Dinâmica celeste

Período do pêndulo

Atividades

Referências

No estudo de um pêndulo, supomos que a aceleração da gravidade é constante tanto em módulo como em direção. Nesta página, estudamos o movimento de um hipotético pêndulo de comprimento comparável com o raio da Terra, de modo que podemos apreciar o efeito de sua esfericidade (direção radial da aceleração da gravidade) e a variação da aceleração da gravidade com a altitude.

Equação do movimento

Seja um pêndulo simples de comprimento l, de cujo extremo pende uma massa pontual m. Suponha que se move no vácuo e que está suspenso por um suporte rígido por uma corda inextensível e de peso desprezível.

Quando o pêndulo forma um ângulo θ com a direção radial, a força de atração entre a Terra e a massa pontual m é

A componente F_t desta força F ao longo da direção tangencial é

Aplicamos o teorema do seno ao triângulo da figura

para expressar a componente F_t em função do ângulo θ

A segunda lei de Newton, afirma que a componente tangencial da força é igual a massa pela aceleração tangencial, a_t=l·d²θ/dt².

com  β=l/R y g=GM/R², aceleração da gravidade na superfície da Terra

Resolvemos esta equação diferencial de segunda ordem por procedimento numéricos com as seguintes condições iniciais, no instante t=0, θ=θ₀, dθ/dt=0.

Período do pêndulo

A força de atração entre a Terra e a massa pontual m é conservativa, a energia total permanece constante

Igualamos a energia no instante t=0, quando o pêndulo é desviado da posição de equilíbrio estável um ângulo θ₀, a energia no instante t, quando a posição angular do pêndulo é θ, e sua velocidade angular dθ/dt.

Explicitamos a velocidade angular dθ/dt.

Quando o pêndulo alcança o desvio máximo q =q₀ partindo da posição de equilíbrio q =0, foi gasto um tempo igual a um quarto de período. O período é

onde γ=4β(1+β)

Se θ₀/2 é pequeno, podemos fazer a seguinte aproximação (1+x)^-1/2≈1-x/2

O período P é aproximadamente

Esta integral elíptica apareceu ao calcular o período de um pêndulo. Substituindo

Quando o pêndulo alcança o desvio máximo q=q₀, a variável j=p/2

onde P₀ é o período de um pêndulo simples de comprimento l.

As integrais elípticas estão tabuladas, veja Puig Adam, Cálculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972,  pág 97.

Se compararmos esta fórmula com a do período de um pêndulo para qualquer amplitude, observamos que o efeito da esfericidade da Terra é o de reduzir o período proporcionalmente ao fator raiz quadrada de 1/(1+β).

Exemplo: Seja β=l/R=0.5, o desvio inicial do pêndulo q₀=10º

• O comprimento do pêndulo é l=3.185·10⁶ m,

• A aceleração da gravidade na superfície da Terra é g=9.83m/s²

• O período do pêndulo simples, supondo que a aceleração da gravidade é constante em módulo e direção

O programa interativo da página titulada "O pêndulo", nos proporciona o valor do período do pêndulo P/P₀ para a amplitude q₀=10º e vale 1.0019. Como o efeito da esfericidade da Terra é a de reduzir o  período deste pêndulo proporcionalmente ao fator raiz quadrada de 1/(1+β). O período do pêndulo é

A resolução da equação diferencial por procedimentos numéricos nos proporciona o valor P=49.33 min

Atividades

Introduza

• O parâmetro β=l/R, quociente entre o comprimento do pêndulo e o raio da Terra R=6.37·106 m, atuando na barra de deslocamento titulada Comprimento/r. Terra

• O ângulo θ₀, desvio inicial do pêndulo relativo a linha que une o centro da Terra e o ponto de suspensão do pêndulo, atuando na barra de deslocamento titulada Ângulo

Clique no botão titulado Começar.

Observe o movimento do pêndulo. Uma flecha indica a grandeza e direção da componente tangencial da força de atração entre a Terra e a massa pontual.

Na parte superior na simulação, são proporcionados os dados:

• O tempo t em minutos.

• O ângulo θ que forma o pêndulo com a linha que une o centro da Terra e o ponto de suspensão do pêndulo.

• A velocidade da massa pontual l·dθ/dt.