Demonstração: Movimento relativo de translação e rotação de referenciais

Cinemática

Movimento relativo
Movimento relativo de
translação de referenciais
Problemas sobre movimento relativo de
translação de referenciais
Movimento relativo de
rotação uniforme
Aceleração centrífuga
e de Coriolis

Demonstração: Movimento relativo de
translação e rotação de referenciais

Demonstração das equações do movimento relativo para as grandezas posição, velocidade e aceleração.

Às vezes torna-se conveniente para facilitar o estudo do fenômeno, colocar-mos um referencial que pode ser inercial ou não inercial em um ponto qualquer ou no centro de massa do sistema de modo que o inercial use medidas de grandezas feitas pelo não inercial podendo este ter movimento de translação, rotação simultâneos relativo, ao inercial ou ainda seja de interesse descrever o fenômeno do referencial não inercial, onde este usará medidas feitas pelo inercial.

Seja K’ um referencial cuja origem O’ tem um movimento qualquer em relação a um referencial inercial K de origem O, e os eixos de K’ podem girar com velocidade angular w em relação a K.

Então estudando o movimento de uma partícula temos:

Visto por K’ o vetor posição é: r’ = x’u_x’+y’u_y’+z’u_z’

Visto por K o vetor posição é: r = x u_x +y u_y +z u_z

Se no instante t=0 a origem de K’ está na posição R_o = 0 relativo ao referencial K então num instante t qualquer:

r = R + r’ Eq: 1

Visto por K o vetor velocidade é: v = v_x u_x+v_y u_y+v_z u_z

Visto por K’o vetor velocidade é:

v’= (dx’/dt) u_x’+(dy’/dt) u_y’+(dz’/dt) u_z’

Visto por K_o’ com mesma origem de K’ mas não girante o vetor velocidade é:

v_ng’= (dr’/dt)_ng =(dx’/dt)u_x’+(dy’/dt)u_y’+(dz’/dt)u_z’+x’(du_x’/dt) + y’(du_y’/dt)+z’(du_z’/dt)

v_ng’=(dx’/dt)u_x’+(dy’/dt)u_y’+(dz’/dt)u_z’+x’w_*u_x’+y’w_*u_y’+z’w_*u_z’

v_ng’=(dx’/dt)u_x’+(dy’/dt)u_y’+(dz’/dt)u_z’+w_*r’ : . v_ng’=v’+w_*r’

v = dR/dt + v_ng’ : . v = V + v_ng’ : . v = V + v’ + w _* r’ Eq: 2

Visto por K o vetor aceleração é: a = dv/dt

Visto por K’o vetor aceleração é: a’= dv’/dt

Visto por K_o’o vetor aceleração é: a_o’ = dv_o’/dt = a’_ng

a = dV/dt + (dv’/dt)_ng + w_*(dr’/dt)_ng + (dw/dt)_*r’

a = dV/dt + (dv’/dt)_g + w_*v’ + w_*((dr’/dt)_g+w_*r’) + (dw/dt)_*r’

a = dV/dt + a’ +2 w_*v’ + w_*(w_*r’) + (dw/dt)_*r’

a = A + a’ + 2 w_*v’ + w_*(w_*r’) + (dw/dt)_*r’ Eq: 3

a’ = a – A – 2 w_*v’ – w_*(w_*r’) – (dw/dt)_*r’ Eq: 4

Observação: Dado um vetor A’ visto (medido) por um referencial que gira com velocidade angular w, então a derivada deste vetor em relação ao tempo visto pelo referencial que não gira é:

(dA’/dt)_ng = (dA’/dt)_g + w_*A’

Observe que para obter a equação do movimento relativo para a grandeza força é somente multiplicar as equações 3 e 4 pela massa onde cada um dos termos mA, ma’, 2m w_*v’, mw_*(w_*r’), m(dw/dt)_*r’ na Eq: 3 não tem denominação específica, já na Eq: 4 os termos –mA, –2m w_*v’ (força de coriolis), –mw_*(w_*r’) (força centrífuga), – (dw/dt)_*r’ são denominadas forças de inércia porque são forças medidas (vistas) pelo referencial não inercial.

Observe que para resolver um problema visto de um referencial não inercial, este vê as forças que o inercial vê e temos que aplicar ao corpo as forças de inércia. Eq: 4

Aplicações:

Caso particular 1: se o referencial K’ translada-se com MRU em relação a K.

r = r’ + R:. v = v’ + V:. a = a’

x = x’+ v_xt :. y = y’ + v_y t :. z = z’ + v_z t :. V = constante

Caso particular 2: se o referencial K’ translada-se com MC em relação a K

r = r’+ R :. v = v’ + V:. a = a’ + A : . Onde A = dV/dt

Caso geral: Se o referencial K’ translada-se enquanto gira seus eixos giram em relação a K.

Problema

1) Um observador O’ (não inercial) cujos eixos x’ e y’ giram com MCU com velocidade angular w = 2 u_z rad/s e a origem translada-se em relação a O (inercial) de acordo com a equação R = 3t u_x + (4t – 5t²) u_y. O observador O’ encontra a seguinte equação para o movimento da partícula r’ = 5t u_x’+(6t–5t²) u_z’.Qual a equação da posição e velocidade em função do tempo medidas pelo referencial inercial.

Solução: r = R + r’:. r = 3t u_x + (4t–5t²) u_y+5t u_x’ + (6t–5t²) u_z’

Expressando u_x’ em termos de u_x e u_y temos: u_x’ = u_x’. u_x u_x + u_x’. u_y u_y

u_x’ = cos()u_x + sen()u_y onde = wt:. u_x’ = cos(wt)u_x + sen(wt)u_y

e u_y’ = u_y’. u_x u_x + u_y’. u_y u_y logo: u_y’ = – sen()u_x + cos()u_y

Então: u_y’ = - sen(wt)u_x + cos(wt)u_y

Substituindo u_x’ e u_y’ na equação do vetor posição r temos:

r = (3t + 5t cos(2t)) u_x +(4t–5t² + 5t sen(2t)) u_y +(6t–5t²) u_z

O vetor velocidade pode ser encontrado derivando o vetor posição ou aplicando a equação de movimento relativo para a grandeza velocidade.

Derivando o vetor posição em relação ao tempo.

v = (3+5 cos(2t)–10t sen(2t)) u_x+(4–10t+5 sen(2t)+10t cos(2t)) u_y+(6 –10t) u_z

Equação de movimento relativo para a grandeza velocidade.

v = V + v’ + w _* r’

v = 3 u_x + (4 - 10t) u_y+5 u_x’ + (6 - 10t) u_z’ + 2 u_{z *} (5t u_x’ + (6t–5t²) u_z’)

v = 3 u_x +(4 - 10t) u_y + 5 u_x’ + (6 - 10t) u_z’ + 10t u_y’

Substituindo u_x’ e u_y’ em termos de u_x e u_y

v = 3 u_x+(4 - 10t) u_y+5(cos(2t)u_x+sen(2t)u_y)+(6–10t) u_z’+ 10t(–sen(2t)u_x+cos(2t)u_y)

v = (3 + 5 cos(2t)–10t sen(2t))u_x+(4–10t+5 sen(2t) + 10t cos(2t))u_y + (6 – 10t) u_z.

O vetor aceleração pode ser encontrado derivando o vetor velocidade ou aplicando a equação de movimento relativo para a grandeza aceleração.

Equação de movimento relativo para a grandeza aceleração.

a = A + a’ + 2 w_*v’ + w_*(w_*r’) + (dw/dt)_*r’

a = –10 u_y–10 u_z+2 (2 u_z) _* (5 u_x’+(6–10t) u_z’)+(2 u_{z *} (2 u_{z *} (5t u_x’+(6t - 5t²) u_z’)))

a = –10 u_y – 10 u_z + 20 u_y’ + (2 u_{z *} 10t u_x’) = – 10 u_y – 10 u_z + 20 u_y’ – 20t u_x’

a = – 10 u_y – 10 u_z + 20 (– sen()u_x + cos()u_y) – 20t (cos()u_x + sen()u_y)

a = (–20 sen(2t) – 20t cos(2t))u_x + (– 10 + 20 cos(2t)– 20t sen(2t))u_y – 10 u_z