Cinemática

Movimento relativo

Movimento relativo de
translação de referenciais

Problemas sobre movimento relativo de
translação de referenciais

Movimento relativo de
 rotação uniforme

Aceleração centrífuga
e de Coriolis

Demonstração: Movimento relativo de
translação e rotação de referenciais

Simulação do pêndulo de Foucault.

O pêndulo esférico visto do Sistema de Referência em Rotação

Referências

Quando um corpo se move sobre a superfície da Terra está submetido a duas forças a força centrífuga e a força de Coriolis,

A força de Coriolis é a responsável pela rotação do plano de oscilação do pêndulo de Foucault, a circulação do ar ao redor dos centros de baixa ou alta pressão, o desvio da trajetória de projéteis de longo alcance, a rotação da água quando sai pelo desague da banheira, etc.

A força centrífuga é responsável pela variação no módulo e na direção da aceleração da gravidade a distintas latitudes.

As forças reais (vistas de referenciais inerciais) como a força que exerce uma mola, a força de atração gravitacional, as forças elétricas ou magnéticas são as que descrevem as interações entre os corpos. As forças de inércia somente são observadas em sistemas de referência acelerados, para distingui-las das forças reais são denominadas também forças fictícias ou pseudoforças.

A introdução deste tipo de forças junto com as reais facilita a resolução dos problemas de Mecânica nos sistemas de referência em movimento relativo de rotação uniforme como a Terra.

As fórmulas que relacionam a velocidade v’ e a aceleração a’ medidas no sistema não inercial com a velocidade v e a aceleração a medidas no sistema inercial são as seguintes

Sua demonstração podemos encontrar em alguns livros texto

Movimento retilíneo e uniforme

Vetor posição

Uma partícula P se move ao longo do eixo X com velocidade constante v, sabendo que no instante inicial t=0, se encontra na posição x₀, determinar a trajetória no sistema não inercial que gira com velocidade angular constante w e sentido dos ponteiros do relógio.

Sistema inercial

A posição da partícula P em função do tempo é

O vetor posição é r=xi

A trajetória da partícula é retilínea

Sistema no inercial x’=x·cos(w t) y’=x·sen(w t) O vetor posição é r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’

Se a partícula parte da origem no instante t=0, x=v·t. A distância r da partícula a origem no instante t é

O ângulo girado pelo sistema não inercial ao cabo de um certo tempo t é θ=ω·t

A equação da trajetória em coordenadas polares é Que é uma espiral de Arquimedes, tal como podemos ver na figura simulação mais abaixo. Esta é a espiral que descreve a fita de um vídeo cassete de espessura d ao enrolar-se, ou a trajetória que segue uma agulha em um disco.

Vetor velocidade

Sistema inercial

A velocidade v da partícula P é constante

v=vi

Sistema não inercial

Derivando relativo ao tempo obtemos a velocidade da partícula medida no sistema não inercial

Vamos comparar este resultado com o que nos proporciona a fórmula

Com

v=vi
w =-w k
r=xi

Obtemos

v’=vi+w xj

Agora, relacionamos os vetores unitários i, j, do sistema de referência OXY inercial com os vetores unitários i’, j’ do sistema OX’Y’ não inercial

Obtemos de novo, o vetor velocidade v’

Vetor aceleração

Sistema inercial

A velocidade v da partícula P é constante em módulo e direção

a=0

Sistema não inercial

Derivando as componentes da velocidade relativo ao tempo obtemos a aceleração a’ medida no sistema não inercial.

Vejamos agora mediante a fórmula

Os dados que temos são

a=0, o movimento é uniforme no sistema de referência inercial
w =-w k
r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’
v’=(v·cos(w t)- x·w ·sen(w t))i’+(v·sen(w t)+ x·w ·cos(w t))j’

Calculamos cada aceleração separadamente

Aceleração de Coriolis

-2w ´ v’=-2(-w k)(v_xi’+v_yj’)=-2w v_yi’+2w v_xj’

=-2w (v·sen(w t)+ x·w ·cos(w t))i’+2w (v·cos(w t)- x·w ·sen(w t))j’

Na figura, mostramos que a aceleração de Coriolis é sempre perpendicular a velocidade v'. A esquerda, mostramos o produto vetorial no espaço, e a direita a mesma representação no plano.

Aceleração centrífuga

-w ´ (w ´ r)

com  r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’

-w ´ (w ´ r)=-(-w k) ´ (w ·x·sen(w t)i’-w ·x·cos(w t)j’)

=w²·x·cos(w t)i’+w²·x·sen(w t)j’

Na figura, mostramos o resultado do triplo produto vetorial. A aceleração centrífuga tem direção radial.

Somando as duas contribuições obtemos a aceleração a’ medida no sistema não inercial

a’=(-2w ·v·sen(w t)- w²·x·cos(w t))i’+(2w ·v·cos(w t)- w²·x·sen(w t))j’

Atividades

Introduza os seguintes dados:

• A velocidade angular de rotação w ,  no controle de edição titulado Velocidade angular
• a velocidade constante da partícula v, no controle de edição titulado Velocidade do móvel
• a posição inicial da partícula x₀, atuando sobre a barra de deslocamento titulada Posição inicial

Clique no botão titulado Começar

Para ver a representação do vetor velocidade, aceleração centrífuga e de Coriolis ativar a casinha titulada Vetores.

Simulação do pêndulo de Foucault

Em 1851 Jean Leon Foucault colocou um pêndulo de 67 metros de comprimento da cúpula dos Inválidos em Paris. Um recipiente que continha areia estava pendurado no extremo livre, e o filete de areia que caía do recipiente mostrava a trajetória do pêndulo no solo, demonstrando experimentalmente que o plano de oscilação do pêndulo girava 11º 15’ cada hora. O experimento de Foucault é uma prova efetiva da rotação da Terra. Embora a Terra estivesse coberta de nuvens, este experimento demonstrou que a terra tem um movimento de rotação.

Nesta simulação, o movimento do pêndulo é substituído pelo Movimento Harmônico Simples de um ponto P.

x=Acos(w_pt)

Onde w_p é a freqüência angular de oscilação deste imaginário pêndulo.

Encontramos a trajetória no sistema não inercial OX’Y’ aplicando a transformação

x’=x·cos(w t)=Acos(w_pt)·cos(w t)
y’=x·sen(w t)=Acos(w_pt)·sen(w t)

Onde w é a velocidade angular de rotação

A figura, mostra o ângulo girado pelo plano de oscilação do "pêndulo" durante o período de uma oscilação. O pêndulo parte de A e regressa de B, para iniciar uma nova oscilação. O ângulo girado é Dq =w ·P. Sendo P=2p/w_p o período de uma oscilação

O ângulo girado pelo plano de oscilação do pêndulo em uma hora, é o produto de Dq  pelo número de oscilações que da o pêndulo em uma hora.

Dq·60·60/P=w ·60·60=15º a la hora

Tendo em conta que a velocidade angular de rotação w da Terra é de 360º em 24 h.

Para um lugar de latitude λ, o ângulo girado pelo plano de oscilação do pêndulo em uma hora vale 15º·sen λ. A razão em que o vetor velocidade angular de rotação w formam um ângulo 90º-λ com a direção perpendicular ao plano local, tal como podemos ver na figura. Recorde-se que a aceleração de Coriolis responsável por este fenômeno é o produto vetorial -2w ´ v.

Sabendo que a latitude de Paris é de aproximadamente 49º, o plano de oscilação do pêndulo de Foucault gira a razão de 11.3º cada hora.

Caso particular w=w_p

As equações paramétricas da trajetória são

x’=Acos(w·t)·cos(w t)=(A/2)(1+cos(2w ·t))
y’=Acos(ω·t)·sen(w t)=(A/2)sen(2w ·t)

Eliminamos o tempo t das equações paramétricas da trajetória e obtemos a equação de uma circunferência centrada no ponto (A/2, 0) e de raio A/2.

Atividades

Introduza

• A velocidade angular w de rotação, um número inteiro, no controle de edição titulado Velocidade angular
• A freqüência angular w_p do MHS, um número inteiro, no controle de edição titulado Freqüência angular

Clique no botão titulado Começar.

Como exemplo interessante sugerimos aquele em que a velocidade angular de rotação da plataforma é igual a freqüência angular do MHS, w=w_p.

O pêndulo esférico visto do Sistema de Referência não inercial

Um pêndulo esférico é a composição de dois MHS de mesma freqüência angular w_p porém de direções perpendiculares defasados 90º.

x=Acos(w_p·t)
y=Bsen(w_p·t)

Eliminando o tempo t nas duas equações paramétricas, obtemos a equação da trajetória da partícula no Sistema de Referência Inercial, uma elipse de semi-eixos A e B, tal como podemos ver na figura.

Em um instante t a partícula dista r da origem e faz um ângulo θ com o eixo X. A posição da partícula no Sistema de Referência Inercial é

x=r·cosθ
y=r·senθ

A posição da partícula no Sistema de Referência NÃO Inercial é

x’=r·cos(θ+w·t)=x·cos(w ·t)-y·sen(w ·t)
y’=r·sen(θ+w·t)= x·sen(w ·t)+y·cos(w ·t)

As equações paramétricas do movimento do pêndulo esférico visto do Sistema de Referência Não Inercial são:

x’= Acos(w_p·t)·cos(w ·t)- Bsen(w_p·t)·sen(w ·t)
y’= Acos(w_p·t)·sen(w ·t)+ Bsen(w_p·t)·cos(w ·t)

Casos particulares com w_p=±w

1. Quando B=0, o pêndulo descreve um MHS ao longo do eixo X

x’= Acos(w·t)·cos(w ·t)=(A/2)(1+cos(2w ·t))
y’= Acos(w_p·t)·sen(w ·t)= (A/2)sen(2w ·t)

Eliminamos o tempo t das equações paramétricas da trajetória obtemos a equação de uma circunferência centrada no ponto (A/2, 0) e de raio A/2.

2. Quando A=B, o pêndulo descreve uma trajetória circular

x’= Acos(w·t)·cos(w ·t)- Asen(w·t)·sen(w ·t)= Acos(2w·t)
y’= Acos(w·t)·sen(w ·t)+ Asen(w·t)·cos(w ·t)= Asen(2w·t)

O pêndulo descreve uma trajetória circular centrada na origem de freqüência 2w

3. Quando A=B e w_p=-w, o pêndulo descreve uma trajetória circular

x’= Acos(w·t)·cos(w ·t)+ Asen(w·t)·sen(w ·t)= A
y’= Acos(w·t)·sen(w ·t)- Asen(w·t)·cos(w ·t)= 0

A trajetória é um ponto fixo (A, 0)

4. Quando A≠B, o pêndulo descreve uma trajetória elíptica

x’= Acos(w·t)·cos(w ·t)- Bsen(w·t)·sen(w ·t)= Acos²(w·t)- Bsen²(w·t)=A- (A+B)sen²(w·t)

y’= Acos(w·t)·sen(w ·t)+ Bsen(w·t)·cos(w ·t)=(A/2) sen(2w ·t)+(B/2) sen(2w ·t)

Eliminamos o tempo t das equações paramétricas da trajetória e obtemos a equação de uma circunferência de raio (A+B)/2 centrada no ponto ((A-B)/2, 0)

Atividades

Introduza

• A velocidade angular w de rotação, um número inteiro, no controle de edição titulado Velocidade angular
• A freqüência angular w_p do MHS, um número inteiro, no controle de edição titulado Freqüência angular
• A relação das amplitudes B/A dos dois MHS de direções perpendiculares, é colocado no controle de seleção titulado Amplitude (B/A)

Clique no botão titulado Começar.

Como exemplo interessante, sugerimos aquele no qual a freqüência angular do MHS é igual a velocidade angular de rotação da plataforma, w_p=±w.