Dinâmica celeste |
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana
Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:
Autor: (C) Ángel Franco García
Leis de Kepler
Força central e conservativa Equação da trajetória Solução numérica das equações Órbita de transferência Encontros espaciais Trajetória espiral Encontro de uma sonda espacial com Júpiter Órbitas de mesma energia Trajetória de um projétil (I) Trajetória de um projétil (II) Movimento relativo Queda de um satélite em órbita para a Terra. Os anéis de um planeta Movimento sob uma força central e uma perturbação O problema de Euler Viagem a Lua |
Descrição | |
| Um momento culminante na história da Física foi o descobrimento realizado por Isaac Newton da Lei da Gravitação Universal: todos os objetos são atraídos uns aos outros com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros. Ao submeter-se a uma só lei matemática os fenômenos físicos mais importantes do universo observável, Newton demonstrou que a física terrestre e a física celeste são uma mesma coisa. O conceito de gravitação conseguia de um só golpe:
A natureza quadrático inversa da força centrípeta para o caso de órbitas circulares, pode ser deduzida facilmente da terceira lei de Kepler sobre o movimento planetário e da dinâmica do movimento circular uniforme:
Newton comparou a aceleração centrípeta da Lua com a aceleração da gravidade g=9.8 m/s2. A aceleração centrípeta da Lua é ac=v2/r=4p 2r/P2, com r=3.84·108 m e P=28 dias=2.36·106 s, obtemos ac=2.72·10-3 m/s2. Por conseguinte,
Como o raio da Terra é 6.37·106 m, e o raio da órbita da Lua é 3.84·108 m, temos que
Por tanto,
As acelerações de ambos corpos estão na razão inversa do quadrado das distâncias medidas desde o centro da Terra.
DescriçãoNa física anterior a Newton uma maçã cai verticalmente para a Terra em uma trajetória retilínea, enquanto que a Lua descreve uma órbita quase circular, que é uma trajetória fechada.Como estas duas categorias de movimentos podem estar relacionadas? Se a maçã que caía verticalmente é empurrada pela força do ar, sua trajetória já não será retilínea e sim o arco de uma curva. Por exemplo um projétil disparado desde um canhão descreve uma trajetória parabólica tal como foi observada no século XVII em que viveu Newton . O salto conceitual que levou a cabo Newton foi o de imaginar que os projéteis poderiam ser disparados desde o alto de uma montanha descrevendo trajetórias elípticas (sendo a parábola uma aproximação da elipse). Por tanto, a maçã e a Lua estão caindo, a diferença é que a Lua tem um movimento de queda permanente, enquanto que a maçã choca com a superfície da Terra. Uma mesma causa produz, por tanto, os movimentos dos corpos celestes e terrestres. Um desenho que aparece em muitos livros de texto, tomado do livro de Newton "O sistema do mundo", ilustra esta unificação.
"Se consideramos os movimentos dos projéteis poderemos entender facilmente que os planetas podem ser retidos em certas órbitas mediante forças centrípetas; pois uma pedra projetada vai se afastando de seu caminho retilíneo pela pressão de seu próprio peso é obrigada a descrever no ar uma curva, quando em virtude da sua projeção inicial deveria continuar seu caminho reto, em vez de ser finalmente atraída ao solo; quanto maior é a velocidade com a qual foi projetada mais distante atinge, antes de cair na terra. Podemos por isso supor que a velocidade é aumentada até que a pedra descreva um arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1000 milhas antes de cair, de forma que no final, superando os limites da Terra, passará ao espaço sem tocá-la... Na figura, são representadas as curvas que um corpo descreveria se fosse projetado em direção horizontal de cima de uma alta montanha a velocidades cada vez maiores. Posto que os movimentos celestes não são praticamente retardados pela pequena ou nula resistência nos espaços onde tem lugar o movimento, suponhamos, para conservar a analogia dos casos, que na Terra não tem ar, ou ao menos que este está dotado de um poder de resistência nulo ou muito pequeno. Então, pela mesma razão que um corpo projetado com menor velocidade descreve o arco menor e, projetado com maior velocidade, um arco maior, ao aumentar a velocidade, terminará por atingir bastante mais além da circunferência da Terra, retornando a montanha da qual foi projetada. E posto que as áreas descritas pelo movimento do raio traçado desde o centro da Terra são proporcionais ao tempo gasto para descrever, sua velocidade ao retornar a montanha não será menor que no princípio, por que tem a mesma velocidade, descreverá a mesma curva uma e outra vez, obedecendo a mesma lei". Vamos agora variar, a imagem estática por um programa interativo a simulação, que nos ilustra a unificação das causas dos movimentos que ocorrem no espaço exterior e na superfície da Terra.
AtividadesIntroduza
Clique no botão titulado Disparar É representada a trajetória seguida pelo objeto. Se sua trajetória é interceptada com a superfície da Terra, calculamos o alcance ou comprimento do arco do meridiano terrestre compreendido entre a direção radial de disparo, e a direção radial de impacto. Mudamos a velocidade de disparo sem mudar a altura, comparando as distintas trajetórias. Quando acumulamos várias trajetórias podemos limpar a área de trabalho da simulação clicando no botão titulado Apagar.
Exemplos: Comprovamos que um projétil disparado horizontalmente do alto de uma montanha situada no pólo Norte, não pode cair mais além do pólo Sul, como máximo até o ponto G marcado no desenho de Newton. Se lhes proporcionarmos uma velocidade adicional o projétil rodeará a Terra. Para comprovar, introduza os seguintes dados nos respectivos controles de edição
Quando colocamos uma altura grande como 20000 km ou mais vemos uma grande parte da Terra, podemos então representar as distintas trajetórias e reproduzir uma imagem análoga ao desenho de Newton que é mostrado nesta página. Calcular a velocidade de disparo para que o projétil descreva uma trajetória circular Dados:
Quando a altura é pequena, por exemplo 20 km ou menos, a superfície da Terra aparece plana, a trajetória elíptica se aproxima da parábola que descreve um corpo sob a aceleração constante da gravidade. Calculamos o alcance aplicando as equações do tiro parabólico. Um projétil é disparado desde uma altura de h=20 km, com uma velocidade de v=30 m/s, calcular o alcance. Adote g=9.8 m/s2
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El texto entrecomillado y el dibujo de Newton citados en el apartado Descripción han sido tomados del siguiente artículo.
Hernández M.. Fuerza y Movimiento. Revista Española de Física, Vol 10, nº 2, 1996, págs. 44-51.
O descobrimento da
lei da gravitação
