Cinemática

Movimento curvilíneo

Grandezas cinemáticas

Tiro parabólico

Composição de
movimentos

Apontar um canhão para
acertar um alvo fixo

Bombardear um bloco
móvel de um avião

Tiros frontais 
a cesta

Alcance máximo no
plano horizontal

Alcance máximo no
plano inclinado

Outros máximos

Disparo de um projétil
contra um alvo móvel

Barro que se desprende
de uma roda

Tiro parabólico e
movimento circular

Torpedo a caça de
um submarino

Componentes tangencial e normal da aceleração

Movimento curvilíneo

Suponhamos que o movimento tem lugar no plano XY, situamos uma origem, os eixos x e y traçamos a trajetória do móvel, ou seja, marcamos o conjunto de pontos pelos quais passa o móvel. As grandezas que descrevem um movimento curvilíneo são:

Vetor posição r no instante t.

Como a posição do móvel varia com o tempo. No instante t, o móvel se encontra no ponto P, ou em outras palavras, seu vetor posição é r e no instante t' se encontra no ponto P', sua posição é dada pelo vetor r'. Diremos que o móvel se deslocou Dr=r’-r no intervalo de tempo Dt=t'-t. Este vetor tem a direção da secante que une os pontos P e P'.

Vetor velocidade

O vetor velocidade média, é definido como o cociente entre o vetor deslocamento Dr e o tempo que foi empregado para deslocar-se Dt. O vetor velocidade média tem a mesma direção que o vetor deslocamento, a secante que une os pontos P e P1 quando é calculada a velocidade média <v1> entre os instantes t e t1.

O vetor velocidade num instante, é o limite do vetor velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero. Como podemos ver na figura, a medida que fazemos tender o intervalo de tempo a zero, a direção do vetor velocidade média, a reta secante que une sucessivamente os pontos P, com os pontos P1, P2....., tende para a tangente a trajetória no ponto P. No instante t, o móvel se encontra em P e tem uma velocidade v cuja direção é tangente a trajetória neste ponto.

Vetor aceleração

No instante t o móvel se encontra em P e tem uma velocidade v cuja direção é tangente a trajetória neste ponto. No instante t' o móvel se encontra no ponto P' e tem uma velocidade v'. O móvel variou, em geral, sua velocidade tanto em módulo como em direção, uma quantidade dada pelo vetor diferença Dv=v’-v.

Definimos a aceleração média como o cociente entre o vetor variação de velocidade Dv e o intervalo de tempo Dt=t'-t, gasto nesta variação.

A aceleração a em um instante

Resumindo, as equações do movimento curvilíneo no plano XY são

A primeira fila corresponde, as equações de um movimento retilíneo ao longo do eixo X, a segunda fila corresponde, as equações de um movimento retilíneo ao longo do eixo Y, e o mesmo podemos dizer a respeito do eixo Z.

Por tanto, podemos considerar um movimento curvilíneo como a composição de movimentos retilíneos ao longo dos eixos coordenados.

Exemplo 1:

Um automóvel descreve uma curva plana tal que as coordenadas retangulares, em função do tempo são dadas pelas expressões: x=2t³-3t², y=t²-2t+1 m. Calcular:

• As componentes da velocidade em qualquer instante.

v_x=6t²-6t  m/s
v_y=2t-2 m/s

• As componentes da aceleração em qualquer instante.

a_x=12t m/s²
a_y=2 m/s²

Exemplo 2:

Um ponto se move no plano de tal forma que as componentes retangulares da velocidade em função do tempo são dadas pelas expressões: v_x=4t³+4t, v_y=4t m/s. Se no instante inicial t₀=0 s, o móvel se encontrava na posição x₀=1, y₀=2 m. Calcular:

• As componentes da aceleração em qualquer instante

·        As coordenadas x e y, do móvel, em função do tempo.

Dada a velocidade v_x=4t³+4t do móvel, o deslocamento x-1 entre os instantes 0 e t é calculado mediante a integral

x=t⁴+2t²+1 m

Dada a velocidade v_y=4t do móvel, o deslocamento y-2 entre os instantes 0 e t é calculado mediante a integral

y=2t²+2 m

Exemplo 3:

Lançamos uma bola verticalmente para cima com uma velocidade de 20 m/s desde o teto de um edifício de 50 m de altura. A bola é empurrada pelo vento que sopra para direita, produzindo um movimento horizontal com uma aceleração de 2 m/s². Calcular:

• A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o de impacto

• A altura máxima

• Os instantes e os valores das componentes da velocidade quando a bola se encontra a 60 m de altura sobre o solo.

Primeiro, estabelecemos a origem no ponto de lançamento e os eixos X e Y apontando para direita e para cima respectivamente. Determinamos os sinais das velocidades iniciais v0x=0 e v0y=20 e da aceleração ay=-10. Escrevemos as equações do movimento

• Movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo X

a_x=2   
v_x=2t
x=2t²/2

• Movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo Y (movimento de queda dos corpos)

a_y=-10
v_y=20+(-10)t
y=20t+(-10)t²/2

1. O ponto de impacto tem coordenadas x desconhecida e y=-50 m. Dado y obtemos o valor de t e logo o valor de x.

y=-50 m
t=1.74 s
x=3.03 m

2. A altura máxima é obtida quando a velocidade vertical é zero

v_y=0 m/s
t=2 s
y=20 m

A altura desde o solo é 20+50=70 m.

3. O móvel se encontra em dois instantes a 60 m de altura sobre o solo (10 sobre origem), já que sua trajetória corta em dois pontos a reta horizontal y=10 m.A equação de segundo grau tem duas raízes

10=20t+(-10)t²/2
t₁=0.59 s e t₂=3.41 s.

Componentes tangencial e normal da aceleração

As componentes retangulares da aceleração não tem significado físico, porém se temos as componentes da aceleração em um novo sistema de referência formado pela tangente a trajetória e a normal a mesma.

Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração em um determinado instante é um simples problema de geometria, tal como se vê na figura.

• Traçamos os eixos horizontal X e vertical Y.

• Calculamos as componentes retangulares da velocidade e da aceleração neste instante. Representamos os vetores velocidade e aceleração neste sistema de referência.

• traçamos os novos eixos, a direção tangencial é a mesma que a direção da velocidade, a direção normal é perpendicular a direção tangencial.

• Com a régua e o esquadro projetamos o vetor aceleração sobre a direção tangencial e sobre a direção normal.

• Determinamos o ângulo q entre o vetor velocidade e o vetor aceleração, e calculamos o valor numérico destas componentes: a_t=a cosq  y  a_n=a senq

Exemplo:

O vetor velocidade do movimento de uma partícula é dado por v=(3t-2)i+(6t²-5)j m/s. Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração no instante t=2 s. Decompor o vetor velocidade, e o vetor aceleração nas componentes tangencial e normal neste instante.

1. Dadas as componentes da velocidade obtemos as componentes da aceleração

v_x =3t-2 m/s,   a_x=3 m/s²
v_y=6t²-5 m/s,  a_y=12t m/s²

2. Os valores destas componentes no instante t=2 s são

v_x =4 m/s,   a_x=3 m/s²
v_y=19 m/s,  a_y=24 m/s²

3. Decompomos o vetor velocidade e o vetor aceleração

4. Calculamos o ângulo q  que formam o vetor velocidade e o vetor aceleração

• Pelo produto escalar: v·a=v·a·cosq
• Calculando o ângulo que forma cada vetor com o eixo X, e subtraindo ambos ângulos

5. Calculamos as componentes tangencial e normal da aceleração

a_t=a·cosq =24.1 m/s²
a_n=a·senq=2.0 m/s²

Podemos calcular a aceleração tangencial em qualquer instante, a partir do produto escalar do vetor aceleração a e o vetor velocidade v.

v·a=va·cosθ=v·a_t

A aceleração normal, é obtida a partir do módulo da aceleração a e da aceleração tangencial a_t

Raio de curvatura

A figura, mostra o raio de curvatura e o centro de curvatura de uma trajetória qualquer no instante t. Decompomos a direção do vetor velocidade v no instante t, a direção do vetor velocidade v+dv no instante t+dt. Traçamos retas perpendiculares a ambas direções, que se encontram no ponto C denominado centro de curvatura. A distância entre a posição do móvel no instante t, e o centro de curvatura C é o raio de curvatura ρ.

No intervalo de tempo compreendido entre t e t+dt, a direção do vetor velocidade varia de um ângulo dθ. que é o ângulo entre as tangentes ou entre as normais. O móvel se desloca neste intervalo de tempo um arco ds=ρ·dθ,  tal como podemos ver na figura.

Outra forma de obter as componentes tangencial e normal da aceleração, é a de escrever o vetor velocidade v como produto de seu módulo v por um vetor unitário que tenha sua direção e sentido u_t=v/v. A derivada de um produto é composta da soma de dois termos

O primeiro termo, tem a direção da velocidade ou seja do vetor unitário u_t, é a componente tangencial da aceleração

O segundo termo, vamos demonstrar que tem a direção normal un. Como vemos na figura as componentes do vetor unitário ut são ut=cosθ·i+senθ·j

Sua derivada é

O vetor aceleração é

As componentes tangencial e normal da aceleração valem, respectivamente

Esta última fórmula, obtivemos de uma forma mais simples para uma partícula que descrevia um movimento circular uniforme.

Como a velocidade é um vetor, e um vetor tem módulo e direção, existirá aceleração sempre que varie com o tempo o módulo da velocidade, a direção da velocidade ou ambas as coisas de uma vez.

• Se somente varia o módulo da velocidade com o tempo, como em um movimento retilíneo, temos unicamente aceleração tangencial.
• Se somente varia a direção da velocidade com o tempo, porém seu módulo permanece constante como em um movimento circular uniforme, temos unicamente aceleração normal.
• Se variamos o módulo e a direção da velocidade com o tempo, como em um tiro parabólico, temos aceleração tangencial e aceleração normal..