Dinâmica

Movimento circular

Movimento circular

Estabilidade de um 
veículo.

O regulador centrífugo

Superfície de um líquido
em rotação

Gravidade artificial

“Queda” dos corpos

Lançamento de um corpo para "cima"

Referências

Nesta página, estudaremos a gravidade artificial criada em uma nave espacial de forma cilíndrica que viaja pelo espaço exterior, quando descreve um movimento de rotação com velocidade angular constante ao redor de seu eixo de simetria.

Determinaremos a trajetória

• de um corpo que “cai” de uma altura h sobre o “solo”.

• de um corpo que é lançado para "cima"

A aceleração da gravidade

Uma nave espacial de raio R descreve um movimento de rotação ao redor de seu eixo com velocidade angular constante ω.  Um objeto de massa m situado na parede da nave experimenta uma força centrípeta F=mω2R

A aceleração da gravidade artificial é a força por unidade de massa neste ponto.

a=F/m=ω²R

Um astronauta de altura h experimenta distintas acelerações, já que a cabeça está mais próxima do eixo de rotação que os pés. A aceleração da cabeça é ac= ω2(R-h) A aceleração dos pés é ap= ω2R

O quociente entre ambas acelerações é

Para que o astronauta não note a diferença de aceleração ao longo de seu corpo, a_p e a_c devem ser quase iguais. Por exemplo, se a_c=0.99·a_p, para um astronauta de altura h=2 m, o raio R da nave deverá ser de 200 m.

“Queda” dos corpos

Os corpos “caem” de forma distinta na nave espacial em rotação que na superfície da Terra.

Suponhamos que um corpo é solto a uma altura h ou então, a uma distância r=R-h do eixo de rotação. A posição inicial do objeto no Sistema de Referência Inercial OXY é

x₀=r
y₀=0

O corpo se move em linha reta com velocidade constante ω·r, na direção tangente a circunferência que descreve, tal como é mostrado na figura. As sucessivas posições do corpo são

x= r
y=ω·r·t

O corpo choca com a parede da nave no instante em que se cumpre que

x²+y²=R²

Explicitamos o tempo t que gasta o corpo para atingir o “solo”

A posição angular do corpo quando atinge o “solo” é θ_c=arctan(y/x)=arctan(ωt)

Enquanto o corpo se move, o astronauta em repouso sobre a nave, gira. Sua posição angular no instante t é

Ambas posições não coincidem, a diferença é

Exemplo

• f=5rpm :. w = 5·2·π/60= π/6 rad/s

• h=2 m

• R=10 m.

O tempo gasto pelo corpo para atingir o “solo” é

A diferença entre as posições angulares do astronauta e do corpo é

O leitor pode provar e acertar, qual deverá ser a altura h do objeto, para que este caia aos pés do astronauta, ou seja Δθ=2π.

Atividades

Introduza

• A freqüência angular de rotação f, em rpm (revoluções por minuto), atuando na barra de deslocamento titulada freqüência angular.

• O raio da nave espacial foi fixado em R=10 m

Clique no botão titulado Início

• Com o ponteiro do mouse arraste o pequeno círculo de cor vermelha, para estabelecer a altura h do corpo sobre o “solo”.

O astronauta está representado por um segmento de cor azul que está em repouso sobre a nave, por tanto, gira com a mesma velocidade angular ω.

Clique no botão titulado Começar

O corpo “cai” da altura h, descrevendo um movimento retilíneo uniforme até que choca com o “solo”.

Um corpo é lançado para "cima" do “solo” da nave espacial em movimento de rotação

Seja uma nave cilíndrica de raio R, que gira ao redor de seu eixo com velocidade angular constante ω.

Sistema de Referência da Nave espacial Lançamos um objeto mediante um dispositivo situado no “solo” da nave com uma velocidade vp fazendo um ângulo φ com a direção radial tal como é mostrado na figura. Este objeto pode ser uma pelota que um astronauta lança do “solo” da nave espacial.

Sistema de Referência Inercial

Do ponto de vista do observador inercial, a velocidade do objeto v é a soma vetorial v=v_p+v_n  donde v_n é a velocidade do dispositivo, cuja direção é tangencial e cujo módulo é v_n=ωR

O módulo v do vetor resultante e o ângulo β que forma com a direção radial Y é

O objeto é lançado da posição x0, y0 no instante t=0 x0=R·cosθ y0=R·senθ descreve um movimento retilíneo e uniforme. x= R·cosθ-v·cos(θ+β)·t y= R·senθ-v·sen(θ+β)·t

A trajetória é a corda que une o ponto de lançamento (x₀, y₀) e o ponto (x, y) de impacto no “solo” da nave espacial. O ponto de lançamento, o centro da circunferência e o ponto de impacto, formam um triângulo isósceles. A distância entre o ponto de lançamento e de impacto é 2Rcosβ, e o tempo  t de vôo é

Atirando para "cima" na direção radial

Sistema de Referência Inercial

Quando o objeto segue a direção radial β=0 (para “cima”) é possível que impacte no dispositivo que o lançou. Por exemplo, se um astronauta lança uma pelota para “cima”, é possível que o mesmo astronauta o recolha com a mão.

Para isto, tem que cumprir que o tempo que gasta o objeto em atravessar a nave espacial t=2R/v seja igual ao tempo que emprega o dispositivo lançador em girar π radianos ou 180º t=π/ω

O objeto deverá atravessar a nave espacial em direção radial, com uma velocidade v dada por

v=2Rω/π

Sistema de Referência da Nave Espacial

O ângulo de tiro φ, medido relativo a direção radial e a velocidade vp com a qual é lançado o objeto, é calculada resolvendo o triângulo retângulo da figura.

Em geral, para que o objeto impacte no dispositivo lançador, o tempo que gasta o objeto para atravessar a nave espacial t=2R/v deverá ser igual ao tempo que gasta o dispositivo para girar 1½, 2½,… n+½ voltas

O ângulo de tiro e a velocidade de lançamento do objeto v_p serão

A medida que n aumenta, φ se aproxima a π/2, e v tende a zero. O objeto permanecerá em repouso para um observador inercial. Por exemplo, o astronauta encontrará com a pelota depois de dar uma volta completa.

Exemplo:

• Raio da nave espacial R=10 m

• Velocidade angular de giro ω=1 rad/s

1. Quando o dispositivo lançador gira n=0, meia volta depois de ter lançado o objeto.

O ângulo de tiro foi calculado, φ=57.5º

1. Quando n=1, o dispositivo lançador gira uma volta e meia depois de ter lançado o objeto.

Tiro oblíquo

Sistema de Referência Inercial

Como vemos na figura, para que o objeto impacte no dispositivo lançador, tem que cumprir que tempo que gasta o objeto para percorrer a corda que une o ponto de lançamento e de impacto seja igual ao que gasta o lançador em percorrer o arco de ângulo π+2β.

ou então, em geral

Sistema de Referência da Nave Espacial

A velocidade de lançamento vp e o ângulo de tiro φ medido relativo a direção radial é calculado achando a diferença de vetores vp=v-vn

Exemplo:

• Lançamento relativo ao Sistema de Referência Inercial

Seja β=30º

Para que o objeto impacte no dispositivo lançador ao completar algo mais que meia volta n=0, a velocidade v deverá ser

• Lançamento relativo ao Sistema de Referência da Nave Espacial

Atividades

Clique no botão titulado Início

Introduza

• A velocidade de lançamento v_p do objeto do "solo" da nave espacial, atuando na barra de deslocamento ou no controle de edição titulado Velocidade.

• O ângulo φ que forma a direção desta velocidade com a direção "vertical" (ou radial) atuando na barra de deslocamento ou no controle de edição titulado ângulo

• O raio R da nave espacial foi fixado em R=10 m

• A velocidade angular de rotação foi fixado em ω=1 rad/s

Clique no botão titulado Começar

• O dispositivo lançador, é representado mediante um pequeno círculo de cor azul

• O objeto lançado, é representado mediante um círculo menor de cor vermelho.

Observe o movimento do objeto lançador, e é representada a trajetória retilínea que segue, enquanto atravessa a nave, até que colida no "solo"

Fixada a velocidade de lançamento v_p, variando o ângulo de tiro φ até conseguir que o objeto impacte o dispositivo lançador.