Dinâmica

Sistemas de partículas

Dinâmica de um
  sistema de partículas

Sistemas isolados

Um bloco desliza
sobre uma cunha móvel

Pêndulo sobre uma
plataforma móvel

O problema de dois
corpos

Movimento do c.m.e
das partículas.(I)

Movimento do c.m. e
das partículas (II).

Um modelo de saltador

Puxando uma caixa

Dinâmica de um sistema de partículas

Conservação do momento linear de um sistema de partículas

Colisões

O centro de massa.

Energia de um sistema de partículas

Momento linear e impulso

O momento linear de uma partícula de massa m que se move com uma velocidade v é definido como o produto da massa pela velocidade

p=mv

Definimos o vetor força, como a derivada do momento linear relativo ao tempo, que constitui a expressão da segunda lei de Newton.

A segunda lei de Newton no caso particular de massa constante é um caso particular da definição de força.

Explicitando dp na definição de força e integrando

A esquerda, temos a variação de momento linear a direita, a integral que é denominada impulso da força F no intervalo que vai de t_i a t_f.

Para o movimento em uma dimensão, quando uma partícula  se move sob a ação de uma força F, a integral é a área sombreada sob a curva força-tempo.

Em muitas situações físicas empregamos a teoria do impulso. Nesta teoria, podemos supor que uma das forças que atuam sobre a partícula é muito grande porém de muito curta duração. Esta teoria é de grande utilidade quando estudamos os choques, por exemplo, de uma pelota com uma raqueta ou com o pé. O tempo de colisão é muito pequeno, da ordem de centésimos ou milésimos de segundo, e a força média que exerce o pé ou a raqueta sobre a pelota é de vários Newton. Esta força é muito maior que a gravidade, por isto podemos utilizar a teoria do impulso. Quando utilizamos esta teoria é importante recordar que os momentos lineares inicial e final se referem ao instante antes e depois da colisão, respectivamente.

Dinâmica de um sistema de partículas

Seja um sistema de partículas. Sobre cada partícula atuam as forças externas ao sistema e as forças de interação mútua entre as partículas do sistema. Suponhamos um sistema formado por duas partículas. Sobre a partícula 1 atua a força externa F₁ e a força que exerce a partícula 2, F₁₂. Sobre a partícula 2 atuam a força externa F₂ e a força que exerce a partícula 1, F₂₁.

Por exemplo, se o sistema de partículas fosse o formado pela Terra e Lua: as forças externas seriam as que exerce o Sol (e o resto dos planetas) sobre a Terra e sobre a Lua. As forças internas seriam a atração mútua entre estes dois corpos celestes.

Para cada uma das partículas se cumpre que a razão da variação do momento linear com o tempo é igual a resultante das forças que atuam sobre a partícula considerada, logo, o movimento de cada partícula é determinado pelas forças internas e externas que atuam sobre esta partícula.

Somando membro a membro e tendo em conta a terceira Lei de Newton, F12=-F21, temos que

Onde P é o momento linear total do sistema e F_ext é a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema de partículas. O movimento do sistema de partículas é determinado somente pelas forças externas.

Conservação do momento linear de um sistema de partículas

Considere duas partículas que podem interagir entre se porém estão isoladas dos arredores. As partículas se movem sob sua interação mútua porém não há forças externas ao sistema.

A partícula 1 se move sob a ação da força F12 que exerce a partícula 2. A partícula 2 se move sob a ação da força F21 que exerce a partícula 1. A terceira lei de Newton ou Princípio de Ação e Reação estabelece que ambas forças tenham que ser iguais e de sinal contrário. F12 +F21 =0

Aplicando a segunda lei de Newton a cada uma das partículas

O princípio de conservação do momento linear afirma que o momento linear total do sistema de partículas permanece constante, se o sistema é isolado, logo, se não atuam forças externas sobre as partículas do sistema. O princípio de conservação do momento linear é independente da natureza das forças de interação entre as partículas do sistema isolado

m₁u₁+m₂u₂=m₁v₁+m₂v₂

Onde u₁ e u₂ são as velocidades iniciais das partículas 1 e 2 e v₁ e v₂ as velocidades finais destas partículas.

Colisões

Empregamos o termo de colisão para representar a situação na qual duas ou mais partículas interagem durante um tempo muito curto. Supomos que as forças impulsivas devidas a colisão são muito maiores que qualquer outra força externa presente.

O momento linear total é conservado nas colisões. No entanto, a energia cinética não se conserva devido a que parte da energia cinética se transforma em energia térmica e em energia potencial elástica interna quando os corpos se deformam durante a colisão.

Definimos colisão inelástica como a colisão na qual não se conserva a energia cinética. Quando dois objetos que chocam e ficam juntos depois do choque dizemos que a colisão é perfeitamente inelástica. Por exemplo, um meteorito que se choca com a Terra.

Em uma colisão elástica a energia cinética se conserva. Por exemplo, as colisões entre bolas de bilhar são aproximadamente elásticas. A nível atômico as colisões podem ser perfeitamente elásticas.

A grandeza Q é a diferença entre as energias cinéticas depois e antes da colisão. Q toma o valor zero nas colisões perfeitamente elásticas, porém pode ser menor que zero se no choque se perde energia cinética como resultado da deformação, ou pode ser maior que zero, se a energia cinética das partículas depois da colisão é maior que a inicial, por exemplo, na explosão de uma granada ou na desintegração radiativa, parte da energia química ou energia nuclear se converte em energia cinética dos produtos.

Coeficiente de restituição

Foi encontrado experimentalmente que em uma colisão frontal de duas esferas sólidas como as que experimentam as bolas de bilhar, as velocidades depois do choque estão relacionadas com as velocidades antes do choque, pela expressão

onde e é o coeficiente de restituição e tem um valor entre 0 e 1, relação foi proposta por Newton . O valor de um é para um choque perfeitamente elástico e o valor de zero para um choque perfeitamente inelástico.

O coeficiente de restituição é a razão entre a velocidade relativa de afastamento depois do choque, e a velocidade relativa de aproximação antes do choque das partículas.

O centro de massa.

O Sistema de Referência do Centro de Massa (sistema-C) é especialmente útil para descrever as colisões comparando com o Sistema de Referência do Laboratório (sistema-L) tal como veremos nas próximas páginas.

Movimento do Centro de Massas

Na figura, temos duas partículas de massas m₁ e m₂, como m₁ é maior que m₂, a posição do centro de massas do sistema de duas partículas estará próxima da massa maior.

Em geral, a posição r_cm do centro de massa de um sistema de N partículas é

A velocidade do centro de massas v_cm  é obtida derivando com relação ao tempo

No numerador figura o momento linear total e no denominador a massa total do sistema de partículas.

Da dinâmica de um sistema de partículas temos que

O centro de massas de um sistema de partículas se move como se fosse uma partícula de massa igual a massa total do sistema sob a ação da força externa aplicada ao sistema.

Em um sistema isolado F_ext=0 o centro de massas se move com velocidade constante v_cm=cte.

O Sistema de Referência do Centro de Massas

Para um sistema de duas partículas

A velocidade da partícula 1 relativa ao centro de massas é

A velocidade da partícula 2 relativa ao centro de massas é

No sistema-C, as duas partículas se movem em direções opostas.

Momento linear

Podemos comprovar facilmente que o momento linear da partícula 1 relativo ao sistema-C é igual e oposto ao momento linear da partícula 2 relativo ao sistema-C

p_1cm=m₁v_1cm
p_2cm=m₂v_2cm
p_1cm=-p_2cm

Energia cinética

A relação entre as energias cinéticas medidas no sistema-L e no sistema-C é fácil de obter

O primeiro termo, é a energia cinética relativa ao centro de massas. O segundo termo, é a energia cinética de uma partícula cuja massa seja igual a do sistema movendo-se com a velocidade do centro de massa. Este último termo, é denominado energia cinética de translação do sistema.

No sistema de partículas podemos separar o movimento do sistema em duas partes:

• o movimento de translação com a velocidade do centro de massa
• o movimento interno relativo ao centro de massas.

Nas páginas seguintes, mostraremos a importância do centro de massas na descrição do movimento de um sistema de duas partículas que interagem através de uma mola elástica.

Energia de um sistema de partículas

Suponhamos que a partícula de massa m₁ se desloca dr₁, e que a partícula de massa m₂ se desloca dr₂, como conseqüência das forças que atuam sobre cada uma das partículas.

O trabalho realizado pela resultante das  forças que atuam sobre a primeira partícula é igual ao produto escalar (F1+F12)·dr1 Do mesmo modo, o trabalho realizado pela resultante das forças que atuam sobre a partícula de massa m2 será (F2+F21)·dr2

Tendo em conta que o trabalho da resultante das forças que atuam sobre uma partícula modifica a energia cinética da partícula, logo, a diferença entre a energia cinética final e a inicial.

Somando membro a membro, podemos escrever o trabalho como a soma do trabalho das forças externas mais o trabalho das forças internas ou de interação mútua. Sabemos que as forças internas F₁₂=-F₂₁ são iguais e de sentido contrário

As forças internas F₁₂ e F₂₁ realizam trabalho sempre que haja um deslocamento relativo da partícula 1 relativo a 2, já que dr₁-dr₂=d(r₁-r₂)=dr₁₂

Normalmente, a força F₁₂ é conservativa (é do tipo gravitacional, elétrico, mola elástica, etc.) O trabalho de uma força conservativa é igual a diferença entre a energia potencial inicial e final.

Denominando trabalho das forças externas a soma

Temos

Entre parêntesis temos uma quantidade que é a soma da energia cinética das duas partículas que formam o sistema e da energia potencial que descreve a interação entre as duas partículas. A esta quantidade denominamos energia U do sistema de partículas.

W_ext=U_f-U_i

O trabalho das forças externas é igual a diferença entre a energia do sistema de partículas no estado final e a energia do sistema de partículas no estado inicial.

Para um sistema de duas partículas, há uma só interação da partícula 1 com a 2 descrita pela força interna  conservativa F₁₂ ou pela energia potencial E_p12. A energia do sistema U é escrita

Para um sistema formado por três partículas há três interações, da partícula 1 com a 2, da 1 com a 3 e da 2 com a 3, descritas pelas forças internas conservativas F12, F23, F13 ou por suas correspondentes energias potenciais. A energia do sistema é

Sistema isolado

Para um sistema isolado, F_ext=0, o trabalho W_ext das forças externas é zero, a energia U do sistema de partículas é mantida constante. Para um sistema de duas partículas cuja interação mútua está descrita pela energia potencial E_p12.

A força externa F_ext é conservativa

O trabalho da força externa é igual a diferença entre a energia potencial inicial e a final

W_ext=E_pi-E_pf

Temos por tanto que U_i+E_pi=U_f+E_pf=cte

Para um sistema de duas partículas sob a ação da força conservativa peso, a conservação da energia é escrita