Dinâmica celeste |
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana
Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:
Autor: (C) Ángel Franco García
Leis de Kepler O descobrimento da lei da gravitação Força central e conservativa Equação da trajetória Solução numérica das equações Órbita de transferência Encontros espaciais Trajetória espiral Encontro de uma sonda espacial com Júpiter Órbitas de mesma energia
Trajetória de um projétil (II) Movimento relativo Queda de um satélite em órbita até a Terra. Os anéis de um planeta Movimento sob uma força central e uma perturbação O problema de Euler Viagem a Lua |
Equação da trajetória | |||
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No capítulo de Cinemática estudamos o movimento dos projéteis que descrevem trajetórias parabólicas no plano horizontal local, supondo que a aceleração da gravidade é constante. Nesta página, vamos determinar a trajetória que segue o projétil que é disparado da superfície da Terra com velocidade inicial v0 fazendo um ângulo φ com o plano horizontal local.
Equação da trajetória
que se mantém constantes em todos os pontos da trajetória. A equação da trajetória em coordenadas polares é
A equação da trajetória é independente da massa m do projétil. Se a energia do projétil é negativa E<0 a trajetória é uma elipse. A velocidade de disparo v0 deve ser menor que a velocidade de escape ve
Em coordenadas polares, o projétil sai da posição R, θ0, e chega a posição R, -θ0, onde
O alcance do projétil, é a medida do arco ao longo da superfície da Terra entre a posição de disparo e a de impacto 2·R·(π-θ0) A distância máxima ao centro da Terra é calculada na equação da elipse em coordenadas polares com θ=π.
A altura máxima sobre a superfície da Terra é hmáx=rmáx-R
Tempo de vôoPara calcular o tempo de vôo, vamos utilizar o mesmo procedimento que empregamos para deduzir a fórmula do período de um planeta, a partir da lei das áreas. O momento angular em coordenadas polares é escrito
Integrando
O primeiro membro, é a área varrida pelo raio vetor quando o projétil se move desde a posição angular θ=θ0, a posição θ=π. O tempo de vôo t é obtido.
A área sombreada é a área da porção da elipse compreendida entre x e a menos a área do triângulo de base R·cos(π-θ0) e altura R·sen(π-θ0), sendo x=-c+R·cos(π-θ0) Sabendo que a equação da elipse é
onde a é o semi-eixo maior da elipse, b o semi-eixo menor, e c a semi-distância focal. A área da porção da elipse compreendida entre x e a es
Para integrar, fazemos a mudança de variável x=a·sen z. Os novos limites de integração são:
A área sombreada vale, por tanto
Caso particular:O ângulo de disparo é φ=90º. O momento angular L=0, por que a trajetória é uma linha reta que passa pelo centro de forças. O projétil sobe e desce caindo até a Terra ao longo da direção radial. A máxima altura que alcança, é calculada colocando v=0 na equação da energia e explicitando a incógnita r.
Não podemos calcular de forma simples o tempo que gasta o projétil para voltar a superfície da Terra já que a aceleração não é constante.
Exemplos1.-Disparamos um projétil de algum lugar da superfície da Terra com velocidade inicial v0= 7500 m/s ao longo da direção radial Os dados do problema são os seguintes:
A máxima distância ao centro da Terra que alcança o projétil é r=11.56·106 m=1.815 raios terrestres A altura máxima é h=r-R=5.20·106 m 2.-Disparamos um projétil de algum lugar da superfície da Terra com velocidade inicial v0= 7500 m/s na direção que faz φ=60º com o plano local A energia do projétil e o momento angular valem L=6.37·106·7500·cos60º=2.39 ·1010 m kgm2/s
Trajetória Conhecidos os valores da energia E e do momento angular L, calculamos o valor dos parâmetros geométricos da elipse: d e a excentricidade ε ε=0.867 Com estes dados calculamos o ângulo θ0.
O alcance do projétil é 2·R·(π-θ0)= 2·6.37·106·(π-2.68)=6.20·106 m Tempo de vôo Para calcular o tempo de vôo temos que calcular primeiro a área varrida pelo raio vetor desde a posição angular θ=θ0, a posição θ=π sombreada da elipse e multiplicá-la por dois Em primeiro lugar, necessitamos dos valores dos parâmetros da elipse:
a·senz1=-c-R·cosθ0 z1=6.73º=0.117 rad
Área=1.925·1013 O tempo de vôo é
AtividadesIntroduza
Clique no botão titulado Começar Observe a trajetória seguida pelo projétil. Na parte superior direita na simulação, são proporcionados os dados da distância ao centro da Terra medido em raios terrestres e o tempo em segundos. |
Trajetória de um
projétil (I)
