Dinâmica celeste |
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana
Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:
Autor: (C) Ángel Franco García
Leis de Kepler O descobrimento da lei da gravitação Força central e conservativa Equação da trajetória Solução numérica das equações Órbita de transferência Encontros espaciais Trajetória espiral Encontro de uma sonda espacial com Júpiter Órbitas de mesma energia Trajetória de um projétil (I)
Movimento relativo Queda de um satélite em órbita até a Terra. Os anéis de um planeta Movimento sob uma força central e uma perturbação O problema de Euler Viagem a Lua |
Equação da trajetória | |||||||||||||
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No capítulo de Cinemática estudamos o movimento dos projéteis que descrevem trajetórias parabólicas no plano horizontal local, supondo que a aceleração da gravidade é constante. Na página titulada “O descobrimento da Lei da Gravitação Universal”, observamos que um projétil disparado de uma certa altura descreve uma trajetória elíptica em um dos focos está o centro da Terra. As trajetórias parabólicas são aproximações de trajetórias elípticas, quando o alcance e a altura máxima do projétil são muito pequenos em comparação com o raio da Terra. Supomos também que a Terra não gira sobre seu eixo. O efeito da rotação da Terra será descrito na página titulada “Desvio para o leste de um corpo que cai”. Nesta página, vamos determinar a trajetória que segue o projétil que é disparado de uma altura h, com velocidade inicial v0 fazendo um ângulo φ com a direção radial. Ao longo desta página, necessitaremos dos seguintes dados:
Equação da trajetória
Se a energia do projétil é negativa E<0 sua trajetória é uma elipse, sua excentricidade ε<1. Conhecido d e ε, é calculado o semi-eixo maior a, que é a média aritmética dos raios mínimo (θ=0) e máximo (θ=π) da elipse.
A semi-distância focal, c=ε·a O semi-eixo menor b da elipse
Velocidade do projétil no ponto de impactoComo a energia é constante em todos os pontos da trajetória, a velocidade v com a qual impacta o projétil na superfície da Terra é independente da massa m do projétil e do ângulo de disparo, é obtida colocando r=R (raio da Terra) na equação da energia, e explicitando a incógnita v
Tempo de vôoPara calcular o tempo de vôo, vamos utilizar o mesmo procedimento que empregamos para deduzir a fórmula do período de um planeta, a partir da lei das áreas. O momento angular em coordenadas polares é escrito
Integrando
O primeiro membro, é a área varrida pelo raio vetor quando se move da posição angular θ, a posição θ=π. Explicitando t obtemos.
Vamos agora estudar os distintos casos que podem ocorrer
O ângulo de disparo é φ=0º.
A máxima altura que alcança, é calculada colocando v=0 na equação da energia e explicitando a incógnita r.
Não podemos calcular de forma simples o tempo que gasta o projétil para impactar sobre a superfície da Terra já que a aceleração não é constante. Exemplo Lançamos um projétil da altura h=6000 km com velocidade inicial v0= 4500 m/s na direção radial r0=6.0·106+6.37·106 m
O ângulo de disparo é φ=180º.
Exemplo Lançamos um projétil da posição r0=6.0·106+6.37·106 m com velocidade inicial v0= 4500 m/s na direção radial e sentido para o centro da Terra
O ângulo de disparo é φ=90º.Alcance máximo
O alcance máximo é produzido quando o perigeu é R, e o apogeu é r0=h+R. Como o momento angular e a energia são constantes em todos os pontos da trajetória e em particular, no perigeu e no apogeu, temos que
Os dados são r0 e R e as incógnitas v e v0. A velocidade de disparo é
Exemplo: Seja h=6000 km ou então, a distância ao longo da direção radial é r0=12.37·106 m Calculamos a velocidade de disparo, v0=4681.969 m/s O semi-eixo maior da elipse é a=(R+r0)/2=14.37·106 m O tempo de vôo é a metade do período
t=P/2=4512 s Posição do ponto de impacto
Como vemos na figura, o projétil sai da posição θ=π, e impacta na posição θ=π-α quando r=R. Colocando r=R na equação da trajetória, explicitamos o ângulo θ.
Exemplo: Continuando com os mesmos dados dos casos anteriores:
Obtemos os valores do momento angular e da energia do projétil L=5.57·1010 m kgm2/s Conhecida a energia e o momento angular, é determinada a equação da trajetória, o valor do parâmetro d e a excentricidade ε ε=0.372 Com estes dados, colocando r=6.37·106 m na equação da trajetória obtemos o ângulo θ=0.934 rad. A distância angular entre o ponto de impacto e a posição de disparo é α=π-0.934=2.20 rad Denomina-se alcance ao comprimento do arco s de circunferência da Terra que corresponde a esta distância angular, s=R·α=14.03·106 m Tempo de vôo
A área sombreada é a área varrida pelo raio vetor entre as posições angulares θ e π. Em outras palavras, é a porção da elipse compreendida entre x e a menos a área do triângulo de base R·cosθ e altura R·senθ, sendo x=-c-R·cosθ Sabendo que a equação da elipse é
onde a é o semi-eixo maior da elipse, b o semi-eixo menor, e c a semi-distância focal. A área da porção de elipse compreendida entre x e a é
Para integrar, fazemos a mudança de variável x=a·sen z. Os novos limites de integração são:
A área sombreada vale, por tanto
Para calcular a área necessitamos dos seguintes dados
Continuando, obtemos z1 que é a função do ângulo θ=0.934 rad da posição de impacto. Depois de fazer algumas operações com a calculadora obtemos o valor da área varrida pelo raio vetor A=1.022·1014. Finalmente, o tempo de vôo t é
O ângulo de disparo é φ<90ºTrajetória
Continuando com os dados dos casos anteriores
A energia do projétil não muda, porém varia o momento angular L=2.78·1010 m kgm2/s Conhecida a energia e o momento angular são determinados a equação da trajetória, o valor do parâmetro d e a excentricidade ε ε=0.886 Com estes dados calculamos o ângulo girado pelo eixo maior da elipse β=2.83 rad. Posição do ponto de impacto
Como vemos na figura, calculamos o ângulo de impacto colocando na equação da elipse r=R, o que nos da o ângulo θ mostrado na figura, do mesmo modo que no caso anterior
Relacionamos os ângulos θ, α e β. para calcular a distância angular α entre o ponto de impacto e a posição de disparo. α=2π-θ-β Exemplo: com os dados anteriores θ=2.47, e β=2.83 rad, a distância angular α=0.981 rad (56.2º) Tempo de vôo
O tempo de vôo é proporcional a soma das áreas sombreadas da elipse As áreas são calculadas como no caso anterior. Em primeiro lugar, necessitamos dos valores dos parâmetros da elipse:
Calculamos a área da porção da elipse acima do eixo maior, que é a área varrida pelo raio vetor desde a posição angular θ=2.47 hasta θ=π. Necessitamos conhecer previamente, z1, que é por sua vez função do ângulo θ da posição de impacto. -R·cosθ-c=a·sen z1
O resultado é A1=5.1786·1013 Calculamos a área abaixo do eixo maior varrida pelo raio vetor desde a posição angular β=2.83 rad até β =π. Necessitamos conhecer previamente, z1, que é por sua vez função do ângulo β=2.83 rad que substitui o ângulo θ na fórmula da área e r0 substitui a R -r0·cosβ-c=a·sen z1
O resultado é A2=3.6620·1013 O tempo de vôo é
O ângulo de disparo é φ>90º.Trajetória
Como vemos na figura, a trajetória que segue o projétil é uma elipse, porém que está girada de um ângulo β. Este ângulo é calculado colocando r=r0 na equação da trajetória
Com estes dados calculamos o ângulo β=2.83 rad (cor vermelha) que gira o eixo maior da elipse que é a solução que tomamos no caso anterior, porém também é solução o ângulo β=2π-2.83=3.45 rad.(cor azul) Posição do ponto de impacto
No tópico anterior, calculamos o ângulo de impacto colocando na equação da elipse r=R, o que nos dava o ângulo θ=2.47 rad
Relacionamos os ângulos θ, α y β. para calcular o ângulo de impacto α. α+θ+β-π =π ou então, α=2π-β-θ=0.36 rad (20.4º) que é a mesma relação que obtivemos no caso anterior. Tempo de vôo
Estas duas áreas coincidem com as áreas A1 e A2 calculadas no caso anterior O tempo de vôo é
AtividadesIntroduza
Clique no botão titulado Começar São excluídos os ângulos 0, e 180º já que sua análise é mais simples e dão lugar, a erros na rotina principal de cálculo. Observe o movimento do projétil, e são proporcionados os dados da distância angular entre o ponto de impacto sobre a superfície da Terra e o lugar do lançamento, assim como o tempo de vôo gasto pelo projétil. Se a velocidade é grande, pode ocorrer que o projétil seja colocado em órbita ao redor da Terra. Como exercícios é sugerido,
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Trajetória de um
projétil (II)
