Movimento retilíneo

Movimento retilíneo

Movimento de queda
dos corpos

Regressão linear

Estudo prático do Movimento 
retilíneo uniforme

Estudo prático do Movimento 
retilíneo u. acelerado

Movimento retilíneo uniformemente acelerado

Interpretação geométrica da derivada

Integral definida

Movimento retilíneo

Denomina-se movimento retilíneo, aquele cuja trajetória é uma linha reta.

Na reta situamos uma origem O, onde estará um observador que medirá a posição do móvel x no instante t. As posições serão positivas se o móvel está a direita da origem e negativas se está a esquerda da origem.

Posição

A posição x do móvel pode ser relacionada com o tempo t mediante uma função x=f(t).

Deslocamento

Suponhamos agora que no instante t, o móvel se encontra na posição x, mais tarde, no instante t' o móvel se encontrará na posição x'. Dizemos que o móvel se deslocou Dx=x'-x no intervalo de tempo Dt=t'-t, medido desde o instante t ao instante t'.

Velocidade

A velocidade media entre os instantes t e t' é definida por

Para determinar a velocidade no instante t, devemos fazer o intervalo de tempo Dt tão pequeno quanto possível, no limite quando Dt tende a zero.

Porém este limite, é a definição de derivada de x relativa ao tempo t.

Para compreender melhor o conceito de velocidade média, vamos resolver o exercício seguinte.

Exercício

Uma partícula se move ao longo do eixo X, de maneira que sua posição em qualquer instante t é dada por x=5·t²+1, onde x é expresso em metros e t em segundos.

Calcular sua velocidade média no intervalo de tempo entre:

•  2 e 3 s.

•  2 e 2.1 s.

•  2 e 2.01 s.

•  2 e 2.001 s.

•  2 e 2.0001 s.

•  Calcula a velocidade no instante t=2 s.

Como podemos ver na tabela, quando o intervalo Δt→0, a velocidade média tende a 20 m/s. A velocidade no instante t=2 s é uma velocidade média calculada em um intervalo de tempo que tende a zero.

Calculo da velocidade em qualquer instante t

• A posição do móvel no instante t é x=5t²+1

• A posição do móvel no instante t+Dt é  x'=5(t+Dt)²+1=5t²+10tDt+5Dt²+1

• O deslocamento é Dx=x'-x=10tDt+5Dt²

• A velocidade média <v> é

A velocidade no instante t é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero

A velocidade no instante t pode ser calculada diretamente, calculando a derivada da posição x relativo ao tempo.

No instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleração

Em geral, a velocidade de um corpo é uma função do tempo. Suponhamos que no instante t a velocidade do móvel é v, e no instante t' a velocidade do móvel é v'. Denomina-se aceleração média entre os instantes t e t' ao quociente entre a variação de velocidade Dv=v'-v e o intervalo de tempo gasto para efetuar esta variação, Dt=t'-t.

A aceleração no instante t é o limite da aceleração média quando o intervalo Dt tende a zero, que é a definição da derivada de v.

Exemplo:

Um corpo se move ao longo de uma linha reta x(t)=2t³-4t²+5 m. Calcular a expressão de:

• A velocidade

• A aceleração do móvel em função do tempo.

Dada a velocidade do móvel calcular o deslocamento

Conhecendo um registro da velocidade podemos calcular o deslocamento x-x₀ do móvel entre os instantes t₀ e t, mediante a integral definida.

O produto v dt representa o deslocamento do móvel entre os instantes t e t+dt, ou no intervalo dt. O deslocamento total é a soma dos infinitos deslocamentos infinitesimais entre os instantes t₀ e t.

A figura, mostra um gráfico da velocidade em função do tempo, a área em cor azul claro mede o deslocamento total do móvel entre os instantes t0 e t, o segmento em cor azul marcado na trajetória reta. Calculamos a posição x do móvel no instante t, somando a posição inicial x0 ao deslocamento, calculado mediante a medida da área abaixo da curva v-t ou mediante cálculo da integral definida na fórmula anterior.

Exemplo:

Um corpo se move ao longo de uma linha reta de acordo com a lei v=t³-4t² +5 m/s. Se no instante t₀=2 s, está situado em x₀=4 m da origem. Calcular a posição x do móvel em qualquer instante.

Dada a aceleração do móvel calcular a variação de velocidade

Do mesmo modo, que calculamos o deslocamento do móvel entre os instantes t₀ e t, a partir de um registro da velocidade v em função do tempo t, podemos calcular a variação de velocidade v-v₀ que experimenta o móvel entre estes instantes, a partir de um registro da aceleração em função do tempo.

Na figura,  a variação de velocidade v-v0 é a área sob a curva a-t, ou o valor numérico da integral definida na fórmula anterior. Conhecendo a variação de velocidade v-v0, e o valor inicial v0 no instante t0, podemos calcular a velocidade v no instante t.

Exemplo:

A aceleração de um corpo que se move ao longo de uma linha reta é dada pela expressão. a(t)=4-t² m/s². Sabendo que no instante t₀=3 s, a velocidade do móvel vale v₀=2 m/s. Determinar a expressão da velocidade do móvel em qualquer instante

Resumindo, as fórmulas empregadas para resolver problemas de movimento retilíneo são

Movimento retilíneo uniforme

Um movimento retilíneo uniforme é aquele cuja velocidade é constante, por tanto, a aceleração é zero. A posição x do móvel no instante t podemos calcular integrando ou graficamente, na representação de v em função de t.

Habitualmente, o instante inicial t₀ é tomado como zero, que torna as equações do movimento uniforme

Movimento retilíneo uniformemente acelerado

	Um movimento uniformemente acelerado é aquele cuja aceleração é constante. Dada a aceleração podemos obter a variação de velocidade v-v0 entre os instantes t0 e t, mediante integração, ou graficamente.
	Dada a velocidade em função do tempo, obtemos o deslocamento x-x0 do móvel entre os instantes t0 e t, graficamente (área de um retângulo + área de um triângulo), ou integrando

Habitualmente, o instante inicial t₀ é tomado como zero, temos as fórmulas do movimento retilíneo uniformemente acelerado, as seguintes.

Explicitando o tempo t da segunda equação  e substituindo na terceira, relacionamos a velocidade v com o deslocamento x-x₀

Interpretação geométrica da derivada

A simulação seguinte, pode nos ajudar a entender o conceito de derivada e a interpretação geométrica da derivada

Escolha a função a representar no controle de seleção titulado Função,  entre as seguintes:

Clique o botão titulado Novo

Observe a representação da função escolhida

Com o ponteiro do mouse mova o quadrado de cor azul, para selecionar uma abscissa t₀.

Escolha o aumento, 10, 100, ou 1000 no controle de seleção titulado Aumento

• Quando escolhemos 100 ou 1000, a representação gráfica da função é quase um segmento retilíneo. Medimos sua inclinação com ajuda da linhas tracejadas sobre a representação gráfica

• Calculamos a derivada da função no ponto de abscissa t₀ escolhido

• Comprovamos a coincidência da medida da inclinação e o valor da derivada em t₀.

Exemplo:

Escolhemos a primeira função e o ponto t₀=3.009

Escolhemos a ampliação 1000.  A inclinação da reta vale -1, como é mostrado na figura.

A derivada desta função é

para t₀=3.0 a derivada vale -1.0

Integral definida

Dada a velocidade do móvel em função do tempo, vamos calcular o deslocamento do móvel entre os instantes t₀ e t.  Nos casos em que a velocidade é constante ou varia linearmente com o tempo, o deslocamento é calculado facilmente

	Se v=35 m/s, o deslocamento do móvel entre os instantes t0=0 e t=10 s é Δx=35·10=350 m
	Se v=6·t, o deslocamento do móvel entre os instantes t0=0 e t=10 s é a área do triângulo de cor azul claro Δx=(60·10)/2=300 m
	Se v=-8·t+60. o deslocamento do móvel entre os instantes t0=0 e t=10 s é a soma das áreas dos triângulos: o da esquerda tem uma área de (7.5·60)/2=225  e o da direita tem uma área de (-20·2.5)/2=-25. O deslocamento é a área total Δx=225+(-25)=200 m

Em outros casos, podemos calcular o deslocamento aproximado, seguindo o procedimento mostrado na figura

No instante t_i-1 a velocidade do móvel é v_i-1, e no instante t_i a velocidade do móvel é v_i. A velocidade média <v_i> no intervalo de tempo Δt_i=t_i-t_i-1 compreendido entre t_i-1 e t_i é

O deslocamento do móvel durante o intervalo de tempo Δt_i=t_i-t_i-1 compreendido entre t_i-1 e t_i é aproximadamente a área do retângulo <v_i>·Δt_i. O deslocamento total x-x₀ entre o instante inicial t₀, e o instante final t=t_n é, aproximadamente

donde n é o número de intervalos

Se v=-t²+14t+21 (m/s) e tomamos n=10 intervalos iguais, entre o instante t₀=0 e t=10 s o deslocamento aproximado vale

x-x₀≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m

Quando o número de intervalos em que é dividido em um intervalo dado (t₀, t) é muito grande Δt_i→0. No limite, o deslocamento é expresso como

Se v=-t²+14t+21 (m/s), o deslocamento entre o instante t₀=0 e t=10 s vale

Atividades

Escolha a função a representar no controle de seleção titulado Função, entre as seguintes:

v=-t²+14t+21
v=-8t+60
v=35
v=2t²-12t-12
v=2t³

Clique no botão titulado Novo

Arraste com o ponteiro do mouse o pequeno quadrado de cor azul, e clique o botão titulado Área.

Continue a arrastar o pequeno quadrado de cor azul, e volte a clicar no botão titulado Área e assim sucessivamente, até um máximo de 15 vezes.

É mostrada e calculada a área <v_i>·Δt_i de cada retângulo que é somada a área calculada previamente.