Eclipses da Lua

Os eclipses da Lua são produzidos sempre que a Lua está na fase Cheia e sempre que o Sol, a Terra e a Lua estão em linha reta. Então a Lua se encontra na sombra produzida pela Terra tal como é mostrado na figura.

Tem outros tipos de eclipse lunares, que dependem do alinhamento dos três corpos celestes. A Lua pode encontrar-se em zona não iluminada (sombra) ou parcialmente iluminada (penumbra).

O eclipse Solar é produzido quando a Lua se interpõe entre o Sol e a Terra, a Lua está na fase Nova. A Lua é 400 vezes menor que o Sol porém a Lua está 400 vezes mais próxima da Terra, por tanto, o tamanho aparente de ambos corpos vistos da Terra é quase o mesmo. A Lua pode desta maneira, produzir um eclipse total do Sol, se é observado na zona de sombra projetada pela Lua sobre a Terra.

Atividades

Dados da Lua

1. Calcular o raio da órbita circular da Lua ao redor da Terra sabendo que o período é 27.32 dias. Calcular também a velocidade da Lua. Dados: G =6.67·10^-11 Nm²/kg²_.  a massa da Terra é M=5.98·10²⁴ kg.
    

2. Calcular a aceleração da gravidade g na superfície da Lua.
    

3. Calcular o quociente entre o diâmetro do Sol e o diâmetro da Lua. Calcular a relação entre a distância média entre o Sol e a Terra, e a Lua e a Terra. Dados: raio do Sol 6.96·10⁸ m, distância média Terra-Sol 1.49·10¹¹ m
    

4. Calcular a posição do centro de massa do sistema Terra-Lua, medido do centro da Terra.
    

5. Calcular a força de atração da Terra sobre a Lua, compará-la com a força de atração do Sol sobre a Lua. Dado: massa do Sol,1.98·10³⁰ kg.

Trajetória da Lua ao redor do Sol

Suponhamos que a Terra descreve uma órbita circular ao redor do Sol de raio R com velocidade angular constante Ω, e a Lua descreve uma órbita circular ao redor da Terra de raio r e com velocidade angular constante ω. Trataremos de determinar a trajetória seguida pela Lua relativo a um observador imaginariamente situado no Sol..

Como vemos na figura, a posição da Lua, situando o Sistema de Referência no Sol é. x(t)=R·cos(Ωt)+r·cos(ωt) y(t)= R·sen(Ωt)+r·sen(ωt)

As componentes da velocidade são

v_x=-RΩ·sen(Ωt)-rω·sen(ωt)
v_y=RΩ·cos(Ωt)+rω·cos(ωt)

As componentes da aceleração são

a_x=-RΩ²·cos(Ωt)-rω²·cos(ωt)
a_y=-RΩ²·sen(Ωt)-rω²·sen(ωt)

Como vimos no estudo do movimento curvilíneo, a componente normal da aceleração é.

A aceleração normal está dirigida para o centro de curvatura.

O denominador é positivo, já que é o módulo da velocidade v. O numerador é positivo para qualquer valor de t se é satisfeito que

R²Ω³+r²ω³>rRΩω(Ω+ω)

ou então se

Resolvendo esta inequação simples encontramos que a desigualdade é satisfeita (em cor vermelha na figura) para x>a y para x<a2

• A aceleração normal não muda de sinal para qualquer valor de t, para

• Para são produzidas mudanças de sinal no numerador e por tanto, na aceleração normal, a_n. A trajetória apresenta laços.

• Quando  o numerador e o denominador se anulam toda vez em determinados instantes t, como podemos facilmente adivinhar na expressão da aceleração normal. A trajetória apresenta cúspides onde a curvatura não está definida.

Os dados do sistema Sol-Tierra-Lua são

• A velocidade angular da Terra ao redor do Sol é Ω=2π/365 dias^-1 e

• A velocidade angular da Lua ao redor da Terra é ω=2π/27.3 dias^-1

• O raio da órbita da Terra é R=1.496·10⁸ km

• O raio da órbita da Lua é r=3.84·10⁵ km

Com estes dados r/R=0.0026, Ω/ω =0.075, Ω²/ω²=0.0056. Estamos no caso r/R< Ω²/ω², ou então, ω²r< Ω²R

A aceleração normal tem o mesmo sinal para qualquer valor de t, e aponta para o Sol. Isto deve ser assim, já que a força de atração da Terra sobre a Lua é oito vezes menor que a força de atração do Sol sobre a Lua, a força resultante e por tanto, a aceleração estão dirigidas para o Sol, a trajetória da Lua não pode formar laços.

Discussão

Quando a Lua se encontra no ponto B, as duas acelerações devidas ao movimento circular da Terra ao redor do Sol e da Lua ao redor da Terra se somam, e apontam para o centro do Sol.

a_n=Ω²R+ω²r

Quando a Lua se encontra em A, as duas acelerações tem sinais contrários

a_n=Ω²R-ω²r

porém como Ω²R>ω²r a aceleração a_n segue apontando para o Sol

Da dinâmica do movimento circular uniforme temos que

A desigualdade  Ω²R>ω²r equivale a

A aceleração devida a atração do Sol, supera a atração da  Terra então, o raio da órbita da Lua ao redor da Terra é maior que o valor crítico

Comprovamos se outros satélites dos planetas do Sistema Solar satisfazem esta condição

• R é o raio da órbita do planeta ao redor do Sol, suposta circular,

• M_s=1.98·10³⁰ kg é a massa do Sol,

• M_T é a massa do planeta

• r é o raio da órbita do satélite ao redor do planeta, suposta circular

Planeta (Satélite)	Dados do planeta	Satélite		Comentário
Terra (Lua)	MT=5.98·1024 kg R=1.496·1011 m	r=384.4·106	260.0·106 m	A Lua "cai" para o Sol
Marte (Deimos)	MT=6.58·1023 kg R=2.28·1011 m	r=23.46·106 m	131.4·106 m	Deimos "cai" para Marte
Júpiter (Calisto)	MT=1.90·1027 kg R=7.78·1011 m	r=1880·106 m	24122·106 m	Calisto "cai" para Júpiter
Saturno (Titán)	MT=5.69·1026 kg R=14.27·1011 m	r=1222·106 m	24185·106 m	Titán "cai" para Saturno
Netuno (Tritón)	MT=1.03·1026 kg R=44.97·1011 m	r=394.7·106 m	32410·106 m	Tritón "cai" para Netuno

A Lua é o único entre todos os satélites dos planetas cujo raio de sua órbita supera o valor limite , o que implica que a aceleração devida a atração do Sol, é maior que a devida ao planeta que órbita. Dizemos que a Lua "cai" para o Sol

Atividades

Introduza

• O quociente r/R (raio da órbita da Lua dividido pelo raio da órbita da Terra), atuando na barra de deslocamento titulada rLua/rTerra.

• O quociente Ω/ω (velocidade angular da Terra dividido pela velocidade angular da Lua em sua órbita a redor da Terra), atuando na barra de deslocamento titulada wTerra/wLua.

Clique no botão titulado Começar

• A velocidade angular da Lua em sua órbita ao redor da Terra foi fixado no valor ω=1.

• O raio da órbita da Terra ao redor do Sol foi fixado no valor R=1.

Observe em cor azul a órbita circular da Terra em cujo centro está o Sol, e em cor vermelha a trajetória da Lua ao redor do Sol para distintos valores dos quocientes r/R e Ω/ω que selecionamos nas barras de deslocamento respectivas.