Mecânica Quântica

A equação de
Schrödinger 

Potencial degrau
  E>E0

Potencial degrau
E<E0

Modelo de núcleo
radioativo

Desintegração
radioativa

Caixa de potencial

Poço de potencial

Átomo, molécula... 
sólido linear

Potencial periódico

Defeitos pontuais

Barreiras de potencial

O oscilador harmônico
quântico

• Partícula livre
• Potencial degrau

Atividades

No capítulo Movimento Ondulatório vimos que uma onda luminosa ou mecânica ao atravessar a superfície de separação de dois meios de distintas propriedades ópticas ou mecânicas, uma parte é refletida e outra é transmitida. A proporção da intensidade da onda incidente que é transmitida é denominado coeficiente de transmissão, e a proporção da intensidade da onda incidente que é refletida é denominada coeficiente de reflexão.

Quando uma partícula atravessa a fronteira entre duas regiões de diferentes potencial, não é dividido em duas (o que confirma que uma partícula não é uma onda clássica), e sim que hora possa refletir-se ou hora transmitir-se. Não podemos predizer de antemão a conduta de uma partícula individual, e sim a maior ou menor probabilidade de que seja refletida ou seja transmita.

Descrição

A equação de Schrödinger independente do tempo em uma região unidimensional cuja energia potencial é descrita pela função E_p(x) é

Onde E é a energia total da partícula de massa m

A solução da equação de Schrödinger Y(x) é denominada função de onda.

A probabilidade de encontrar a partícula descrita por esta função de onda no intervalo x, x+dx é |Ψ(x)|²·dx. Naturalmente,

Em outras palavras, a probabilidade por unidade de comprimento (ou densidade de probabilidade) de encontrar a partícula em x é |Ψ(x)|² .

Se temos N partículas idênticas, N·|Ψ(x)|² , nos dará o número de partículas que existe na unidade de comprimento. Se todas as partículas se movem com a mesma velocidade v, o fluxo de partículas será N·v|Ψ(x)|² . Denominamos densidade de corrente de probabilidade a quantidade J=v|Ψ(x)|² que é o produto da velocidade das partículas pela densidade de probabilidade.

O caso mais simples é o de uma partícula livre. A energia potencial E_p(x)=0

A equação de Schrödinger é escrita

Equação diferencial análoga a de um movimento harmônico simples, sua solução a expressaremos de outra forma equivalente

O potencial degrau consiste em uma região x<0 na qual a energia potencial é nula, seguida de uma região x>0 na qual a energia potencial é constante e de valor E₀.

A função E_p(x) apresenta por tanto, uma descontinuidade em x=0.

Podemos apresentar dois casos

• Que a energia da partícula seja maior que a do degrau E>E₀.
• Que a energia da partícula seja menor que a do degrau E<E₀.

Neste tópico trataremos do primeiro caso, deixando o segundo caso, algo mais complexo, para o seguinte.

Apresentamos a equação de Schrödinger em cada uma das regiões e encontramos sua solução de forma semelhante ao da partícula livre. Na seguinte tabela são resumidos os resultados.

Região x<0, Ep(x)=0	Região x>0, Ep(x)=E0

No ponto x=0, a função de onda Y deve ser contínua como também deve ser sua derivada primeira.

O que da lugar a um sistema de duas equações com duas incógnitas que nos permitem expressar os coeficientes B e C em função do coeficiente A.

Vejamos agora o significado físico dos distintos termos da solução da equação de Schrödinger. Na primeira região x<0 temos partículas incidentes e refletidas, porem na segunda região x>0 somente temos partículas transmitidas. A função de onda tem dois termos na primeira região e um só termo na segunda.

Partículas	Função de onda	Probabilidade	Fluxo
incidentes
refletidas
transmitidas

Se denomina coeficiente de reflexão a proporção de partículas incidentes que se refletem

Se denomina coeficiente de transmissão a proporção de partículas incidentes que se transmitem.

Como podemos facilmente comprovar R+T=1

Podemos ver aqui, uma analogia com o movimento ondulatório, uma onda incidente ao atravessar dois meios de distinta natureza (densidade, índice de refração, etc., dependendo do tipo de onda) da origem a uma onda refletida que se propaga no primeiro meio, e a uma onda transmitida que se propaga no segundo meio.

Atividades

• Introduza a energia da partícula maior que um

• Clique no botão Começar, para que as partículas incidentes se reflitam ou se transmitam. Na parte esquerda na simulação são contabilizados o número de partículas incidentes e o número de partículas refletidas.
   
• Desativamos a casinha titulada Ver movimento, se não estamos interessados em ver o movimento da partícula, e sim tão só na proporção de partículas incidentes que são refletidas, para cada valor da energia E que introduzimos.

• Observar que não podemos predizer a conduta de uma partícula individual, se ela vai refletir ou se vai transmitir.

• Completar a seguinte tabela, calculando o cociente entre o número de partículas refletidas e o número de partículas incidentes na quarta coluna.

• Comparar com o coeficiente de reflexão deduzido a partir da equação de Schrödinger