Dinâmica celeste

Túnel pelo interior da Terra

Movimento sobre uma superfície horizontal

Órbita circular ao redor da Terra 

Atividades

Referências

Suponhamos que escavamos um túnel na Terra ao longo de uma direção paralela a um de seus diâmetros tal como é mostrado na figura. Nesta página, estudaremos o movimento de uma partícula que é introduzida por um dos extremos do túnel e demonstraremos que gasta um tempo de 42 minutos para sair pelo outro extremo. Este tempo é independente do comprimento do túnel.

Desprezamos o atrito, e supomos que a Terra não gira sobre seu eixo e que é perfeitamente esférica, de densidade uniforme, e que o túnel tem um diâmetro suficientemente pequeno para que não afete a força de atração que exerce a Terra sobre a partícula considerada.

Poderíamos imaginar que fizemos um túnel que atravesse a Terra desde a Espanha até a outra extremidade situada na Nova Zelândia atravessando a terra. Uma pessoa que fosse introduzida no túnel em Madrid saldría sairá pelo extremo oposto depois de 42 minutos de viagem, supondo que resista as altas temperaturas existentes no centro da Terra.

Suponhamos que é feito um túnel que conecte as cidades de Bilbao e Madrid, uma pessoa que é introduzida no túnel na cidade origem chegaria ao destino ao cabo de 42 minutos, mais ou menos o tempo de viagem de avião, sem levar em conta a grande espera no aeroporto antes do embarque.

Intensidade do campo gravitacional g produzido pela Terra

Na secção campo elétrico do capítulo Eletromagnetismo, estudamos um caso similar, o modelo de Kelvin-Thomson de um átomo de hidrogênio ou íon hidrogenoide com um só elétron. O átomo tem forma esférica de raio R, e a carga positiva Q está uniformemente distribuída nesta esfera.

O campo gravitacional e o campo elétrico tem semelhanças e diferenças.

·        O campo elétrico está associado a uma propriedade da matéria que é a carga elétrica. Existem dois tipos de carga positiva e negativa. As forças que descrevem as interações entre partículas carregadas podem ser atrativas ou repulsivas.

·        O campo gravitacional está associado a uma propriedade da matéria que é a massa. A força que descreve a interação entre duas partículas é sempre atrativa.

O campo gravitacional produzido por uma distribuição esférica de massa de raio R e massa M , tem uma expressão similar ao campo elétrico produzido por uma distribuição esférica de carga de raio R e carga total Q. Para calcular o campo gravitacional utilizaremos as seguintes equivalências fundamentadas na lei de Gauss.

O campo gravitacional produzido por uma distribuição esférica uniforme de massa M e  raio R em um ponto distante r>R do centro é equivalente ao campo gravitacional produzido por uma partícula de massa M situada no centro da esfera em um ponto distante r da mesma

O campo gravitacional produzido por uma distribuição esférica uniforme de massa M e de raio R em um ponto situado a uma distância r<R do centro, é equivalente ao campo gravitacional produzido pela porção de massa contida na esfera de raio r em um ponto de sua superfície.

e por tanto, é equivalente ao campo  gravitacional produzido por uma partícula de massa M r3/R3 situada no centro da esfera em um ponto distante r da mesma.

O campo gravitacional g produzido por uma distribuição esférica e uniforme de massa de raio R e massa M tem direção radial e sentido para o centro da Terra. Seu módulo vale.

Túnel pelo interior da Terra

A força F sobre a partícula de massa m situada a uma distância r<R do centro da Terra vale

 A componente desta força F_x ao longo do eixo do túnel é

A força F_x é proporcional ao deslocamento x da partícula relativo a posição de equilíbrio estável (F_x=0) e de sentido contrário ao mesmo, um sinal inequívoco de que a partícula descreve um Movimento Harmônico Simples (M.A.S.).

A equação do movimento é

Chegamos a equação diferencial de um MHS de período P=2π/ω

A partícula descreve um MHS cujo período é de 84.3 minutos e é independente da amplitude.

Movimento sobre uma superfície horizontal

Suponhamos uma partícula de massa m que desliza sem atrito ao longo de uma superfície horizontal (tangente a superfície da Terra), tal como é mostrada na figura.

A força sobre a partícula vale

A componente desta força F_x=-F·senθ=-F·x/r é de sentido contrário ao deslocamento porém já não é proporcional ao deslocamento x e sim a x/r³

A equação do movimento da partícula será agora

Se o deslocamento x é pequeno, ou o ângulo θ é pequeno, podemos fazer a aproximação r≈R. A partícula descreve um MHS cujo período é de novo 84.3 minutos sempre que a amplitude seja pequena.

Como no pêndulo simples, o período das oscilações é dependente da amplitude, e podemos considerar constante na aproximação de pequenos desvios da posição de equilíbrio estável.

Órbita circular ao redor da Terra 

Aplicando a equação da dinâmica do movimento circular, obtemos a velocidade v de um corpo de massa m que descreve uma órbita circular de raio r ao redor da Terra é

O tempo gasto para dar uma volta completa ou período é

Os quadrados dos períodos são proporcionais aos cubos do raio da trajetória circular (terceira lei de Kepler).

Suponhamos que a Terra é perfeitamente esférica, sem acidentes geográficos, e sem atmosfera que pare o movimento dos corpos. O período de um satélite artificial que passasse justamente acima de nossas cabeças seria o mesmo que o período das oscilações de um corpo que viajasse por um túnel escavado na Terra

Este e o tempo mínimo que gasta um satélite para completar uma volta ao redor da Terra.

Sem engano, os satélites geoestacionários dedicados as comunicações tem um período de 24 horas, sua velocidade angular é a mesma que a da Terra e por tanto, permanecem fixos vistos por um observador terrestre.

O raio de um satélite geoestacionário é obtido colocando o dado P=24·60·60=86400 s na fórmula do período e explicitando r.

ou então, 35880 km acima da superfície da Terra.

Atividades

Introduza

• A distância entre o centro da Terra e o túnel horizontal escavado no interior da Terra, atuando na barra de deslocamento titulada Posição

Clique no botão titulado Começar

Observe o movimento oscilatório de uma partícula que é introduzida pelo extremo do túnel, e comprove que o período de oscilação é de aproximadamente 84 minutos, e é independente da posição do túnel.

A amplitude da oscilação é a metade do comprimento do túnel.

Exemplo:

Tomando como unidade de comprimento o raio da Terra R=6.37·10⁶ m, se o túnel dista do centro da Terra y=0.6, a amplitude é