Dinâmica

Sistemas de massa
variável (I). 

Modelo discreto de 
 foguete.

Foguete de empuxo
constante

Foguete de duas etapas

Movimento vertical
de um foguete.

Descendo do módulo 
lunar

Foguete "perfeito"

O foguete de Torricelli

Momento linear

Energia

Deslocamento

Do modelo discreto ao contínuo

Atividades

Referências

Um foguete expulsa uma fração m de seu combustível a intervalos de tempos fixos (por exemplo, cada segundo), com uma velocidade u relativo ao foguete. Este é um problema similar ao de um patinador de massa M em uma pista de gelo que lança repetidamente bolas de massa m com velocidade constante u relativo ao patinador.

Suponha que o foguete está no espaço exterior e por tanto, não atua nenhuma força externa sobre o mesmo. Para calcular a velocidade do foguete a medida que vai expulsando o combustível aplicamos o princípio de conservação do momento linear.

O foguete tem uma massa M que inclui a carga útil, o combustível e a massa do depósito que o contém. Suponha que o foguete expulsa n frações de combustível de massa m a intervalos fixos de tempo, logo, nos instantes 0, Dt, 2·Dt...(n-1) ·Dt, alcançando a velocidade em v₁, v₂, ....v_n, tal como é mostrada na figura.

Velocidade do foguete

1. No intervalo (0-Dt)

No instante inicial t=0, expulsa uma fração m de combustível com uma velocidade u relativo ao foguete. O foguete perde uma massa m e adquire uma velocidade v₁. Se o foguete estava inicialmente em repouso, seu momento linear é zero. Por tanto, a soma do momento linear do foguete mais o momento linear do combustível expulsado deve dar zero.

(M-m)v1+m(-u)=0

O foguete se moverá com velocidade constante v₁ no intervalo de tempo 0-Dt. A fração m do combustível expulso se moverá com velocidade constante –u.

2. No intervalo (Dt-2Dt)

No instante Dt, o foguete expulsa outra fração m de combustível com velocidade u relativo ao foguete ou v₁-u relativo a Terra. O foguete perde outra massa m e adquire uma velocidade v₂.

O momento linear inicial do foguete (M-m)v₁ é igual ao momento final do foguete mais o da fração m do combustível expulso.

(M-2m)v2+m(v1-u)= (M-m)v1

O foguete se moverá com velocidade constante v₂ no intervalo de tempo Dt -2Dt. A fração m do combustível expulso se moverá com velocidade constante v₁-u.

3. No intervalo (2Dt-3Dt)

No instante 2Dt, o foguete expulsa outra fração m de combustível com velocidade u relativo ao foguete ou v₂-u relativo a Terra. O foguete perde outra massa m e adquire uma velocidade v₃. Aplicando o princípio de conservação do momento linear, explicitamos v₃.

(M-3m)v3+m(v2-u)= (M-2m)v2

O foguete se moverá com velocidade constante v₃ no intervalo de tempo 2Dt -3Dt. A fração m do combustível expulso se moverá com velocidade constante v₂-u.

4. No intervalo ((n-1)Dt-nDt)

No instante (n-1)Dt, o foguete expulsa a última fração m de combustível com velocidade u relativo ao foguete ou v_n-1-u relativo a Terra. O foguete perde outra massa m e adquire uma velocidade v_n.

O foguete se moverá com velocidade constante v_n a partir do instante t=(n-1)D t. A última fração m do combustível expulsa se moverá com velocidade constante v_n-1-u.

Momento linear

No intervalo de tempo compreendido entre (i-1)·Dt -i·Dt o momento linear do foguete é

P_c=(M-i·m)v_i

O momento linear do combustível expulso, como podemos comprovar na primeira figura é

P_g=m(-u)+m(v₁-u)+m(v₂-u)+…m(v_i-1-u)

A conservação do momento linear do sistema isolado formado pelo foguete e o combustível que expulsa, exige que ambos momentos sejam iguais e de sentido contrário. P_c+P_g=0.

Energia

A energia final do sistema, é a soma da energia cinética do foguete E_c com velocidade final v_n, e a energia cinética E_g das frações de massa m de combustível expulsados com velocidade (-u), (v₁-u), (v₂-u)… (v_n-1-u), respectivamente.

Deslocamento

• O deslocamento no intervalo de tempo (0-Dt) es x₁=v₁·Dt
• O deslocamento no intervalo de tempo (Dt-2Dt), vale x₂=v₂·Dt
• O deslocamento no intervalo de tempo (2Dt-3Dt), vale x₃=v₃·Dt

O deslocamento total no intervalo de tempo (0- n·Dt) será

Do modelo discreto ao contínuo

O passo do modelo discreto ao modelo contínuo, que veremos na página seguinte, implica incrementar o número n de frações de combustível de modo que a massa m de cada fração seja cada vez menor. No limite, quando n tenda a infinito, a massa de cada fração será uma quantidade infinitesimal dm. Vamos comparar as predições do modelo discreto frente as do modelo contínuo.

A massa inicial M é a soma da carga útil, mais o combustível e mais a massa do recipiente que será proporcional a massa do combustível que contém

massa inicial  M  =carga útil+(1+r) ·combustível.

onde r é da ordem de 5% ou 0.05.

Tomaremos o intervalo de tempo Dt =1 s. De modo que, a primeira fração de combustível é expulsa no instante t=0, a segunda no instante t=1 s., a terceira no instante t=2 s, e assim sucessivamente. O combustível acaba no instante t=(n-1) s.

• Combustível no foguete, 9000 kg
• Carga útil que transporta, 800 kg.
• Número de frações, 3.

A massa inicial do foguete é (carga útil+combustível+massa do depósito)

M=800+1.05·9000=10250 kg.

A massa de cada fração de combustível é m=9000/3=3000 kg, e é expulsa nos instantes t=0, t=1, e t=2 s.

A velocidade com a qual é expulsa cada uma das frações é u=2000 m/s constante relativo ao foguete, e está fixada no programa interativo.

Modelo discreto

As velocidades do foguete nos intervalos de tempo que indicados são

1. Deslocamento do foguete no intervalo de (0- 3) s é a área sob a curva em degrau.

x=827.6·1+2239.3·1+7039.3·1=10106.3 m.

2. Momento linear final do foguete:

P_c=(10250-3·3000)·7039.3=8799188.6 kg·m/s

Momento linear final dos gases expulsos:

P_g=3000·(-2000)+3000·(827.6-2000)+3000·(2239.3-2000)=-8799188.6 kg·m/s.

3. Energia do foguete:

E_c=(10250-3·3000)·7039.3²/2=3.097·10¹⁰ J

Energia dos gases expulsos:

E_g=3000·(-2000)²/2+3000·(827.6-2000)²/2+3000·(2239.3-2000)²/2=8.148·10⁹ J

A energia total necessária para que o foguete alcance a velocidade final de 7039.3 m/s é a soma das duas contribuições.

E= E_c+ E_g=3.912·10¹⁰ J

Modelo continuo.

Na formulação contínua, são queimados 3000 kg de combustível a cada segundo, D=3000 kg/s, resultando

• Velocidade final de v=4208 m/s
• Deslocamento no intervalo de tempo (0-3)s é, x=4246 m.

Como vemos existe uma grande diferença entre as predições de ambos os modelos

• Combustível no foguete 9000 kg
• Carga útil que transporta 800 kg.
• Número de frações 9.

A massa inicial do foguete é (carga útil+combustível+massa do depósito)

M=800+1.05·9000=10250 kg.

A massa de cada fração de combustível é m=9000/9=1000 kg, e são expulsas nos instantes t=0, t=1, ... t=8 s.

A velocidade de expulsão de cada uma das frações é de u=2000 m/s relativo ao foguete, e está fixada no programa interativo.

Modelo discreto

As velocidades do foguete nos intervalos de tempo que são indicados são

1. O deslocamento total do foguete no intervalo (0-9) s é x=16747.4 m

2. O momento linear final do foguete é P_c=6262895.8 kg·m/s

O momento linear final do combustível expulso é P_g=-6262895.8 kg·m/s

3. A energia cinética do foguete é E_c=1.57·10¹⁰ J

A energia cinética do combustível expulso é E_g=7.32 10⁹ J.

A energia total é E= E_c+ E_g=2.30·10¹⁰ J.

Modelo continuo

Na formulação continua, são queimados 1000 kg de combustível cada segundo, D=1000 kg/s, resultando

• Velocidade final de v=4208 m/s.
• Deslocamento no intervalo de tempo (0-9) s é, x=12740 m.

Os resultados do modelo discreto vão se aproximando aos do modelo continuo.

Fixamos no modelo continuo, a velocidade final do foguete é independente da D, quantidade de combustível queimado na unidade de tempo.

Atividades

Introduza

• O combustível c, no controle de edição titulado Combustível no foguete
• A carga útil que transporta, no controle de edição titulado Carga útil que transporta
• O número n de fração de combustível de massa m=c/n, que é expulsa a intervalos regulares de tempo, no controle de edição titulado Número de frações
• A velocidade de expulsão de cada uma das frações foi fixado em u=2000 m/s relativo ao foguete,

Clique no botão titulado Começar

Na parte inferior da simulação, vemos o movimento do foguete, em cor azul, e o movimento das frações de combustível expulsos (em cor vermelho).

Na parte superior esquerda, temos um conjunto de três barras:

• A primeira, mostra quanto por cento de combustível (em cor azul) foi gasto.
   
• A segunda representa, o momento linear do foguete (azul) e o momento linear dos gases expulsos (em vermelho), ambos momentos são iguais e de sentido contrário, de modo que o momento linear total é zero.
   
• A terceira barra, representa a energia: o comprimento total da barra é a energia total disponível, a parte azul corresponde a energia cinética do foguete, e a parte vermelha, a energia cinética das frações de combustível expulsos.

Finalmente, temos a representação da velocidade do foguete em função do tempo. Em cor vermelha a curva continua descreve o perfil da velocidade do foguete calculada seguindo o modelo continuo. Em cor azul, temos uma curva em degrau que representa o perfil da velocidade do foguete calculada seguindo o modelo discreto descrito nesta página.

Provar com diversos valores do número de frações, por exemplo n=3 e comparar com n=9. Veremos como a medida que é incrementado n as predições do modelo discreto se aproximam com as do modelo continuo.