Dinâmica celeste

Choque de um meteorito com a Terra em órbita circular ao redor do Sol

Atividades

Referências

Há 65 milhões de anos a Terra mudou de forma repentinamente, muitas espécies desapareceram, plantas, animais terrestres e marinhos e sobre tudo, os grandes dinossauros. Sem engano, os pequenos mamíferos sobreviveram. A possível causa de tal desastre seria o choque de um grande meteorito na península de Yucatán (México) cujas características foi estimada em:

• diâmetro de 10 a 14 km,

•  densidade de 1300-3400 kg/m³

• velocidade de 20-25 km/s

A Terra descreve uma órbita quase circular de excentricidade ε=0.0167. Os cálculos demonstram que um impacto desta magnitude não é suficiente para alterar a excentricidade da órbita da Terra. Nesta página, é descrita uma hipotética situação de choque entre um meteorito e a Terra.

Choque de um meteorito com a Terra imóvel

Primeiro, vamos resolver um problema simples que encontrado habitualmente em um curso de Física Geral:

Suponhamos a Terra de massa M e raio R imóvel no espaço, um meteorito de massa m<<M se move na direção radial para o centro da Terra com velocidade v₀ quando está a uma distância r₀>R. Determinar

• A velocidade v do meteorito justamente antes do impacto.

• A velocidade V do conjunto depois do choque inelástico entre a Terra e o meteorito.

Para resolver o problema vamos supor que a massa m do meteorito é pequena comparada com a massa M da Terra, logo, a força de atração do meteorito sobre a Terra não causa um movimento apreciável desta.

A força de atração é conservativa, por que a energia total do meteorito permanece constante.

Os dados são v₀ e r₀ e a incógnita é a velocidade v do meteorito justamente antes do choque com a Terra.

A Terra e o meteorito formam um sistema isolado, aplicando o princípio de conservação do momento linear,

m·v=(m+M)V

obtemos a velocidade do conjunto Terra-meteorito depois do choque, e a parte da energia cinética do meteorito que foi transformada em energia interna do conjunto.

Exemplo

Um meteorito de m=2·10⁷ kg de massa se dirige desde o espaço exterior para a Terra. Sua velocidade a uma distância de r₀=3.8·10⁷ m do centro da Terra é v₀=30 km/s. Calcular:

•  A velocidade com a qual atinge a superfície da Terra ( supomos que a Terra permanece imóvel antes do choque)

• A velocidade do conjunto Terra-meteorito depois do choque

• A energia cinética do meteorito transformada em energia interna do sistema.

Dados:

• Massa da Terra, M=5.98·10²⁴ kg

• Raio da Terra, R=6.37·10⁶ m

• Constante, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Resultados:

• A velocidade com que o meteorito atinge a superfície da Terra, v=31689.7 m/s, e sua energia cinética é E_k=1.0·10¹⁶ J

• Velocidade do conjunto depois do choque, V=1.06·10^-13 m/s

• Energia cinética transformada em energia interna é Q=1.0·10¹⁶ J.

Praticamente, toda a energia cinética do meteorito se transforma em energia interna, o centro de massas da Terra apenas se vê afetado pelo choque, sua velocidade não varia apreciavelmente.

Choque de um meteorito com a Terra em órbita circular ao redor do Sol

Órbita circular da Terra

Suponhamos que a Terra descreve um órbita circular de raio R=1.49·10¹¹ m ao redor do Sol. Aplicando a equação da dinâmica do movimento circular uniforme, obtemos a velocidade constante V_t da Terra em seu movimento de translação ao redor do Sol.

Os dados necessários são: O raio da órbita circular da Terra, R=1.49·1011 m. A massa do Sol Ms=1.98·1030 kg O resultado é Vt=29771.6 m/s

O período da Terra ou tempo gasto para dar uma volta completa é

Choque de um meteorito com a Terra.

Estabelecemos um sistema inercial de referência com origem no Sol, a Terra justamente antes do choque está situada no eixo X a uma distância R do Sol, e se move ao longo do eixo Y com velocidade V_t. O meteorito se move com velocidade V_m relativa ao Sol fazendo um ângulo α com o eixo X, tal como é indicado na figura. Aplicando o princípio de conservação do momento linear

mVm+MVt=(m+M)v   ou então, mVm·cosα=(m+M)vx mVm·senα+MVt=(m+M)vy

onde m é a massa do meteorito, M a massa da Terra, V_t a velocidade de translação da Terra ao redor do Sol, e v a velocidade do conjunto formado pela Terra e o meteorito depois do choque.

Calculamos o módulo da velocidade v e sua direção φ depois do choque.

onde γ=m/M quociente entre a massas do meteorito e da Terra

Trajetória do sistema formado pela Terra e o meteorito

Temos que calcular a trajetória seguida por uma partícula de massa (m+M) sob a força de atração do Sol, sabendo que no instante inicial está a uma distância R e atinge uma velocidade v que faz um ângulo φ com o eixo horizontal tal como é indicado na figura

Se trata de um problema similar ao tratado na página titulada  “Trajetória de um projétil disparado desde uma altura h acima da superfície terrestre”.

O momento angular e a energia da combinação meteorito-Terra depois do choque é, respectivamente

A equação da trajetória em coordenadas polares é

A equação da trajetória é independente da massa da partícula

Se a energia da partícula é negativa E<0 sua trajetória é uma elipse, e sua excentricidade ε<1.

Conhecido d e ε,  calculamos o semi-eixo maior a, que é a média aritmética dos raios mínimo (θ=0)  e máximo (θ=π) da elipse.

O período é dado pela fórmula

Como vemos na figura, a trajetória que segue a partícula é uma elipse, porém que está girada um ângulo β. Este ângulo é calculado colocando r=R na equação da trajetória e explicitando o ângulo θ

As partículas cujas direções iniciais formam com o eixo X ângulos φ e 180-φ tem a mesma energia e o mesmo momento angular, a trajetória é uma elipse com os mesmos valores do parâmetro d, e da excentricidade ε, porém sua orientação é distinta β, e 2π-β. As partículas cujas direções iniciais formam com ou eixo X ângulos φ e π+φ descrevem a mesma trajetória porém em sentidos opostos.

Os meteoritos cujas velocidades formam ângulos de 0º ou de 180º com o eixo X, ao chocar com a Terra produzem trajetórias que tem a mesma excentricidade e o mesmo período porém que tem uma orientação distinta, já que as velocidades finais do conjunto formado pela Terra e o meteorito depois do choque formam ângulos suplementares.

As mudanças mais dramáticas são produzidas em um choque frontal entre o meteorito e a Terra, logo, quando a direção da velocidade do meteorito forma 270º com o eixo X.

Como exercício numérico vamos estudar, dois exemplos, um choque frontal e um choque oblíquo.

Choque frontal

• Seja γ=m/M=0.1 o quociente entre a massa do meteorito e a massa da Terra

• Velocidade do meteorito V_m=30000 m/s

• O ângulo que forma a direção da velocidade do meteorito com o eixo X, α=270º

Encontramos as equações do choque inelástico ao longo do eixo Y

-γV_m +V_t=(γ+1)v

Conhecida a velocidade V_t da Terra antes do choque, explicitamos a velocidade final do conjunto depois do choque v=24337.8 m/s ao longo do eixo Y, φ=90º.

Calculamos o momento angular e a energia em função da massa m+M, já que a equação da órbita é independente da massa da partícula. Precisamos do dado da massa do Sol, M_s=1.98·10³⁰ kg, e do raio da órbita da Terra R=1.49·10¹¹ m

E=-590.2·10⁶ (m+M) J
L=3.63·10¹⁵ (m+M) kgm²/s

Com estes dados calculamos a excentricidade da órbita ε e o parâmetro d

d=0.996·10¹¹ m
ε=0.332

O semi-eixo maior da elipse é a=1.19·10¹¹ m e o período P=236.83 dias

Choque oblíquo

Mudamos o ângulo para α=60º e encontramos as equações de conservação do momento linear ao longo do eixo X e ao longo do eixo Y.

γVm·cosα=(γ+1)vx γVm·senα+Vt=(γ+1)vy

Conhecida a velocidade V_t da Terra antes do choque, explicitamos a velocidade final do conjunto depois do choque v=29458.6 m/s e sua direção, φ=87.3º.

Calculamos o momento angular e a energia

E=-452.4·10⁶ (m+M) J
L=4.38·10¹⁵ (m+M) kgm²/s

Com estes dados calculamos a excentricidade da órbita ε e o parâmetro d

d=1.456·10¹¹ m
ε=0.051

A trajetória é uma elipse cujo eixo maior está girada um ângulo β=117º

O semi-eixo maior da elipse é a=1.459·10¹¹ m e o período P=352.83 dias

Variação da excentricidade com o ângulo α

Na figura, é mostrado o comportamento complexo da excentricidade ε em função do ângulo α que forma a direção da velocidade V_m do meteorito com o eixo X para duas velocidades distintas do meteorito 30 km/s (em vermelho) e 90 km/s (em azul). A excentricidade tem um valor máximo para α=270º que é o choque frontal.

Observamos um valor mínimo (curva de cor vermelha) para α=90º que é um choque em que a Terra e o meteorito tem a mesma direção e sentido.

Para velocidades grandes do meteorito, (curva azul) tem mínimos para certos ângulos cujo valor é obtido no artigo citado nas referências.

Atividades

Introduza

• O quociente γ=m/M entre a massa do meteorito e a massa da Terra (5.98·10²⁴ kg), no controle de edição titulado Quociente massas.

• A velocidade do meteorito V_m em km/s no controle de edição titulado Velocidade

• O ângulo α que forma a direção da velocidade do meteorito com o eixo X, atuando sobre o dedo da barra de deslocamento titulada Ângulo

Clique no botão titulado Começar

Se como conseqüência do choque, a energia da partícula resultante é positiva ou nula, o programa não prossegue e solicita ao usuário que diminua a velocidade do meteorito.

Observamos o movimento retilíneo do meteorito e circular da Terra antes do choque, que é produzido no eixo horizontal X a uma distância R=1.49·10¹¹ m do Sol. Observamos a trajetória do conjunto formado pela Terra e o meteorito depois do choque.

O programa interativo proporciona os dados da excentricidade e do período da nova órbita.

Como exercício é sugerido manter a relação de massas γ, e a velocidade V_m do meteorito, observando como varia a excentricidade e o período da órbita ao mudar a direção α da velocidade do meteorito, completando uma tabela na qual a primeira coluna é formada pelos ângulos tomados de 10 em 10º, e a segunda a excentricidade e a terceira o período.