Dinâmica

Sistemas de massa
variável (II). 

Fluxo de areia

Depósito de areia
que se move

O relógio de areia

A força que exerce 
a pressão atmosférica

A chuva cai em
um vagão de trem

Uma corda desliza
sobre uma mesa

Movimento de uma
corrente (I)

Movimento de uma
corrente (II)

Queda do extremo 
de uma corrente

Queda de uma corrente
que pende 

Movimento de uma
gota de chuva

Atividades

Referências

Os materiais granulares como a areia são formados por um conglomerado de partículas macroscópicas. Seu comportamento é diferente dos sólidos e dos fluídos.

Descrição

O fluxo (massa por unidade de tempo) de um material granular de densidade ρ através de uma abertura de área A sob a ação do campo gravitacional terrestre g, é

onde k é uma constante.

Como será estudado no capítulo Fluídos, o fluxo de um liquido através de uma abertura depende da altura do líquido e por tanto, depende do tempo.

 Vamos projetar uma “experiência” com o objetivo de:

1. comprovar que o fluxo de areia é constante no tempo e não depende da altura h da coluna de areia.

2. determinar a dependência do fluxo com a área A do orifício de saída. 

Dispomos de uma garrafa de plástico invertida, na qual podemos mudar o raio do orifício de saída e inclusive a forma do orifício (circular, retangular, triangular, etc.). A garrafa pende de uma balança ou de um dispositivo de medição de forças conectado a um sistema de aquisição de dados. Deste modo, é medida a massa em função do tempo. Representando graficamente, no eixo vertical a massa m de areia contida na garrafa, e no eixo horizontal o tempo t obtemos uma linha reta cuja inclinação é -dm/dt. Deste modo, comprovamos que o fluxo é constante.

Para determinar a dependência do fluxo f =dm/dt com a área A do orifício de saída, escrevemos

onde c es uma constante. Mudamos o raio do orifício e repetimos o experimento, medindo uma nova inclinação -f e assim, sucessivamente.

Se representarmos logf no eixo vertical e logA no eixo horizontal obtemos uma linha reta cuja inclinação é 5/4 tal como é mostrado na parte direita da figura.

Atividades

Clique no botão titulado Início

• Arraste a flecha de cor vermelha com o ponteiro do mouse, para estabelecer a altura inicial da areia na garrafa invertida.

• Introduza o diâmetro d do orifício de saída em mm, atuando na barra de deslocamento titulada Diâmetro.

Clique no botão titulado Começar

Uma balança eletrônica situada na parte superior na simulação mede somente o peso de areia, foi descontado o peso das partes que não variam (garrafa, abertura, etc.).

Observe a saída da areia através do orifício, comprovamos que o fluxo é constante e independente da altura inicial da areia no recipiente.

Na parte direita, observamos a representação gráfica da massa m da areia em função do tempo t. Medimos a inclinação da reta –f  em g/s. Calculamos a área da abertura circular A=π·d²/4, sendo d o diâmetro em mm. Os pares de dados: área A e fluxo f são guardados no controle área de texto situado a esquerda na simulação.

Clicamos no botão titulado Início, mudamos o diâmetro do orifício e clicamos o botão Começar e assim, sucessivamente

Quando temos suficientes dados, clique no botão titulado Gráfico, para representar

• no eixo horizontal log A  (a área em mm²)

• no eixo vertical log f (o fluxo em g/s)

Se medirmos a inclinação da reta, obtemos um valor próximo a 5/4=1.25

Para eliminar os dados guardados no controle área de texto, e para realizar uma nova experiência, clique no botão titulado Apagar.

O leitor pode repetir com a calculadora os cálculos que realiza o programa interativo, para isto precisa dos seguintes dados adicionais:

• densidade da areia ρ=2.5 g/cm³

• a constante k na fórmula do fluxo, foi considerado arbitrariamente, o valor k=0.533

• a garrafa tem forma cilíndrica, o raio da base é R=2.5 cm

Exemplo:

Se a altura da areia é de h=20 cm, a massa da areia contida na garrafa é

m=ρ·h·π·R²=2.5·20·π·2.5²=981.7 g

O tempo que gasto para esvaziar um depósito de altura inicial h=20 cm, quando a areia sai por um orifício de diâmetro d=12 mm=1.2 cm é

t=m/f=981.7/48.6=20.2 s

Quando a areia sai por um orifício de d=10 mm de diâmetro

t=m/f=981.7/30.8=31.8 s

Para determinar a dependência do fluxo f com a área A, traçamos a reta

logf=a+b·logA

Para traçar a reta ou então, para calcular a inclinação b e a ordenada a na origem necessitamos de dois pontos:

O primeiro ponto tem

• abscissa x=log(π·6²)=2.053

• ordenada y=log 48.6=1.687

O segundo ponto,

• abscissa x=log(π·5²)=1.895

• ordenada y=log 30.8=1.489

Resolvendo o sistema

1.687=a+b·2.053
1.489=a+b·1.695

Explicitamos a inclinação b da reta que vale 1.25

Na prática real, a partir de uma tabela de valores (logA, logf), aplicamos o procedimento de regressão linear para calcular a inclinação da reta a que melhor ajusta aos dados experimentais.