Movimento relativo de translação de referenciais

Cinemática

ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana

Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:

www.sc.ehu.es/sbweb/fisica

Autor: (C) Ángel Franco García

Movimento relativo

Movimento relativo de
 translação de referenciais

Problemas sobre movimento relativo de
translação de referenciais

Movimento relativo de
rotação uniforme

Aceleração centrífuga
e de Coriolis

Demonstração: Movimento relativo de
translação e rotação de referenciais

Considere uma partícula (barco) que desloca-se com movimento uniformemente variado relativo ao referencial O' (correnteza) com velocidade v' (velocidade do barco em relação à correnteza) e com aceleração a' (relativa a correnteza) num rio cuja correnteza desloca-se com movimento retilíneo uniformemente variado relativo à terra (O inercial), cuja velocidade é V e com aceleração A. Para resolver este problema (relativo ao referencial terra O) um observador neste referencial (terra O) usará as medidas feitas pelo observador em O'(correnteza) e medidas de como desloca-se O' em relação a O. Neste caso o movimento é de translação de referenciais porque os eixos de O'(correnteza) são sempre paralelos aos eixos de O (terra).

As Equações do movimento relativo de translação de referenciais são: Equação do movimento relativo para a grandeza posição é obtida somando vetores, aplicando a regra do polígono. r=R+r'   Equação do movimento relativo para a grandeza velocidade, obtida derivando em relação ao tempo a equação da posição, sem derivar os vetores unitários pois são constantes. v=V+v'   Equação do movimento relativo para a grandeza aceleração, obtida derivando em relação ao tempo a equação da velocidade sem derivar os vetores unitários pois são constantes. a=A+a'

Exemplo 1

Um rio flui para o leste com velocidade constante de V = c = 3 m/s e um barco navega neste rio com velocidade constante relativa a correnteza de módulo v'=4 m/s.

• Calcular a velocidade do barco em relação à terra quando o barco se dirige para o leste (rio abaixo) e quando se dirige para o oeste (rio acima).
• Calcular o tempo gasto pelo barco em deslocar-se partindo de O, d=100 m até o ponto P e regressar de novo ao ponto de partida O.

Quando o barco navega rio abaixo a velocidade do barco em relação à terra é c+v' = 7 m/s.   Quando o barco navega em sentido contrario à correnteza a velocidade do barco em relação à terra é c-v' = -1 m/s.

• O tempo gasto pelo barqueiro para fazer a viagem de ida é t₁=d/(v'+c)
• O tempo gasto para fazer a viagem de volta é t₂=d/(v'-c)

O tempo total é

Com os dados do problema t=800/7=114.3 s.

Exemplo 2

Nesta secção o barco atravessa o rio. Podem ocorrer dois casos:

• A velocidade do barco v' relativo à correnteza é maior que a da correnteza c

• A velocidade do barco v' relativo à correnteza é menor que a da correnteza c

Primeiro caso: v'>c

Um rio flui para o leste com velocidade de c=3 m/s. O barco se move em águas paradas com uma velocidade de v'=4 m/s.

• Como deve ser orientado o barco para que chegue a um ponto P situado na margem oposta enfrente a O?

• Calcular a velocidade v do barco relativo a terra.
• Calcular o tempo que gasta o barco para deslocar-se d=100 m até o ponto P e regressar de novo ao ponto de partida O.

O vetor velocidade v do barco relativo à terra deve apontar para o norte.

O resultado da soma v=v'+V onde V = c 

v=(v'·cosθ i+v'·senθ j)+ci

ou então,

0=c+v'·cosθ
v=v'·senθ

• O ângulo θ é calculado a partir da primeira equação cosθ=-c/v'.

• A velocidade do barco relativo à terra v é calculado a partir da segunda equação, ou então, pelo cateto v do triângulo retângulo formado pela hipotenusa v' e o outro cateto c.

• A viagem de volta é semelhante a viagem de ida. O tempo total da viagem será

Com os dados do problema,

• A velocidade do barco relativo à terra é de .

• O ângulo que forma a proa do barco com a direção oeste-leste é θ=138.6º.

• O tempo total da viagem será t=2·37.6=75.6 s

Segundo caso: v'<c

Quando a velocidade do barco v' (relativo à correnteza) é menor que a velocidade da correnteza c, não é possível que o barco atravesse o rio sem desviar.

A velocidade do barco relativo à terra é v=v'+V onde V = c  

v=(v'·cosθ i+v'·senθ j)+ci=(c+v'·cosθ) i+v'·senθ j

O tempo t gasto para cruzar o rio de largura d e o desvio x ao longo da margem é

O desvio mínimo x é produzido para o ângulo

O tempo t que gasto na viagem de ida para o ângulo de desvio mínimo θ_m é

O tempo é mínimo, para o ângulo 2θ_m=270, θ_m=135º

O tempo de viagem de ida é mínimo, para aqueles barcos que se movam com velocidade v'=-c·cos135 fazendo um ângulo θ_m=135º com a direção da corrente. O tempo de viagem e o desvio x é

Exemplo

O rio flui para o leste com velocidade de c=4 m/s e um barco se move em águas paradas com uma velocidade de v'=3 m/s.

O ângulo que produz desvio mínimo x é θ_m=138.6º, o desvio mínimo é x_m=88.2 m, o tempo de viagem é t=50.4 s

Se a velocidade do barco é v'=-c·cos135, , o ângulo que produz o desvio mínimo θ_m=135º, o desvio mínimo é x_m=100 m, e o tempo de viagem de ida é t_m=50.0 s

Exemplo 3

Um rio flui para o leste com velocidade de c=3 m/s. Um barco se dirige para o norte θ=90º com velocidade relativa à água de v'=4 m/s.

• Calcular a velocidade do barco relativo à terra
• Se o rio tem uma largura de d=100 m, calcular o tempo necessário para atravessar o rio.
• Qual é o desvio para o leste do barco quando chega na outra margem do rio?
• Como deve dirigir o barco para que uma vez no ponto P na margem oposta regresse ao ponto O de partida?
• Calcular o tempo gasto para voltar ao ponto de partida

A velocidade do barco relativo à terra v é a soma vetorial da velocidade do barco relativo à correnteza v' (valor quando a água está parada) e a velocidade da correnteza relativo a terra c.

O resultado da soma v=v'+V onde V = c é

vsenα i+ vcosα j=ci+v' j

O módulo do vetor resultante v é

e forma um ângulo α com a direção sul-norte

• O tempo gasto na viagem de ida é t₁=d/v',

• O desvio para o leste é x=c·t₁=c·d/v'. ou então, pelo triângulo retângulo da figura temos que x=d·tanα=d·c/v'.

Com os dados do problema

• A velocidade do barco relativo à terra é v=5 m/s e sua orientação relativo a direção sul-norte é α=36.9º.

• O tempo gasto para atravessar o rio é t=25 s.

• O deslocamento para o leste do barco ao chegar na outra margem é x=75 m.

A seguinte pergunta já não é tão fácil. Com que ângulo devemos orientar a proa do barco para que uma vez no ponto P na margem oposta regresse ao ponto O de partida?.

Como podemos ver na figura temos que calcular o ângulo β da direção da velocidade v' do barco relativo a corrente para que a velocidade do barco relativo a terra v forme um ângulo α (calculado anteriormente) com a direção norte-sul.

O resultado da soma v=v'+V onde V = c é

-v·senα i+ -v·cosα j=-v'·senβ i-v'·cosβ j +c i

ou então,

v·senα=v'·senβ-c
v·cosα= v'·cosβ

com tanα=c/v'

Não é difícil demonstrar que β=2α. Para isto, empregamos as relações trigonométricas conhecidas

O tempo gasto para o barco voltar ao ponto de partida O é

Para demonstrar, empregamos a relação trigonométrica 1+tan²α=1/cos²α

O tempo total da viagem

Com os dados do problema temos

• O ângulo que forma a proa do barco com a direção oeste-leste é θ=90+β=90+2α=163.8º

• O tempo de viagem de volta t₂=89.3 s e o total t=25+89.3=114.3 s

Comparação dos tempos de viagem

O tempo da viagem de ida (t₁=25 s) no terceiro exemplo é o mínimo para cruzar o rio, é menor que no segundo exemplo (primeiro caso v>c) (t₁=37.6 s). Porém a viagem de volta no terceiro exemplo (t₂=89.3 s) é de maior duração que o segundo exemplo (t₂=37.6 s). Por que o tempo de viagem de ida e volta no segundo exemplo (t=75.6 s) é menor que no terceiro exemplo (t=114.3 s)  e é o mínimo gasto para cruzar o rio.

O tempo de viagem do primeiro exemplo (t=114.3 s) é igual ao tempo de viagem do terceiro exemplo.

Exemplo 4

Nesta secção o barco atravessa o rio com MRUV relativo ao rio enquanto a correnteza do rio pode deslocar-se com MRU ou MRUV relativo à terra

Caso 1: A correnteza desloca-se com MRU.

• Da equação r=R+r' obtemos r=(ct)i+(v'₀·cosθt+a'·cosθt²/2) i+(v'₀·senθ t+a'·senθ t²/2)j
  r=((c+v'₀·cosθ)t+(a'·cosθ)t²/2)i+(v'₀·senθ t+a'·senθ t²/2)j

• Da equação v=v'+V obtemos v=(v'₀·cosθ+a'·cosθt) i+(v'₀·senθ +a'·senθ t)j+ci
  v=(c+v'₀·cosθ+a'·cosθt)i+(v'₀·senθ+a'·senθ t)j

• Da equação a=a' obtemos a=(a'·cosθ) i+a'·senθ j

Caso 2: A correnteza desloca-se com MRUV.

• Da equação r=R+r' obtemos r=(ct+At²/2)i+(v'₀·cosθt+a'·cosθt²/2) i+(v'₀·senθ t+a'·senθ t²/2)j
  r=((c+v'₀·cosθ)t+(A+a'·cosθ)t²/2)i+(v'₀·senθ t+a'·senθ t²/2)j

• Da equação v=v'+V obtemos v=(v'₀·cosθ+a'·cosθt) i+(v'₀·senθ +a'·senθ t)j+(c+At)i
  v=(c+At+v'₀·cosθ+a'·cosθt)i+(v'₀·senθ+a'·senθ t)j

• Da equação a=A+a' obtemos a=(A+a'·cosθ) i+a'·senθ j