Dinâmica celeste

Movimento do sistema Sol-Terra-Júpiter-Io

Incremento do período observado de Io

Atraso nas aparições de Io

Atividades

Referências

A história da óptica é muito antiga, por exemplo, foram encontrados espelhos construídos no antigo Egito.

Não está claro quem inventou o primeiro telescópio, porém Galileu Galilei construiu seu próprio instrumento com o qual descobriu em 7 de janeiro de 1610 os satélites de Júpiter e neste ano observou os anéis de Saturno.

Pierre Fermat desenhou a lei da refração, a partir do princípio do tempo mínimo. A luz se propaga de um ponto a outro ao longo do caminho que gasta um tempo mínimo, embora este não seja o caminho de menor comprimento.

Hooke foi o primeiro a estudar as interferências geradas por películas delgadas. Lançou a idéia de que a luz era um movimento vibratório rápido do meio propagando-se a grandes velocidades.

Newton permaneceu ambivalente acerca da natureza da luz, embora se inclinou finalmente pela teoria corpuscular.

Sem engano, Huygens, se inclinou pela teoria ondulatória, desenhou as leis da reflexão e da refração e inclusive explicou a dupla refração da calcita, usando a partir do modelo ondulatório.

Naquela época, a luz era um feixe de partículas ou uma rápida ondulação de matéria etérea. Em qualquer caso, estavam de acordo que a velocidade de propagação era excessivamente grande. Roemer em 1676 mediu a velocidade da luz seguindo o procedimento que é detalhado a seguir.

O procedimento de Roemer

Na figura, são mostrados o Sol, a Terra, Júpiter e seu satélite Io em sua órbita ao redor deste planeta. O Sol ilumina Júpiter, que projeta sua sombra no espaço.

Io é o satélite mais próximo de Júpiter, e está situado praticamente no plano de sua órbita ao redor do Sol. O satélite Io entra na sombra projetada por Júpiter pelo ponto I ficando oculto durante um pequeno intervalo de tempo, e sai da sombra pelo ponto E.

Durante meio ano, o observador terrestre vê a aparição de Io oculto na sombra de Júpiter, e durante o outro meio ano o desaparecimento (eclipses) nesta sombra.

Suponhamos que a Terra está na posição A, a mais próxima a Júpiter (oposição), quando Io aparece da sombra de Júpiter. O mesmo acontecimento ocorrerá 42.5 horas mais tarde, quando Io tenha completado uma volta.

A Terra se move ao redor do Sol, depois de N períodos de Io, a Terra se encontra na posição B (conjunção) a mais distante de Júpiter.

Seja P' o período de Io medido por um observador terrestre e P o "verdadeiro" período de Io. A distância entre a Terra e Júpiter foi aumentada em AB=d=2UA, o diâmetro da órbita aproximadamente circular da Terra ao redor do Sol

O astrônomo mede a diferença NP'-NP=990 s, que será igual ao quociente entre a distância AB e a velocidade da luz c.

Movimento do sistema Sol-Terra-Júpiter-Io

No tópico anterior, foi feita uma descrição simplificada do procedimento de Roemer para medir a velocidade da luz, no qual não foi levado em conta o movimento de Júpiter, nem a mudança de orientação da sombra projetada. Neste tópico faremos um estudo mais detalhado.

Para realizar os cálculos, suponhamos que a Terra, Júpiter descrevem órbitas circulares, já que a excentricidade da Terra é 0.017 e a de Júpiter é 0.048.

Os dados relativos a estes corpos celestes são os seguintes:

O raio equatorial de Júpiter é de r_J=71398 km=71.398·10⁶ m

Exercício:

Io descreve uma órbita circular de raio rIo=4.216·108 m ao redor do planeta Júpiter, determinar seu período. Dados: massa de Júpiter MJ=1.901·1027 kg, constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2

Aplicamos a equação da dinâmica do movimento circular uniforme

 A velocidade orbital de Io é v=17342.2 m/s,  e seu período P_Io=152748.4 s=42.4 h=1.768 dias

Movimento da Terra e Júpiter

A Terra e Júpiter se movem em órbitas aproximadamente circulares ao redor do Sol.

• O raio da órbita da  é R_T=5.203 UA e seu período P_T=365.26 dias.
• O raio da órbita de Júpiter é R_J=5.203 UA e seu período P_J=11.86 anos.

Estabelecemos, um Sistema de Referência com origem no Sol.

• A posição da Terra no instante t é (R_T·cosθ_T, R_T·senθ_T)
• A posição de Júpiter no instante t é (R_J·cosθ_J, R_J·senθ_J)

A distância d entre os centros de ambos planetas é

A mínima distância, no instante t=0, quando θ_T=θ_J=0 é  R_J-R_T=5.203-1.0=4.203 UA

A distância entre a Terra e Júpiter vai aumentando, meio ano depois a Terra se encontra na posição θ_T=π.  Júpiter devido a sua menor velocidade angular, se encontra em θ_J=2·π·½ ano/11.86 anos=π/11.86=0.264 rad=15.2º

A distância entre a Terra e Júpiter neste instante é d=6.174 UA. Um pouco menor que a distância entre a Terra e Júpiter supondo que este permanece em repouso d=5.203+1.0=6.203 UA.

Em uma primeira aproximação, podemos supor que Júpiter permanece em repouso na posição θ_J≈0 durante o meio ano que duram as observações de seu satélite Io.

Movimento de Io

O satélite Io descreve uma órbita circular de raio r_Io=4.216·10⁸ m situada no plano da órbita de Júpiter ao redor do Sol. O Sol ilumina Júpiter que projeta sua sombra no espaço. A largura da sombra é igual ao diâmetro de Júpiter, cujo raio é de 71398 km.

O deslocamento angular φ de Io na sombra do planeta Júpiter é

Sabendo que a velocidade angular de Io é o quociente entre 2p (uma volta) e o período de revolução P_Io=1.769 dias, o tempo que Io permanece na sombra do planeta Júpiter é

A medida que se move o planeta Júpiter sua sombra vai mudando de orientação um ângulo q _J igual ao que forma o raio vetor que une o Sol com o planeta e a horizontal, tal como podemos ver na figura.

Io não aparece e desaparece de forma instantânea na sombra projetada por Júpiter, como seu raio equatorial é de 1820 km, por tanto, o tempo gasto para aparecer e desaparecer é igual ao quociente entre o diâmetro e a velocidade orbital v_Io=17342.2 m/s calculada no exercício anterior. O resultado é 3.5 minutos.

O raio da órbita de Io r_Io=4.216·10⁸ m é muito pequeno em comparação inclusive com a distância mínima entre a Terra e Júpiter 4.203·1.496·10¹¹ =6.29·10¹¹ m, por que a distância entre Io (no momento no qual aparece da sombra de Júpiter) e a Terra é aproximadamente igual a distância entre Júpiter e a Terra.

Incremento do período observado de Io

O período de Júpiter é de 11.86 anos, durante o meio ano no qual vão realizar-se as observações de seu satélite Io, sua posição muda muito pouco. Suponhamos também, que o raio de Io é muito pequeno comparado com a distância entre Júpiter e a Terra

Quando a Terra está na posição mais próxima a Júpiter a distância entre estes dois planetas é 5.203-1.0=4.203 UA. Quando a Terra está na posição mais distante de Júpiter a distância entre estes dois planetas é 5.203+1.0=6.203 UA.

Quando a Terra forma um ângulo θ com a reta que  une Júpiter e o Sol, a distância d é

Como a velocidade angular da Terra ω_T =2π/365.26 rad/dia, sua posição é θ=ω_T·t

Suponhamos que quando a Terra está na posição mais próxima a Júpiter, θ=0, a uma distância d₁=4.203 UA, vê sair pela primeira vez Io da sombra de Júpiter. Um período de Io depois P=1.769 dias, a Terra se encontra na posição θ=ω_T·P=0.03 rad=1.74º. A distância entre a Terra e Júpiter é d₂=4.2036 UA

A diferença de tempo entre duas aparições consecutivas de Io devida ao incremento de distância d₂-d₁ entre Júpiter e a Terra é

Onde c é a velocidade da luz c=3.0·10⁸ m/s. Neste caso Δt=0.286 s,

Comparemos duas observações consecutivas da aparição de Io.

Na observação i, o ângulo que forma a Terra com a reta que une o Sol e Júpiter é θ=i·ω_T·P, a distância entre a Terra e Júpiter é

Na observação i+1, o ângulo que forma a Terra com a reta que une o Sol e Júpiter é θ=(i+1)·ω_T·P, a distância entre a Terra e Júpiter é

A diferença de tempo entre duas aparições consecutivas de Io devida ao incremento de distância d_i+1-d_i entre Júpiter e a Terra é

Em meio ano, o número total de observações é (365.26/2)/1.796=102

Na figura, é representada Δt em segundos em função do número de observações. Se a Terra parte da posição θ=0 (oposição), a figura nos mostra que os períodos observados de Io vão aumentando a medida que a Terra se distancia de Júpiter hasta que alcança a quadratura θ=90º. Depois, vão diminuindo até que é alcançado a conjunção θ=180º

Na figura, é representado o aumento do período observado de Io Δt em função da distância (em UA) entre a Terra e Júpiter

Velocidade relativa da Terra relativo a Júpiter

A velocidade relativa da Terra relativo a Júpiter é calculada projetando os vetores velocidades de ambos planetas, cuja direção é perpendicular ao raio de sua órbita, ao longo da reta que une ambos planetas.

Como vemos na figura a velocidade relativa v_r vale

v_r=v_T·sen(α+θ)-v_J·senα

Como a Terra gasta 365.26 dias para dar uma volta completa. A velocidade da Terra é

Como Júpiter gasta 11.86 anos para dar uma volta completa. A velocidade de Júpiter é

Conhecido o ângulo θ calculamos o ângulo α.

Nesta outra figura, é representado o incremento do período observado de Io, Δt em função da velocidade relativa entre a Terra e Júpiter ao longo da linha que une ambos planetas. Este aumento Δt é proporcional a velocidade relativa v_r entre a Terra e Júpiter. Trata-se por tanto, de um efeito Doppler.

Cada aparição de Io da sombra de Júpiter representa um sinal luminoso periódico que se repete a cada 1.796 dias emitida por um observador em movimento. O sinal luminoso viaja pelo espaço a velocidade da luz e é visto por um observador terrestre em movimento. O período P' do sinal recebido e o período P do sinal emitido estão relacionados pela fórmula que descreve o efeito Doppler.

Atraso das aparições de Io

É muito difícil medir uma diferença de tempo menor que 15 segundos entre duas observações consecutivas da aparição de Io. Sem engano, é possível medir o atraso da última observação meio ano depois.

A primeira observação tem lugar quando a Terra está mais próxima a Júpiter d₁=5.203-1.0=4.203 UA;

Como o período de Io é de P=1.796 dias. A observação i da aparição de Io da sombra de Júpiter era de se esperar que tivesse lugar no instante t=i·P. Devido a que a Terra se distancia de Júpiter, a observação i tem lugar no instante t'=iP+Δt. Onde o atraso Δt vale

Por exemplo para a última observação i=102, o ângulo θ=i·ω_T·P≈π=180º, que forma a Terra com a reta que une o Sol e Júpiter, Δt=997 s=16.6 min

Atividades

Na simulação observamos, na parte superior o movimento da Terra e de Júpiter ao longo de meio ano.

Na parte inferior, observamos o movimento do satélite Io, visto com um "telescópio".

Cada vez que Io reaparece depois de ter estado oculto pela sombra de Júpiter o "astrônomo" aponta o número da observação e o momento desta observação (em dias, horas e minutos). A primeira observação marca o tempo inicial zero. Também anota as posições angulares da Terra e de Júpiter medidas em graus.

Na simulação, é levado em conta o movimento de Júpiter ao longo de meio ano, e que as órbitas que descreve a Terra e Júpiter são elípticas.

Na parte inferior esquerda, é representado o tempo de atraso da aparição de Io. Este atraso é de uns 1000 segundos, para a última observação, quando a Terra se encontra na posição mais distante de Júpiter.

Para obter o valor da velocidade da luz, Roemer admitiu que a causa do atraso era o aumento da distância entre a Terra e Júpiter é que Júpiter se move relativamente pouco durante o período de meio ano terrestre, por que a luz percorre aproximadamente uma distância extra igual ao diâmetro da órbita terrestre 2 UA. A velocidade da luz será, então