Dinâmica celeste

Força inversamente proporcional ao quadrado da distância

Quando atua além uma perturbação

Períodos

Atividades

Referências

Nesta página, estudaremos o problema do movimento sob uma força central e conservativa inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro de forças, e uma perturbação que corresponde a uma força inversamente proporcional ao cubo da distância. Vamos obter explicitamente a equação da trajetória em coordenadas polares, e as representaremos para todos os casos possíveis: força atrativa ou repulsiva combinada com uma perturbação atrativa ou repulsiva. Consideraremos também o caso em que a perturbação é nula.

Força central e conservativa

Quando um móvel está submetido a uma força central e conservativa, é mantido constante o momento angular e a energia total da partícula.

Para obter a equação explícita da trajetória, expressaremos as distintas grandezas em coordenadas polares. Suponhamos que a partícula se move em uma região cuja energia potencial V(r) somente depende da distância r ao centro de forças.

Em coordenadas polares a energia total é escrita

O momento angular é escrito

Introduzindo a segunda equação na primeira, obtemos

Dizemos que a partícula se move em uma região unidimensional r>0 sob um potencial efetivo

Se a força é repulsiva a energia total somente pode ser positiva. Suponhamos que a energia da partícula vale E>0.

Na representação da energia potencial efetiva, traçamos uma reta horizontal de ordenada E. Seja r0 a abscissa que corresponde ao ponto de intersecção da reta horizontal e a curva de energia potencial. Tendo em conta que a região na qual pode mover-se uma partícula é aquela em que sua energia cinética é positiva ou nula, o movimento da partícula se estenderá desde r0 até o infinito.

Uma partícula procedente do infinito se aproximará do centro de forças até uma distância r₀ e regressará de novo ao infinito.

Se a força é atrativa a energia da partícula pode ser positiva ou negativa. O valor da energia total não pode ser menor que o mínimo da energia potencial efetiva.

Se a energia da partícula é positiva seu movimento não está limitado, do mesmo modo que para o caso de forças repulsivas uma partícula procedente do infinito pode se aproximar até uma distância r₀ do centro de forças para distanciar-se posteriormente deste centro.

O caso mais interessante é produzido quando a energia da partícula é negativa, tal como é mostrada na figura. O movimento desta partícula está limitado a uma região radial compreendida entre r1 e r2, que são as abscissas dos pontos de intersecção da reta horizontal e a curva de energia potencial, o primeiro corresponde ao periélio (ou perigeu) a distância de máxima aproximação da partícula ao centro de forças, o segundo ao afélio (ou apogeu) distância de máximo distanciamento do móvel ao centro de forças.

As equações (1) e (2) de constância do momento angular e da energia constituem um par de equações diferenciais em que podemos eliminar o tempo t, para obter a equação da trajetória r=r(q) integrado a equação diferencial

Força inversamente proporcional ao quadrado da distância

Se a força que atua sobre a partícula é central e conservativa inversamente proporcional ao quadrado da distância r ao centro de forças,

o resultado da integração de (3) é a equação de uma cônica.

Os parâmetros d e e estão relacionados com a energia e o momento angular do seguinte modo

Para uma força atrativa (a<0) o tipo de cônica é determinado pelo valor e sinal da energia.

Excentricidade	Energia	Trajetória
e>0	E>0	hipérbole
e=0	E=0	parábola
e<0	E<0	elipse

Para uma força repulsiva (a>0) a energia total E é sempre positiva por que somente são possíveis trajetórias hiperbólicas.

Quando atua além disso uma perturbação

Consideremos agora que sobre a partícula atua além disso uma perturbação inversamente proporcional ao cubo da distância ao centro de forças.

onde (b>0) se refere a uma perturbação repulsiva e (b<0) se refere a uma perturbação atrativa. O potencial efetivo será escrito agora

Se L²+2mb>0 a representação do potencial efetivo é similar a das figuras que foram vistas anteriormente.

A equação da trajetória é obtida integrando a equação diferencial (3), cuja solução é

Os valores dos parâmetros d, e e k são os seguintes

Períodos

Fixándo-nos mais especificamente na figura, denominaremos período radial P_r ao tempo que gasta o móvel para dar duas passagens consecutivas pelo periélio ou pelo afélio, e o período orbital P_q ao tempo necessário para que o móvel dê uma volta completa. A relação entre ambos períodos é a seguinte

Outro conceito interessante, é a velocidade de precessão W do afélio (periélio), que se define como o quociente entre a distância angular Dq entre duas passagens consecutivas pelo afélio (periélio) e o tempo que gasta ou período radial P_r. A distância angular é o intervalo para o qual kq  é incrementada em 2p logo, Dq=2p/k. A velocidade de precessão é

Calculemos agora o período radial P_r em função dos parâmetros da trajetória. Da equação da constância do momento angular (1)

A equação da trajetória nos relaciona r e o ângulo q. Integrando o segundo membro

que nos da a relação entre o período radial P_r e os parâmetros da trajetória d e e

O periodo orbital e radial coincidem para um movimento não perturbado (b=0) e por tanto, k=1. Neste caso, o quadrado do período é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da elipse (terceira lei de Kepler).

Atividades

No painel esquerdo na simulação, estão situados dois conjuntos de botões de raio correspondentes ao grupo titulado Força, e al grupo titulado Perturbação, para poder ensaiar todas as combinações possíveis: uma força atrativa ou repulsiva combinada com uma perturbação atrativa, repulsiva ou nula.

No controle de edição titulado Excentricidade será introduzido um número decimal, maior que a unidade se a força é repulsiva, e maior que zero e menor que um, se a força é atrativa.

Com o controle de edição titulado Perturbação temos que ter mais cuidado, já que nos é exigido introduzir um número decimal ou uma fração irredutível dependendo do caso. A etiqueta deste controle muda segundo a seleção efetuada nos dois grupos de botões de raio.

Clicando no botão titulado Gráfico é representada a trajetória.

Proporcionamos exemplos de cada um dos casos que podem ser produzidos

1. Força repulsiva (a>0), a energia E é positiva e o parâmetro e>1. Exemplo e=2

• Perturbação repulsiva (b>0) por que (k>1). A trajetória é aberta. Exemplo k=1.1

• Perturbação atrativa (b<0), por que (0<k<1). A partícula se move para a origem em uma trajetória em forma de espiral, para retornar de novo ao infinito fazendo outra espiral. Exemplo k=0.05

2. Força atrativa (a<0), a energia E pode ser positiva, negativa ou nula.

• Se a energia E é positiva (E>0) o parâmetro e>1, a trajetória é aberta, e os casos são análogos ao de uma força repulsiva. Exemplo e=2

Se a perturbação é repulsiva, (b<0), são possíveis várias trajetórias que podem incidir sobre a origem, o numerador m do número racional que expressa k=m/n indica o número de tais trajetórias. Exemplo k=4/1

Se a perturbação é atrativa, (b<0), é obtida trajetórias similares a da força repulsiva, a partícula se move para a origem em forma de espiral. Aqui pode ser introduzido um número decimal ou uma fração no controle de edição titulado Perturbação  Exemplo k=0.2, k=1/2.

• Se a energia total E é negativa (E<0) então o parâmetro e<1, a trajetória está limitada e são apresentados os casos mais interessantes. Exemplo e=0.5

Quando k é expresso como um número racional k=m/n o numerador m indica a simetria e o denominador n o número de voltas que o raio vetor da ao redor do origem. A órbita é fechada sempre que k seja um número racional. Exemplos k=6/1, k=7/6, k=1/3. Será introduzido sempre uma fração no controle de edição titulado Perturbação.