóvel deixamos cair corpo de chumbo. O diâmetro do tubo é muito maior que o diâmetro do corpo. Os dados são Densidade do chumbo ρe=11.35 g/cm3 Raio da esfera R=1.96 mm Densidade do óleo ρf=0.88 g/cm3 Viscosidade do óleo η=0.391 kg/(m·s)

É alcançado 99.5% da velocidade limite constante no instante t tal que

Onde k=6πRη=0.014, e a massa da esfera é m=ρ_e4/3πR³=3.58·10^-4 kg

Explicitamos o tempo t=0.13 s

A esfera se deslocou neste tempo x=0.023 m

Se deixarmos cair a bola desde a superfície do azeite, podemos começar a tomar medidas com segurança a 3 centímetros abaixo desta superfície.

Neste exemplo, foi suposto que o escoamento do fluído é mantido em regime laminar quando a esfera se move no seio do fluído. Veremos mais adiante, que a fórmula de Stokes tem um intervalo de validade que é expressa em termos do denominado número de Reynolds.