Dinâmica celeste

A origem das forças de marés

Componentes da força de marés.

Elevação da camada de água

Marés produzidas pelo Sol e a Lua

Oscilações forçadas

Atividades

Referências

Nesta página, é explicada a origem das marés. Veremos que os fundamentos físicos são simples porém a análise quantitativa é bastante complexa.

Nesta página, não são explicados os efeitos dinâmicos que sobre o oceano tem uma força que varia com o tempo. Somente, são explicados a origem e as propriedades das forças de marés.

O problema que vamos resolver, é o de encontrar a forma que adota a superfície livre de uma camada de água que cobre toda a Terra, quando consideramos as forças de atração que exerce o Sol e a Lua

A origem das forças de marés

A origem das forças de marés se deve a que a Terra é um corpo extenso e o campo gravitacional produzido pela Lua ou pelo Sol não é homogêneo em todos seus pontos, já que tem uns pontos que estão mais próximos e outros mais distantes destes corpos celestes.

Suponhamos que a Terra é um corpo rígido de forma esférica de raio R, que está coberta por uma camada de água de espessura uniforme e de pequena profundidade. O corpo perturbador, a Lua ou Sol supomos que está no plano equatorial da Terra

Embora o Sol e a Lua se movam, consideramos que a água está em todo momento em equilíbrio, a velocidade e a aceleração de qualquer elemento de líquido relativo a Terra supomos desprezível.

Suponhamos inicialmente, que o corpo perturbador é a Lua, as mesmas fórmulas serão aplicáveis para o Sol. Finalmente, analisaremos o efeito combinado da Lua e do Sol.

Consideremos a Terra e a Lua imóveis no espaço estando seus centros separados de uma distância r. A força de marés, em uma determinada posição P da superfície da Terra, é igual a diferença entre a força de atração que a Lua exerce sobre um objeto situado nesta posição, e a força de atração que exerceria sobre tal objeto se estivesse no centro da Terra.

Desenhamos as forças de atração que exerce a Lua (em cor vermelha) sobre um objeto de massa m situado nos pontos A, B e C, e a força que exerceria  (em cor azul) sobre este objeto se estivesse situado no centro T da Terra. A direita, são desenhadas as forças de marés (diferença entre os vetores vermelho e azul) nos pontos A, B e C.

No centro da Terra T, a força de atração está dirigida para o centro da Lua

• Em A, a força de atração que exerce a Lua  sobre um objeto de massa m é

e a força de marés f_A neste ponto é

Fazendo a aproximação R<<r, o raio da Terra R=6.37·10⁶ m é muito menor que a distância entre o centro da Terra e o centro da Lua r=384.4·10⁶ m

• Em B, a força de marés f_B é

• Em C, a força de atração é

Tendo em conta que o ângulo φ é muito pequeno, tan φ=R/r, com R=6.37·10⁶ m, e r=384.4·10⁶ m, φ=0.017 rad. Por que cos φ≈1, e sen φ≈tan φ=R/r

As forças de marés nas posições A e B, na linha que une a Lua e a Terra são aproximadamente o dobro em módulo, que na posição C, perpendicular a esta linha.

• Em P, a força de marés é.

A força que exerce a Lua sobre um objeto de massa m situado no ponto P distante r_P do centro da Lua será

e está dirigida segundo á linha que une o ponto P com o centro da Lua

A força de maré em P é a diferença entre os vetores f_P=F_P-F_T. Seja

rP o vetor com origem no centro da Lua e extremo em P r é o vetor com origem na Lua e extremo no centro da Terra R o vetor com origem na Terra e extremo no ponto P rP =r+R

• Para θ=0,  os vetores r e R tem a mesma direção e sentido, obtemos f_B (veja a primeira figura)

• Para θ=π/2 os vetores r y R são perpendiculares, ou o produto escalar é zero, obtemos f_C

• Para θ=π, os vetores r e R tem a mesma direção e porém sentido oposto, obtemos f_A.

Como apreciamos na figura, somente temos que calcular as forças de marés na metade da Terra acima do eixo que une o centro da Terra e o centro da Lua. Os pontos da Terra simétricos, abaixo deste eixo, tem forças de marés iguais e de sentido contrário.

Componentes da força de marés.

Para calcular a componente radial da força de maré, fazemos o produto escalar f_P·R=f_R·R, onde f_R é a componente radial da força de maré

A componente tangencial f_t é calculada mediante o módulo do produto vetorial |f_PxR|=f_t·R

• A componente tangencial é zero, para θ=0, ponto B, θ=90º ponto C, θ=180º ponto A.

• A componente radial é máxima, para θ=0, ponto B, θ=180º ponto A. É mínima, para θ=90º, ponto C.

Dados

• Massa da Lua M=7.35·10²² kg

• Distância média entre o centro da Terra e o centro da Lua r=384.4·10⁶ m

• Massa do Sol M=1.98·10³⁰ kg

• Distância média entre o centro da Terra e o centro da Lua r=149.6·10⁹ m

• Raio da Terra R=6.37·10⁶ m

• Constante G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

A força de atração que exerce Terra sobre um objeto de massa m situado em sua superfície é

O Sol está muito distante da Terra, porém tem uma massa enorme. A Lua está próxima a Terra porém sua massa é relativamente pequena. A força de atração que exerce o Sol sobre o c.m. da Terra é maior que a força que exerce a Lua sobre o c.m. da Terra.

O quociente é F_S/F_L=1.78

Estimados o valor máximo das forças de marés em A ou B (θ=0), veja a primeira figura

• Devidas a Lua

• Devidas ao Sol

O quociente entre estas duas forças é f_L/f_S=2.195

Estes números nos indicam que, as forças de marés são muito pequenas comparadas com a força de atração da Terra 9.83·m sobre um objeto de massa m situado em sua superfície, porém seus efeitos são notáveis.

A força de atração do Sol sobre o c.m. da Terra é maior que a força de atração da Lua, a pesar de que esta está muito próxima a Terra. Sem engano, a força de marés produzida pelo Sol é menor que a produzida pela Lua.

Elevação da camada de água

O passo seguinte, cuja demonstração é omitida, por razões de dificuldade matemática, porém pode ser consultada no primeiro artígo citado nas referências, é o cálculo da energia potencial correspondente a força de marés f_P.

A forma S₀ da superfície devido a força de atração da Terra e a sua rotação é a de um esferóide de revolução ao redor do eixo polar.

A força centrípeta, devida a rotação da Terra ao redor de seu eixo, que é uma força independente do tempo, não acrescenta nada as forças de marés.

O efeito do corpo perturbador (Sol, Lua ou ambos) é o distorcer ligeiramente a superfície S0, para dar lugar a uma nova superfície S, onde S é uma superfície equipotencial perpendicular a resultante de todas as forças, incluídas as de marés, que atuam em P.

Tendo em conta, que o volume de água que cobre a Terra permanece constante, determinamos a elevação h do ponto P da superfície S₀ devida exclusivamente as forças de atração do corpo perturbador.

onde M é a massa do corpo perturbador, M_T=5.98·10²⁴ kg  é a massa da Terra, R seu raio, r a distância entre o centro da Terra e o centro do corpo perturbador.

Esta é a expressão que empregaremos nos programas interativos ao final desta página, onde foi suposto que o corpo perturbador está em repouso no plano equatorial da Terra a uma distância r de seu centro.

A máxima elevação corresponde ao ângulo θ=0º o θ=π, quando o corpo perturbador está na frente ou atrás, (pontos A e B da primeira figura) onde são máximas as forças de marés.

A mínima elevação corresponde ao ângulo θ=π/2, (ponto C da primeira figura). A máxima elevação é o dobro em valor absoluto, da mínima elevação. De modo que, a diferença entre altura máxima da maré baixa e a  maré alta é

Com os dados proporcionados no tópico anterior. Para as marés produzidas pela Lua

Para as marés produzidas pelo Sol

Rotação da Terra

Agora então, esta não é a situação real. A Terra se move relativo a seu eixo com um período de 24 h 22 min. O ângulo θ varia com o tempo da forma θ=ω·t, onde ω é a velocidade angular de rotação.

A elevação em função da latitude

Consideremos agora, a Terra de forma esférica, determinemos o ângulo θ em termos da latitude λ.

Suponhamos que no instante t=0, o ponto P sobre a superfície da Terra a uma latitude λ, e o corpo perturbador M estão no plano XZ. Ao cabo de um certo tempo t, devido a rotação da Terra, o ponto P será deslocado para a posição P’.

O ângulo θ, formado a reta que une o centro da Terra com o ponto P, e o centro da Terra com o centro do corpo perturbador ou então, pelo vetor R e o vetor r podemos calcular por meio do produto escalar.

r=ri
R=Rcosλ·cos(ωt)·i+ Rcosλ·sen(ωt)·j+Rsenλ·k 

O produto escalar vale

r·R=R·rcosθ=R·rcosλcos(ωt)

cosθ=cosλ·cos(ωt)

A elevação em função da latitude e o ângulo de declinação

Se o corpo perturbador não está no plano equatorial, e sim que forma um ângulo δ, de declinação com este plano.

O vetor r é escrito agora

r=rcosδ·i+rsenδ·k

O produto escalar vale 

r·R=R·rcosθ=R·rcosλ cos(ωt) cosδ+ Rrsenλ rsenδ

cosθ=cosλ cos(ωt) cosδ+senλ rsenδ

Finalmente, se P não parte do plano XZ (meridiano de Greenwich) e sim de um meridiano inicial φ. A fórmula é convertida em

cosθ=cosλ cos(ωt+φ) cosδ+senλ rsenδ

Introduzindo cosθ na expressão da elevação da água, e tendo em conta as identidades trigonométricas cos2β=2cos²β-1,sen²β+cos²β=1, sen2β =2senβcosβ, chegamos ao seguinte resultado.

• O primeiro somando, depende harmonicamente de ωt, e completa um período de oscilação quando ωt=2π, logo, quando a Terra da uma volta completa. Estas são as marés diurnas, lunares ou solares segundo que M e r sejam, respectivamente, os dados da massa da Lua e sua distância ao centro da Terra, ou os dados relativos ao Sol.

No equador estas marés desaparecem já que a latitude λ=0. Variando a latitude, se tornam grandes para latitudes de λ=45º.

• O segundo somando, depende harmonicamente de 2ωt, por tanto, cada 12 horas são produzidas um ciclo de maré. Sua amplitude é nula nos pólos λ=90º, e são máximas no equador λ=0º.
   

• O terceiro somando, não depende do tempo, e se anula para aquelas latitudes tais que sen²λ=1/3, λ≈35º, e tem seu máximo valor nos pólos. Finalmente, depende do ângulo de declinação δ que por sua vez depende do movimento da Lua e do Sol.

Marés produzidas pelo Sol e a Lua

Quando consideramos os efeitos combinado da Lua e do Sol, a elevação da maré é obtida somando as elevações devidas cada uma delas.

A máxima diferença de nível entre a maré baixa e alta é de 53.4+24.4=77.8 cm. Quando os dois corpos celestes estão em conjunção alinhados com a Terra é produzidas a máxima elevação, e quando estão em quadratura é produzida a mínima elevação.

Oscilações forçadas

A descrição das marés que foram feitas nos tópicos anteriores corresponde ao efeito da Lua e do Sol sobre uma camada de água de espessura uniforme que cobre a Terra por completo. A Terra está coberta de água em seus três quartos partes, e sua distribuição não é uniforme, tanto em profundidade como em extensão. Temos grandes oceanos, marés fechadas como o Mediterrâneo, lagos, bacias, etc. A diferença de nível entre a maré baixa e a alta muda de um lugar a outro, assim no mar Mediterrâneo é muito pequena, e em certas bacias como a de Fundy no Canadá é muito grande

Ressonância

temos observado, que um ponto da superfície líquida da Terra está submetido a uma fuerza oscilante, cujo período é de 12 horas aproximadamente, e cuja amplitude é variável. Uma bahía é uma cavidade com determinados modos de oscilação, que dependem de sua forma, extensão e profundidade de suas águas. Em certos lugares como Mont St Michel na Bretaña francesa ou a bahía de Fundy no Canadá podemos produzir situações de ressonância, com uma diferença de altura entre o fluxo e o refluxo que vai desde os 15 metros na localidade francesa a 20 m na bahía do Canadá.

Efeito sobre a rotação dos corpos

O efeito das marés é uma diminuição progressiva na velocidade de rotação da Terra. A duração do dia é aumentada em 3.5 milisegundos por cada ciclo.

Se consideramos que a Lua teve alguma vez em sua história remota uma parte fluída, os efeitos de marés provocados pela ação da Terra foram enormes. Podemos fazer um cálculo e mostrar que estes são 6000 vezes maiores que os que produzem a Lua na Terra. O efeito destas intensas marés explica o fato de que sempre vemos a mesma cara da Lua.

Vênus que está muito mais próximo do Sol, tem uma baixa velocidade de rotação, a duração de um dia venusiano é de 243.16 dias terrestres, o ano venusiano consta aproximadamente de dois dias solares.

Não podemos explicar certos movimentos de planetas e satélites sem recorrer ao mecanismo de fricção de marés.

Atividades

Sistema imóvel Terra - Lua ou Terra – Sol.

Na primeira simulação comparamos os "efeitos de marés" sobre a Terra produzidos separadamente pela Lua e pelo Sol. Supomos que a Lua e o Sol estão a uma distância fixa da Terra, em seu plano equatorial, e que esta não tem movimento de rotação.

• Clique no botão titulado Lua,
• Clique no botão titulado Novo

Clique na casinha titulada Forças, observe as componentes tangencial e radial das forças de marés que são exercidos em vários pontos da superfície terrestre.

• Clique no botão titulado Sol,
• Clique no botão titulado Novo

A superfície da água se desvia da forma esférica e este desvio como podemos apreciar, não está em escala.

Da representação gráfica sacamos as seguintes conclusões

1. Os valores máximos (positivos) aparecem na zona da superfície da Terra mais próxima a Lua (q =0º) e na zona mais próxima (q =180º). Nestas zonas os corpos pesam menos, a superfície da água se eleva.
2. Os valores mínimos (negativos) são produzidos nas zonas intermediárias (q =90º) e (q =270º), nestas zonas os corpos pesam mais, a superfície da água afunda.
3. sabendo que a interação gravitacional diminui com o quadrado da distância a pesar da enorme massa do Sol seus efeitos sobre o nível das águas é muito menor que o produzido pela Lua. O efeito do Sol é algo menos da metade que o produzido pela Lua.

A Terra gira ao redor de seu eixo, a Lua da voltas em torno da Terra.

Na segunda simulação, examinamos a altura da maré em um ponto situado no plano equatorial a medida que transcorre o tempo, em duas situações independentes:

1. A Lua e a Terra estão em posições fixas, porém a Terra descreve um movimento de rotação em torno de seu eixo, a razão de uma volta por dia.
2. A Terra gira sobre seu eixo, e a Lua descreve uma órbita circular ao redor da Terra com um período de 27.32 dias.

• Clique no botão de raio titulado Girar a Terra
• Clique no botão titulado Começar
   
• Clique no botão de raio titulado Mover os dois corpos
• Clique no botão titulado Começar

Supondo que a Lua estivesse fixa, devido a rotação da Terra, ao cabo de seis horas um ponto que estivesse em q =0º ou em q =180º (maré alta) passará a posição q =90º ou q =270º (maré baixa). Seis horas mais tarde será invertida a situação e assim sucessivamente. Por tanto, no ponto do plano equatorial da Terra são produzidas duas marés altas e duas marés baixa. O "efeito da maré" produzido pela Lua quando consideramos unicamente o movimento de rotação da Terra é a oscilação de um ponto da superfície líquida com um período P₀=24/2=12 horas.

Finalmente, consideramos o efeito conjunto de ambos movimentos. O "efeito de maré" produzido pela Lua em um ponto da superfície líquida quando consideramos o efeito simultâneo dos dois movimentos é uma mudança no intervalo de tempo entre duas marés altas ou duas marés baixas. Se o movimento da Lua e a rotação da Terra tem o mesmo sentido, O novo período será dado por

A velocidade angular da Terra é 1 volta a cada da, la da Lua é uma volta a cada 27.32 dias.

Efeito da Lua e do Sol

Na terceira simulação, examinamos o efeito em separado e conjunto da Lua e do Sol sobre as marés na Terra.

Ativamos o primeiro botão de raio titulado efeito da Lua e voltamos a examinar o efeito unicamente da Lua sobre as marés, que já foi descrito no tópico anterior.

Ativamos o segundo botão de raio, e observamos o efeito do Sol sobre as marés. Supomos que o centro da Terra descreve uma órbita circular ao redor do Sol com um período de 365 dias.

No primeiro tópico, vimos que o efeito do Sol era muito menor que o da Lua, a posição da Terra muda muito pouco durante um dia, por que as marés devidas ao Sol tem um período de praticamente 12 horas porém sua amplitude é algo menos da metade que as produzidas pela Lua. Depois de muitos dias, começa a ser apreciável a mudança da hora na qual se produz a maré alta ou a maré baixa devida exclusivamente ao movimento da Terra em órbita circular ao redor do Sol.

Ativando o botão de raio Efeito de ambos, observamos o efeito devido a Lua e ao Sol. Embora o efeito dominante é o da Lua, o comportamento é muito complexo. Porém cabem destacar dois riscos:

Quando a Lua e o Sol estão alinhados com a Terra o efeito da maré e muito intenso, esta situação se denomina "maré viva", que por sua vez corresponde a as fases lunares lua nova e lua cheia.

Quando a Lua e o Sol está em quadratura, logo, quando a linha que une o Sol com a Terra faz 90º com a linha que une a Terra e a Lua, os efeitos se contrapõe dando lugar as denominadas "marés mortas", que correspondem as fases lunares de quarto crescente e quarto minguante.

Foi apresentado um modelo simples, que permite explicar qualitativamente as marés. Porém a realidade é muito mais complexa. A Terra não é homogênea, não é uma esfera perfeita, e a rotação faz com que o valor da aceleração da gravidade e sua direção mudem ligeiramente com a latitude, sendo mínima no Equador e máxima nos pólos. As órbitas da Lua ao redor da Terra e da Terra ao redor do Sol não são circunferências e sim elipses de pequena excentricidade.

Nos mares pequenos como o Mediterrâneo o efeito das marés é relativamente pequeno. Sem engano, as marés são muito mais intensas nas costas dos grandes oceanos.

Nota: O tamanho da órbita da Lua ao redor da Terra está muito exagerado na simulação, já que a razão do raio r da órbita da Lua, ao raio médio R da órbita da Terra ao redor do Sol é, r/R=0.0026