Dinâmica celeste |
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana
Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:
Autor: (C) Ángel Franco García
Leis de Kepler O descobrimento da lei da gravitação Força central e conservativa Equação da trajetória Solução numérica das equações Órbita de transferência Trajetória espiral Encontros espaciais Encontro de uma sonda espacial com Júpiter Órbitas de mesma energia Trajetória de um projétil (I) Trajetória de um projétil (II)
Queda de um satélite em órbita até a Terra. Os anéis de um planeta Movimento sob uma força central e uma perturbação O problema de Euler Viagem a Lua |
Movimento circular da nave espacial
ao redor da Terra
Posição relativa do corpo relativo a nave espacial
Descrição do movimento relativo do corpo. Solução numérica. |
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Foi estudado que as naves espaciais descrevem órbitas elípticas onde em um dos focos está o centro da Terra. Suponhamos que uma nave espacial descreve uma órbita circular de raio r0. Em um momento dado, é lançado um corpo com uma velocidade u relativa a nave espacial em qualquer direção, contida no plano de sua órbita. Suponha que o corpo é pequeno de modo que seu lançamento não altera apreciavelmente a trajetória circular da nave espacial. Vamos comprovar a complexidade das trajetórias que descreve o corpo visto por um astronauta que viaja na nave espacial. Finalmente, efetuaremos algumas aproximações para descrevê-las de forma analítica
Movimento circular da nave espacial ao redor da Terra
onde G=6.67·10-11 Nm2/kg2, e M=5.98·1024 kg é a massa da Terra e R=6.37·106 m é seu raio. Exemplo: Suponhamos que a nave espacial descreve uma órbita circular a uma altura de 4000 km acima da superfície da Terra r0=6.37·106+4.0·106 =10.37·106 m
O tempo gasto para dar uma volta é P0=2πr0/v0=10506 s
Movimento do corpo que está a uma certa altura sobre a nave espacialConsideremos primeiro, o caso mais simples, o movimento de um corpo que está a uma distância h da nave espacial medida ao longo da direção radial e que no instante inicial, tem a mesma velocidade da nave. É solto o corpo e comprovamos que ambos se movem em órbitas distintas.
Vamos considerar dois casos que h seja positivo, a altura do corpo seja maior que o da nave espacial, e que h seja negativo, a altura do corpo seja menor que a da nave espacial. A constância do momento angular e da energia do corpo nos permitem calcular a distância máxima ou mínima r2 e sua velocidade v2, conhecidas a distância mínima ou máxima r1=r0+h e sua velocidade v1=v0.
O semi-eixo maior da elipse é a=(r1+r2)/2 e o período P, ou tempo gasto pelo corpo para dar uma volta completa é
Na figura, vemos a trajetória seguida por um corpo preso a nave espacial e que é solto no instante inicial com a mesma velocidade v0 que leva a nave. Na figura da esquerda, a altura do objeto é menor que a da nave espacial, h<0, o corpo vai na frente da nave. Na figura da direita, a altura do objeto é maior que a da nave espacial, h>0, o corpo vai atrás da nave. Exemplo:
Posição relativa do corpo relativa a nave espacialA posição do corpo relativa ao Sistema de Referência Inercial situado no centro da Terra é x=r·cos(θ) onde r e θ são funções do tempo t, veja a equação da trajetória
No Sistema de Referência não Inercial o eixo X' é a direção radial, e o eixo Y' é a direção tangente a circunferência de raio r0. Se x'>0 o corpo está acima da nave espacial, e se x'<0 o corpo está abaixo. Se y'>0 o corpo se move na frente e se y'<0 o corpo se move atrás da nave espacial.
AtividadesIntroduza
Clique no botão titulado Começar Na parte esquerda na simulação, são representados os movimentos dos dois corpos ao redor da Terra:
A direita na simulação, é representada a trajetória seguida pelo corpo vista por um astronauta que viaja na nave espacial.
As distâncias tanto no eixo horizontal Y' como no vertical X' estão expressadas em km. Para poder ver adequadamente a trajetória, escolhemos a escala no controle de seleção titulado Escala e continuando, clique no botão titulado Começar. |
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Movimento de um corpo que é lançado da nave espacialSuponhamos que um corpo de pequena massa é lançado desde uma nave espacial com velocidade relativa u e fazendo um ângulo α relativo ao eixo X' (direção radial).
A velocidade v do corpo e sua direção φ relativo ao Sistema Inercial de Referência situado no centro da Terra, é calculado somando os vetores v=u+v0 da figura. Suas componentes são: vx=u·cosα O módulo da velocidade resultante v e sua direção φ são:
A equação da trajetória do corpo de massa m está determinada pela energia e o momento angular
A trajetória é independente da massa m do corpo e é uma elipse se E<0, cujo semi-eixo maior está girado de um certo ângulo que é calculado colocando r=r0 na equação da trajetória e explicitando o ângulo θ. Veja as páginas tituladas "Órbitas de mesma energia", "Trajetória de um projétil disparado de uma altura h sobre a superfície da Terra" e "Choque de um meteorito com a Terra".
Exemplo: Seja r0=6.37·106+4.0·106, (4000 km de altura sobre a superfície da Terra)
AtividadesIntroduza
Clique no botão titulado Começar Na parte esquerda na simulação, é representado o movimento dos dois corpos ao redor da Terra:
A direita na simulação, é representada a trajetória seguida pelo corpo vista por um astronauta que viaja na nave espacial.
As distâncias tanto no eixo horizontal Y' como no vertical X' estão expressas em km. Para poder ver adequadamente a trajetória, podemos escolher a escala no controle de seleção titulado Escala, e continuando clique no botão titulado Começar.
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Descrição do movimento relativo do corpo. Solução numérica.O corpo de massa m está submetido a uma força atrativa F cuja direção é radial e apontando para o centro da Terra. O módulo da força é dado pela lei da Gravitação Universal
Sendo r a distância entre o centro do corpo e o centro da Terra, e x e y sua posição relativa ao Sistema de Referência Inercial cuja origem está situada no centro da Terra.
Aplicando a segunda lei de Newton, e expressando a aceleração como derivada segunda da posição, temos um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem.
As relações entre as coordenadas do corpo medidas no Sistema de Referência Inercial (x, y) e as medidas no Sistema de Referência não Inercial (x’, y’) são x=x’cos(ωt)-y’sen(ωt) Calculamos as derivadas segundas de x e de y relativo ao tempo t, d2x/dt2 e d2y/dt2, obtemos um sistema de duas equações diferenciais em termos de x’ e y’ e de suas derivadas. Multiplicamos a primeira equação por cos(ωt) e a segunda por sen(ωt) e as somamos. Obtemos a equação diferencial
Multiplicamos a primeira equação por -sen(ωt) e a segunda por cos(ωt) e as somamos. Obtemos a equação diferencial
Os dois termos aparecem na parte esquerda da equação diferencial representam as pseudoforças por unidade de massa, denominadas de Coriolis e centrífuga. Dadas as condições iniciais (posição e velocidade inicial), o sistema de duas equações diferenciais pode ser integrado aplicando um procedimento numérico.
Como a nave espacial dista r0 do centro da Terra, a posição do corpo vista por um astronauta que viaja na nave espacial tem por abscissa x’-r0 e por ordenada y’, veja a figura do tópico "Posição relativa do corpo relativo a nave espacial"
Uma solução analítica simplesUm astronauta que sai da nave espacial adquire sua velocidade relativa mediante o impulso de pequenos foguetes situados em suas mochilas, ou mediante a ação dos músculos de seus braços ou suas pernas apoiados no exterior da nave. Em ambos casos, a velocidade relativa u do astronauta relativa a nave espacial é muito pequena comparada com a velocidade v0 da nave, e o tempo que gasta para mover-se de um lugar a outro é muito pequeno comparado com o período P0 ou tempo que gasta a nave para completar uma órbita. Na seguinte tabela, são proporcionados alguns dados.
Sem engano, como vamos comprovar neste tópico, o desvio da trajetória seguida pelo astronauta ou outro corpo qualquer relativo a retilínea é muito acusada incluso para pequenos deslocamentos. De novo, consideramos que a nave espacial se move em uma órbita circular de raio r0. No Sistema de Referência (S. R.) Inercial cuja origem é o centro da Terra, a posição da nave espacial é dada pelo vetor r0, de módulo r0 constante e que gira com velocidade angular constante ω=v0/r0. A posição do corpo está indicada pelo vetor r. Descrevemos o movimento do astronauta no S. R. não Inercial com origem na nave e cujos eixos são a direção radial e tangencial, respectivamente. Estes eixos que denominaremos X’ e Y’ giram com velocidade angular ω, vistos do S. R. Inercial situado na Terra, veja o tópico titulado "Descrição do movimento do corpo. Solução numérica"
As fórmulas que relacionam a velocidade v’ e a aceleração a’ medidas no S. R. não Inercial com a velocidade v e aceleração a medidas no S. R. Inercial são as seguintes:
ω=ωk é o vetor velocidade angular de rotação cuja direção (eixo Z) é perpendicular ao plano da órbita e cujo sentido aponta para o leitor, se a nave espacial gira no sentido anti-horário, v’ é a velocidade do astronauta no S. R. não Inercial. Por razão de simplicidade, restringiremos o movimento do corpo ao plano da órbita da nave.
Para obter uma expressão analítica simples, suponha que as forças de atração gravitacional e a força centrífuga são iguais e opostas nas proximidades da órbita circular de radio r0, na qual vai se mover o corpo. Esta é a razão da sensação de carência de peso que experimenta um astronauta no interior da nave e pela qual, observamos estes mover-se livremente.
Suponhamos por tanto, que a única aceleração que afeta ao corpo no S. R. ligado a nave é a de Coriolis.
A aceleração a’ do astronauta no S. R. não Inercial é a’≈-2ωk×(vx’i+vy’j)=2ωvy’i-2ωvx’j Em forma de equação diferencial, escreveremos
Derivando de novo com relação ao tempo, são desacopladas as duas equações diferenciais
Temos duas equações diferenciais cuja solução é similar a de um Movimento Harmônico Simples (MHS) porém na velocidade (não na posição). vx’=Asen(2ωt)+Bcos(2ωt) Os coeficientes A, B, C e D são determinados a partir das condições iniciais: no instante t=0, o corpo sai da origem x’=0, y’=0 com velocidade inicial v0x’=u·cosα, v0y’=u·senα, e cujas componentes da aceleração (derivada da velocidade) inicial são a0x’=2ωv0y’ e a0y’= -2ωv0x’
Integramos de novo, tendo em conta que o corpo sai da origem x’=0, y’=0 no instante t=0.
Casos particulares
Na figura, são mostrada as trajetórias seguidas por um corpo que é lançado no interior da nave espacial com uma velocidade de 0.3 m/s em várias direções. A nave espacial se encontra descrevendo uma órbita circular 400 km de altura. A flecha de cor vermelha mostra a direção e sentido do movimento da nave espacial. Quanto menor é a velocidade do corpo, e quanto maior é a velocidade angular da nave espacial mais é desviada a trajetória seguida pelo corpo da retilínea.
AtividadesIntroduza
Clique no botão titulado Começar A simulação representa uma estação espacial de 100 m de comprimento. É lançado um corpo do centro da nave em uma determinada direção. A reta de cor vermelha, mostra a trajetória que seguiria o corpo em uma nave espacial situada em uma região livre de forças. A curva em cor azul mostra a trajetória do corpo cuja direção da velocidade é desviada pela aceleração de Coriolis. Podemos medir o desvio que experimenta o astronauta e a influência da altura da nave espacial ou de sua distância ao centro da Terra, r0, a direção α da velocidade inicial e o módulo u desta velocidade.
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Uma solução analítica mais completaA solução dada no tópico anterior é válida somente
Neste tópico, apresentamos uma solução que não realiza aproximações tão drásticas e por tanto, fazem com que sua validez seja mais geral. A fórmula que relaciona a aceleração a’ medida no S. R. não inercial com a aceleração a medida no S. R. inercial é a seguinte:
A relação entre os três vetores é r=r0+r’, A aceleração a’ é escrita
Se a distância entre o corpo e a nave espacial é mantida pequena comparada ao raio r0 da órbita da nave espacial, podemos desenvolver em série, a aceleração da gravidade e desprezar os termos em (r’/r0)2. O módulo do vetor r=r0+r’, é
O módulo da aceleração da gravidade se aproxima de
A aceleração a' do corpo no S. R. não Inercial é
Em uma órbita circular de raio r0, a força centrífuga e a força de atração se anulam, de modo que se cancelam o primeiro e o sexto termo da grande expressão da aceleração a’ e ademais, é desprezado o quarto termo em r’2/r0 A compensação da força de atração gravitacional e a força centrífuga
produzem o sentido de falta de gravidade que experimentam os astronautas em uma nave espacial A aceleração a’ do corpo no S.R. não Inercial pode ser aproximada a
Restringindo o movimento do corpo ao plano da órbita, são calculados os produtos vetoriais dos vetores: r’=x’i+y’j Resultando o sistema de equações diferenciais
Derivando a primeira equação diferencial, e substituindo na segunda na primeira, desacoplamos o sistema de duas equações diferenciais
Temos uma equação diferencial cuja solução é similar a de um Movimento Harmônico Simples (MHS) porém na velocidade (não na posição) vx’=Asen(ωt)+Bcos(ωt) Os coeficientes A, B, são determinados a partir das condições iniciais: no instante t=0, o corpo sai da origem x’=0, y’=0 com velocidade inicial v0x’=u·cosα, v0y’=u·senα e cujas componentes da aceleração inicial são a0x’=2ωv0y’ e a0y’=-2ωv0x’ vx’=2v0y’sen(ωt)+v0x’cos(ωt) ou então,
Integramos de novo, tendo em conta que o corpo sai da origem x’=0, no instante t=0
Integramos a segunda equação diferencial
O resultado é
Integrando de novo, com a condição inicial de que x’=0, no instante t=0.
Casos particulares
Na figura, vemos que a trajetória neste caso é complexa. A esquerda, vemos sua evolução durante os primeiros instantes e a direita, durante algo menos que dois períodos de revolução da nave espacial.
ReferênciasButikov E. I. Relative motion of orbiting bodies. Am. J. Phys. 69 (1) January 2001, pp. 63-67 Freedman R. A., Helmy I., Zimmerman P. D. Simplified navigation for self-propelled astronauts. Am. J. Phys. 43 (5) May 1975, pp. 438-440 |
Movimento relativo
