Dinâmica

Movimento no 
seio de um fluído

Fórmula de Stokes

Medida da viscosidade
de um fluído (I)

Medida da viscosidade
de um fluído (II)

Descendo de
  para quedas

Movimento vertical de
uma esfera em um fluído

Tiro parabólico com
atrito.

Modelo unidimensional
movimento em um fluído.

Descendo de para quedas em uma atmosfera não uniforme.

Referências

Nas duas páginas anteriores, foi estudado o movimento de um corpo no seio de um fluído em regime laminar (a força de atrito era proporcional a velocidade). Agora, estudaremos o movimento de um corpo no seio de um fluído em regime turbulento (a força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade).

Descendo de para quedas em uma atmosfera uniforme

Quando um paraquedista é lançado desde o avião supomos que sua queda é livre, o peso é a única força que atua sobre o corpo, a aceleração é constante, e as equações do movimento são as estudadas na página queda dos corpos.

Quando abre o para quedas além do peso, atua uma força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade.

Queda livre antes da abertura do para quedas

O paraquedista está submetido a ação de seu próprio peso. O empuxo do ar é considerado desprezível já que a densidade do ar é muito menor que a do corpo. Por outra parte, consideramos que o atrito do paraquedista com o ar é pequeno.

As equações do movimento serão (tomamos como origem o lugar de lançamento e o eixo X apontando para cima). a=-g             v=-gt               x=x0-gt2/2

Quando foi aberto o para quedas

O paraquedista está submetido a ação de seu peso e de uma força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade. ma=-mg+kv2

A constante de proporcionalidade  k=ρAδ/2

• r é a densidade do ar. Embora a densidade do ar varia com a altura, neste cálculo aproximado é utilizado seu valor ao nível do mar de 1.29 kg/m³ independente da altura.
• A é a área da secção transversal frontal exposta ao ar,
• d é um coeficiente que depende da forma do objeto

Na seguinte tabela, são proporcionados os coeficientes de arraste para vários objetos

Como o paraquedista é menos aerodinâmico que uma esfera, porém mais aerodinâmico que um disco de frente, tomamos para o coeficiente de forma o valor médio dos dados para estas duas formas na tabela, logo, d=0.8.

Quando o paraquedista em queda livre abre o para quedas, reduz bruscamente sua velocidade até alcançar uma velocidade limite constante v_l, que é obtida quando o peso é igual a força de atrito, logo, quando a aceleração é nula.

-mg+kv²=0

O valor da velocidade limite é independente da velocidade inicial do paraquedista no momento de abrir o para quedas, tal como podemos ver nas figuras.

Equação do movimento

A equação do movimento a partir no momento de abertura do para quedas podemos escrever na forma

Integramos a equação do movimento para obter a velocidade v do móvel em qualquer instante t. As condições iniciais são: v₀ é a velocidade do paraquedista no instante t₀ no qual abre o para quedas.

Para integrar fazemos a mudança v=z·v_l.

Desfazendo a mudança e explicitando v em função do tempo (t-t₀), Obtemos depois de algumas operações a expressão.

Podemos obter também a expressão da posição do móvel em função da velocidade, fazendo a mudança de variável

A equação do movimento se transforma em

Que pode ser integrada de forma imediata

A altura x do paraquedista em função de sua velocidade v é

Explicitamos a velocidade v em função da posição x do paraquedista.

Atividades

Introduza

• A massa m do paraquedista no controle de edição titulado Peso do paraquedista
• A área do para quedas no controle de edição titulado Área do para quedas

Clique no botão titulado Começar

Clique no botão titulado Abre para quedas para que o paraquedista frei sua queda livre ao abrir o para quedas.

O círculo vermelho representa o paraquedista em queda livre, o mesmo círculo rodeado de um contorno de cor azul indica que foi aberto o para quedas. São representadas as forças sobre o móvel:

• Em cor vermelha, a força constante do peso.
• Em cor azul, a força de atrito proporcional ao quadrado da velocidade.

Quando ambas flechas são iguais, a velocidade do paraquedista é constante e igual a velocidade limite. Observar que a velocidade limite é independente da altura em que abre o para quedas.

Para determinar a dependência do valor final da velocidade com o peso do paraquedista e a área do para quedas.

• É mantido constante o peso do paraquedista, e variando a área do para quedas
  
• É mantida constante a área do para quedas, variando o peso do paraquedista.

Exemplo:

• Massa do paraquedista de m=72 kg,
• Área do para quedas A=0.6 m²
• O paraquedista parte do repouso desde a posição x=2000 m
• Abre o para quedas na posição x=1000 m, sobre o solo.

Calcular a velocidade com a qual atinge o solo

Os dados para calcular a velocidade limite v_l são:

• Densidade do ar r=1.29 kg/m3
• Coeficiente de forma d =0.8

Aplicando as equações de queda dos corpos, calculamos a velocidade quando o paraquedista alcança a posição x=1000 m

1000=2000-9.8·t²/2
v=-9.8·t

v=-140 m/s

Esta é a velocidade inicial para a etapa seguinte do movimento, v₀=-140 m/s na posição x₀=1000 m

A velocidade do paraquedista na posição x=0, quando atinge o solo, é

v=-47.7 m/s

Descendo de um para quedas em uma atmosfera não uniforme.

comprovamos que um paraquedista que abre o para quedas na posição de partida, sua velocidade vai crescendo com o tempo até que alcança a velocidade limite constante.

Vamos comprovar que em uma atmosfera não uniforme o comportamento é mais complexo. A velocidade do paraquedista vai crescendo até alcançar uma velocidade máxima e logo, decresce até que atinge o solo.

Variação da pressão com a altura

Em uma atmosfera isotérmica, a variação da pressão em função da altitude x é dada pela lei de Laplace.

• P₀ é a pressão da atmosfera ao nível do mar

• M é o peso molecular do ar 28.8 g/mol=0.0288 kg/mol

• g e a aceleração da gravidade

• k=1.3805·10^-23 J/K é a constante de Boltzmann

• T é a temperatura da atmosfera em kelvin

• N_A=6.0225·10²³ é o número de Avogadro, número de moléculas que cabem em um mol

Entretanto a atmosfera não seja isotérmica, a variação de pressão com a altura pode ser aproximada por uma exponencial decrescente, para uma temperatura efetiva de 254 K.

onde P₀= 1 atm é a pressão ao nível do mar. A pressão a uma altura de x=10000 m é de somente 0.26 atm.

Equação do movimento

A equação do movimento é

Podemos escrever esta equação de forma alternativa

Onde k₀ é o valor da constante de proporcionalidade da força de atrito, ao nível do mar, onde a pressão é P₀, e a constante λ=7482.2.m^-1.

Esta equação admite uma solução em termos de uma série infinita, veja o artigo citado nas referências. O programa interativo resolve por procedimentos numéricos.

Máxima velocidade alcançada pelo paraquedista.

Observamos que o paraquedista vai incrementando sua velocidade a medida que cai, alcançando um máximo e logo, a velocidade diminui até que atinge o solo.

Quando é alcançada a máxima velocidade dv/dx=0. A relação entre a velocidade máxima v_m e a altura x_m na qual é produzida é

onde v_l é a velocidade limite que alcançaria um paraquedista em uma atmosfera uniforme.

Podemos calcular x_m, por procedimentos numéricos pois embora dispomos da solução analítica v=v(x) que por sua complexidade omitimos nesta página.

Atividades

Introduza

• A massa m do paraquedista no controle de edição titulado Peso do paraquedista
• A área do para quedas no controle de edição titulado Área do para quedas
• A altura (em km) desde a qual é lançado o paraquedista, atuando na barra de deslocamento titulada Altura.

Clique no botão titulado Começar

O paraquedista abre o para quedas desde a posição de partida.

Na parte esquerda da simulação, é representada a pressão do ar em função da altura, de acordo com o modelo de atmosfera isotérmica.

Continuando, observamos o movimento do paraquedista sobre um fundo de cor que representa a pressão em função da altura em uma escala de intensidades de cor vermelha. A cor branca, corresponde a pressão nula, e a cor vermelha, a pressão ao nível do mar.

Finalmente, na parte direita, é representada a velocidade do paraquedista em função da altura. Na realidade, é representada

• No eixo horizontal 1-x/x₀, onde x₀ é a altura de lançamento

• No eixo vertical v/v_l, onde v_l é a velocidade limite constante que alcança o paraquedista na atmosfera uniforme.

Observamos que o paraquedista vai incrementando sua velocidade a medida que cai, alcançando um máximo. A velocidade diminui e alcança um valor próximo a v_l quando atinge o solo, no gráfico no valor v/v_l=1.

É sugerido ao leitor que represente em um papel, as alturas nas quais o paraquedista alcança a velocidade máxima x_m em função da posição inicial de partida x₀. Usar os botões Pausa/Continua e Passo para aproximar da posição x_m.

Exemplo:

• Massa do paraquedista de m=72 kg,
• Área do para quedas A=0.6 m²
• O paraquedista parte do repouso desde a posição x₀=30000 m

A velocidade limite v_l que alcançaria o paraquedista em uma atmosfera uniforme é

v_l=47.7 m/s

Observamos que a altura de x_m=23996 m é alcançada a máxima velocidade. Da equação que relaciona x_m e v_m obtemos v_m.

v_m=237.3 m/s

O programa interativo nos proporciona o valor v_m=238.5 m/s