Dinâmica

Movimento circular

Movimento circular

Estabilidade de um 
  veículo.

O regulador centrífugo

Superfície de u líquido
em rotação

Gravidade artificial

Curva com inclinação

Estabilidade de um veículo

Referências

Nesta página, descrevemos a dinâmica do movimento circular de um veículo que descreve uma curva sem inclinação.

Primeiro, consideramos o veículo como uma partícula. Logo, estudamos a estabilidade de um veículo com umas determinadas dimensões e com uma determinada distribuição de carga.

Curva sem inclinação

Um automóvel descreve uma trajetória circular de raio R com velocidade constante v.

Uma das principais dificuldades que apresentamos agora para resolver este problema é a de separar o movimento tangencial (uniforme com velocidade constante) do movimento radial do veículo que é o que trataremos de estudar.

Fundamentos físicos

Suponhamos que o veículo descreve uma trajetória circular de raio R com velocidade constante v. Para um observador inercial, situado fora do veículo, as forças que atuam sobre o móvel são:

• o peso
• a reação da estrada
• a força de atrito.

Esta última, é a que faz com que o veículo descreva uma trajetória circular.

Como há equilíbrio no sentido vertical a reação do plano é igual ao peso

Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento na direção radial

Sendo v a velocidade do móvel e R o raio da circunferência que descreve

A medida que é incrementada a velocidade v, é incrementada a força de atrito F_r até que alcança um valor máximo dado pelo produto do coeficiente de atrito estático pela reação do plano, m N.

A velocidade máxima v que pode alcançar o veículo para que descreva uma curva circular de raio R é, por tanto

Como podemos apreciar no programa interativo, a medida que aumentamos a velocidade do móvel, a força de atrito cresce até alcançar o valor máximo m N, a trajetória do veículo é uma circunferência.

Se a velocidade do móvel é superior a máxima, a força de atrito, que é perpendicular ao vetor velocidade, tem um valor constante e igual a seu valor máximo, a trajetória do móvel deixa de ser circular. Para simplificar o problema supomos que os coeficientes de atrito estático e cinético tem o mesmo valor.

Atividades

Introduza

• o raio da trajetória circular (menor que 500 m), no controle de edição titulado Raio
• o coeficiente de atrito, no controle de edição titulado Coef. atrito
• a velocidade do móvel, no controle de edição titulado Velocidade.

Clique no botão titulado Começar. Observe as forças sobre o móvel

Incremente a velocidade do móvel e volte a clicar no botão Começar.

Obter o valor da velocidade limite máxima e compará-la com a calculada a partir da dinâmica do movimento circular.

Curva com inclinação

Consideremos agora o caso de que a curva tem uma inclinação de um ângulo θ.

1. Analisemos o problema do ponto de vista do observador inercial

As forças que atuam sobre o corpo são as mesmas que no caso da curva sem inclinação, porém com distinta orientação salvo o peso.

• O peso mg

• A força de atrito F_r

• A reação do plano N

Na figura da esquerda, são mostradas as forças e na figura da direita, foi substituído a força de atrito F_r e a reação do plano N pela ação simultânea de suas componentes retangulares.

Uma das dificuldades que tem os estudantes é a de situar corretamente a aceleração normal, a_n que só colocam paralela ao plano inclinado, em vez de horizontal. Então é mostrado que a circunferência que descreve o veículo é uma secção cônica cortada por um plano perpendicular ao eixo do cone e por tanto, o centro desta circunferência está situada neste plano e não no vértice do cone.

• No eixo vertical não tem aceleração, temos uma situação de equilíbrio

Ncosθ=F_rsenθ+mg

• No eixo horizontal, aplicamos a segunda lei de Newton para o movimento circular uniforme

Nsenθ+F_rcosθ=mv²/R

O veículo começa a deslizar na direção radial, quando atinge uma velocidade tal que F_r=μN. N sistema de duas equações

N(cosθ-μsenθ)=mg
N(senθ+μcosθ)=mv²/R

Explicitamos a velocidade máxima v que pode atingir o veículo para que descreva a curva com segurança

2. Do ponto de vista do observador não inercial que viaja no veículo

As forças que intervém são:

• O peso mg

• A força de atrito F_r

• A reação do plano N

• A força centrífuga F_c=mv²/R

O veículo está em equilíbrio, de modo que

Ncosθ=F_rsenθ+mg
Nsenθ+F_rcosθ=mv²/R

Conhecida a velocidade do veículo v podemos calcular a força de atrito F_r e a reação do plano N.

A velocidade máxima que pode atingir um veículo para que descreva a curva com segurança é aquela para a qual, a força de atrito alcança seu valor máximo F_r=μN

Explicitamos a velocidade v e obtemos a mesma expressão

Exemplo

Um carro circula por uma curva de uma estrada de 500 m de raio. Sabendo que o coeficiente de atrito entre as rodas do automóvel e o asfalto seco é de 0.75, calcular a máxima velocidade com o qual o automóvel pode descrever a curva com segurança nos casos seguintes:

• a curva não tem inclinação

• a curva tem um inclinação de 15º

A estabilidade de um veículo

Consideremos um veículo que está descrevendo uma curva de raio R, com velocidade constante v. Devido a distribuição da carga, o centro de massa está situado na posição x_c, y_c tal como podemos ver na figura. Se o coeficiente de atrito entre as rodas do veículo e a estrada é μ. Vamos determinar se

• ou o veículo está em equilíbrio

• ou desliza para fora, saindo da curva

• ou tomba, girando ao redor de um eixo que passa pelas rodas da parte direita, quando o automóvel descreve uma curva para a esquerda.

• Se desliza e tomba de uma vez

Descrição

Para um observador não inercial, que viaja com o veículo, as forças que atuam sobre o  mesmo, são:

N1 e N2 são as reações ou forças que exerce a estrada sobre as rodas do veículo F1 e F2 são as forças de atrito que se opõe ao deslizamento do veículo ao longo da direção radial e para fora O peso mg do veículo atua no centro de massa A força centrífuga Fc atua no centro de massa.

Se o veículo permanece em repouso ao longo da direção radial, temos que

N₁+N₂=mg
F_c=F₁+F₂

Tomando momentos relativo a O. A condição de equilíbrio é expressa

-N₁·a-F_c·y_c+mg·x_c=0

Sendo a a distância entre as rodas. Explicitamos N₁ nesta última equação

Examinamos as distintas situações:

• O veículo tomba

A medida que aumenta a velocidade v do veículo, aumenta a força centrífuga F_c=mv²/R, até que N₁ seja zero. Um incremento da velocidade faz com que o veículo comece a tombar.

A condição para que comece a tombar é N₁=0 ou v²/R=gx_c/y_c

• O veículo desliza

A força de atrito F₁+F₂=F_c não pode superar o valor máximo μN₁+μN₂= μmg

A condição para que o veículo comece a deslizar é que v²/R=μg

Se mgx_c>F_cy_c o veículo não tomba

Se F_c< μmg o veículo não desliza

1. Se mgx_c>μmgy_c, então , se μ<x_c/y_c o veículo começa a deslizar no momento em que se cumpre que v²/R= μg

2. Se μ>x_c/y_c o veículo começa a tombar no momento em que se cumpre que v²/R=gx_c/y_c

Exemplo 1:

• Posição do c.m. x_c=0.7, y_c=1.0

• Seja μ=0.5

1. Estamos no caso μ<x_c/y_c

O veículo começa a deslizar quando se cumpre que v²/R= μg, então, quando v=49.5 m/s

Comprovação:

O máximo valor da força de atrito é μmg=0.5·9.8·m=4.9·m

• Seja v=49 m/s.

A força centrífuga vale F_c=mv²/R=m·49²/500=4.8·m. A força de atrito F₁+F₂=F_c é menor que seu valor máximo, o veículo não desliza

Calculamos o valor de N₁

Como N₁>0 o veículo não tomba

• Seja v=50 m/s.

A força centrífuga vale F_c=mv²/R=m·50²/500=5·m. A força de atrito F₁+F₂=F_c é maior que seu valor máximo, o veículo desliza

Calculamos o valor de N₁

Como N₁>0 o veículo não tomba

Exemplo 2:

• Posição do c.m. x_c=0.7, y_c=1.0

• Seja μ=0.8

2. Estamos no caso μ>x_c/y_c

O veículo começa a tombar quando se cumpre que v²/R=gx_c/y_c, logo, quando v=58.6 m/s

Comprovação

O máximo valor da força de atrito é μmg=0.8·9.8·m=7.84·m

• Seja v=58 m/s.

A força centrífuga vale F_c=mv²/R=m·58²/500=6.73·m. A força de atrito F₁+F₂=F_c é menor que seu valor máximo, o veículo não desliza

Calculamos o valor de N₁

Como N₁>0 o veículo não tomba

• Seja v=60 m/s.

A força centrífuga vale F_c=mv²/R=m·60²/500=7.2·m. A força de atrito F₁+F₂=F_c é menor que seu valor máximo, o veículo não desliza

Calculamos o valor de N₁

Como N₁<0 o veículo tomba

A partir da velocidade v²/R= μg, então v²/500=0.8·9.8,  v=62.6 m/s o veículo desliza e tomba de uma vez

Atividades

Introduza

• A distribuição de carga no veículo, então a posição (x_c, y_c) do c.m., movendo com o ponteiro do mouse o pequeno círculo de cor vermelha, no interior do retângulo da mesma cor.

• O coeficiente de atrito μ, atuando na barra de deslocamento titulada Coef. atrito.

• O raio R, da curva foi fixado no programa interativo o valor R=500 m.

• A largura do veículo (distância entre rodas) foi fixado no valor a=2.0 m

Clique no botão titulado Novo

• A velocidade do veículo v (em m/s), atuando na barra de deslocamento titulada velocidade.

Clique no botão titulado começar

Observe o comportamento do veículo:

•  Se está em equilíbrio

• Se desliza

• Se tomba

• Se desliza e tomba de uma vez.

Representamos as forças sobre o veículo, e damos os valores (da força por unidade de massa) de algumas delas.