Dinâmica celeste |
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana
Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:
Autor: (C) Ángel Franco García
Leis de Kepler O descobrimento da lei da gravitação Força central e conservativa Equação da trajetória Solução numérica da equação Órbita de transferência
Trajetória espiral Encontro de uma sonda espacial com Júpiter Órbitas de mesma energia Trajetória de um projétil (I) Trajetória de um projétil (II) Movimento relativo Queda de um satélite em órbita até a Terra. Os anéis de um planeta Movimento sob uma força central e uma perturbação O problema de Euler Viagem a Lua |
Movimento dos
planetas Órbita de transferência de Hohmann Esfera de influência de um planeta |
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| O propósito deste programa é o de enviar uma nave espacial desde a Terra a Marte e regressar de novo a Terra seguindo uma trajetória semi-elíptica denominada órbita de transferência de Hohmann. Supomos que as órbitas da Terra e Marte são circulares e que as únicas forças sobre a nave espacial são as devidas a ação do Sol, desprezando as influências mútuas entre planetas e destes com a nave. Primeiro, temos que realizar a viagem de ida da Terra a Marte. Observemos as grandezas das velocidades angulares de ambos planetas. Qual deve ser a distância angular entre a Terra e Marte no momento do lançamento para que a nave chegue a Marte?. Qual planeta deve ir na frente?. Uma vez alcançado o planeta Marte, nós formularemos as mesmas perguntas para realizar a viagem de regresso a Terra.
Movimento dos planetas.
Onde M=1.98·1030 kg é a massa do Sol, G=6.67·10-11 Nm2/kg2, e r é o raio da trajetória circular que descreve o planeta.
Órbita de transferência de Hohmann
Resolvemos o sistema de duas equações com duas incógnitas explicitando v1 e v2
A órbita elíptica que descreve a nave espacial tem um semi-eixo maior a=(r1+r2)=1.885·1011 m e uma excentricidade ε=(r2-r1)/(r2+r1)=0.21
Conhecido o eixo maior da órbita elíptica 2a=r1+r2 utilizamos a terceira lei de Kepler para calcular o período.
Substituindo os dados, P=517.8 dias. Para viajar da Terra a Marte ou de Marte a Terra é empregado justamente a metade do tempo 258.9 dias. Posições dos planetas no momento do lançamento da nave espacialViagem de ida
Suponhamos que a Terra e Marte estão situados tal como é mostrado na figura, quando tem lugar o lançamento da nave espacial nas proximidades da Terra. A nave espacial precisa de 258.9 dias para mover-se da posição inicial mais próxima do Sol (periélio) a seu encontro com Marte, na posição mais distante do Sol (afélio). Durante este tempo o deslocamento angular de Marte é ωm·P/2=2.362 rad=135.3º Onde wm =vm/rm é a velocidade angular de Marte. Para que a nave espacial se encontre com Marte ao cabo de 258.9 dias. No momento do lançamento, Marte devido a sua menor velocidade angular, tem que estar na frente da Terra um ângulo θ=π-ωm·P/2=180º-135.3º=44.7º Marte tem que ir 44.7º na frente da Terra no momento do lançamento da nave espacial nas proximidades da Terra. Viagem de volta
Para a viagem de volta, a Terra e Marte tem que estar adequadamente situados no momento do lançamento da nave espacial nas proximidades de Marte. A nave espacial empregará 258.9 dias para regressar a Terra, durante este tempo a Terra foi deslocada um ângulo ωt·P/2=4.470 rad=256.1º Por tanto, a Terra tem que ir atrás um ângulo de θ=ωt·P/2-π=256.1º-180=76.1º A Terra tem que estar atrás de Marte no momento do lançamento da nave espacial nas proximidades de Marte, um ângulo de 76.1º. Duração da viagem completa A nave espacial sai das proximidades da Terra no instante t=0. A posição inicial é θt=0, e θm=0.780 rad=44.7º. A nave espacial chega nas proximidades de Marte no instante t=258.9 dias. A posição da Terra e de Marte são respectivamente θt=ωt·P/2=4.470 rad=256.1º Para iniciar a viagem de regresso temos que esperar um tempo Δt até que a posição de Marte esteja adiante 76.1º=1.328 rad relativo a Terra. No instante P/2+Δt a posição da Terra e Marte serão, respectivamente θt=ωt·(P/2+Δt) No momento de iniciar o regresso se deve cumprir que θm-1.328+n(2π)=θt onde n é um número de voltas completas, colocando n=1 obtemos o valor mínimo de Δt Δt =445.2 dias O tempo completo da viagem é
Total=963.1 dias A este tempo temos que somar o correspondentes as operações de decolagem e o de aterrissagem na superfície de ambos planetas.
Esfera de influência de um planetaQuando se lança uma nave espacial da Terra para Marte, a nave passa por três etapas distintas:
Foi estudado a segunda etapa, a trajetória semi-elíptica seguida pela nave espacial entre a Terra e Marte na viagem de ida e na viagem de volta. Agora vamos examinar o movimento da nave espacial nas proximidades de ambos planetas. O raio da esfera de influência de um planeta é a distância ao planeta a qual podemos considerar desprezível a atração do planeta em comparação com a força que exerce o Sol e é calculado mediante a fórmula devido a Laplace
sendo d a distância entre o Sol e o planeta considerado, M a massa do planeta, e Ms a massa do Sol. Esfera de influência da Terra Sabendo que a massa da Terra é M=5.98·1024 kg, seu raio RT=6.37·106 m, a distância entre la Terra e o Sol é d=1.496·1011 m e a massa do Sol MS=1.98·1030 kg. O raio de influência da Terra é Re=926.7·106 m ou então 145.5 raios terrestres. O tamanho da esfera de influência da Terra é muito pequeno comparado com a distância entre a Terra e o Sol d=1.49·1011 m=23485 raios terrestres. De modo que a nave espacial seguirá uma trajetória heliocêntrica determinada quase exclusivamente pelas condições iniciais no momento do lançamento e a força de atração do Sol. Na figura, é representada a força que exerce o sol FS e a força que exerce a Terra FT sobre um objeto situado no interior da esfera de influência da Terra, no intervalo -150·RT a 150·RT ao redor do centro da Terra. Como podemos apreciar, a força que exerce o Sol é praticamente constante e igual a que exerce sobre o centro da Terra. A força que exerce a Terra é muito pequena quando o objeto se encontra na borda da esfera de influência, em comparação com a que exerce o Sol, tal como mostram os cálculos mais abaixo.
Por exemplo, se o objeto se encontra a uma distância para Re=145.5·RT =926.7·106 m do centro da Terra, a sua esquerda ou a sua direita. A força que exerce a Terra FT e a que exerce o Sol FS é
Para levar a nave espacial desde a superfície da Terra a extremidade de sua esfera de influência é necessário proporcionar uma velocidade aproximadamente igual a velocidade de escape.
Introduzindo os dados v=11152.2 m/s muito próxima a velocidade de escape ve=11190.7 m/s Esfera de influência de Marte Sabendo que a massa de Marte é M=6.578·1023 kg, seu raio RM=3.394·106 m, a distância entre Marte e o Sol é d=2.28·1011 m e a massa do Sol MS=1.98·1030 kg. O raio de influência de Marte é Re=584.1·106 m ou então 172.1 raios marcianos. O tamanho das esfera de influência de Marte é muito pequeno comparado com a distância entre Marte e o Sol d=2.28·1011 m=67177 raios marcianos. De modo, que a nave espacial seguirá uma trajetória heliocêntrica determinada quase exclusivamente pelas condições iniciais no momento do lançamento e a força de atração do Sol. Na figura, é representada a força que exerce o sol FS e a força que exerce Marte FM sobre um objeto situado no interior da esfera de influência de Marte, no intervalo -175·RM a 175·RM ao redor do centro de Marte. Como podemos apreciar, a força que exerce o Sol é praticamente constante e igual a que exerce sobre o centro de Marte. A força que exerce Marte é muito pequena quando o objeto se encontra na borda da esfera de influência, em comparação com a que exerce o Sol, tal como mostram os cálculos mais abaixo.
Por exemplo, se o objeto se encontra a uma distância para Re=172.1·RM =584.1·106 m do centro de Marte a sua esquerda ou a sua direita. A força que exerce Marte FM e a que exerce o Sol FS é
Para levar a nave espacial da superfície de Marte a extremidade de sua esfera de influência é necessário proporcionar uma velocidade aproximadamente igual a velocidade de escape.
Introduzindo os dados, v=5069.9 m/s
Energia necessária para completar a viagemA velocidade que temos que proporcionar a nave espacial para que chegue a extremidade da esfera de influência da Terra é de 11152.2 m/s Quando lançamos a nave espacial das proximidades do planeta Terra e na direção de seu movimento orbital, temos de incrementar a velocidade da nave em v1-vt=32742.7-29771.6=2971.1 m/s No total temos uma variação de velocidade de Δv1=11152.2+2971.1=14123.3 m/s A nave espacial chega as proximidades de Marte com velocidade v2=21397.6 m/s. No entanto, a velocidade do planeta Marte é vm=24067.3 m/s algo maior. A mudança de velocidade é v2-vm=-2669.7 m/s. A nave espacial vai mais devagar, na frente do planeta e é capturada quando chega a sua esfera de influência. Como a velocidade de escape da superfície de Marte é de 5069.9 m/s, a variação de velocidade que os foguetes retropropulsores da nave espacial tem que realizar é de Δv2=5069.9-2669.7=2400.2 m/s para posar suavemente a nave na superfície de Marte. Os foguetes da nave espacial tem que proporcionar a energia para realizar, a variação de velocidade para a viagem de ida e volta é Δv=2(Δv1+Δv2)=2·16523.5=33047.0 m/s. Quando a nave espacial desce na atmosfera da Terra e de Marte, pode diminuir sua velocidade com a ajuda da força de fricção entre o veículo e os gases da atmosfera, reduzindo a energia necessária nestas duas etapas do vôo.
AtividadesClique no botão titulado Novo, para que os planetas comecem a mover-se descrevendo órbitas circulares. A posição inicial de um planeta é dada por um número aleatório compreendido entre 0 e 360. Clique no botão Pausa, para parar o movimento, examinar as posições angulares dos planetas que são dadas em graus. Verificar se sua diferença é próxima a distância angular entre os dois planetas calculada para o momento do lançamento, a fim de que a nave espacial viagem com sucesso de um planeta ao outro. Clique no botão Continua, para reiniciar o movimento. No caso de que a distância angular entre os dois planetas seja próxima ao valor calculado para o momento do lançamento, clique várias vezes no botão Passo, para mover os planetas passo a passo e aproximarmos da posição desejada. Clique no botão Lançar, para iniciar a viagem da nave espacial entre a Terra e Marte na viagem de ida, ou entre Marte e a Terra na viagem de volta. No caso de não ter sucesso, voltar a repetir a operação de lançamento, examinando previamente as posições angulares, e comparando-as com a distância angular calculada para o momento do lançamento. Na parte direita na simulação, são proporcionados os dados:
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Del apartado "Energía necesaria para completar el viagem"
Stinner A., Bergoray J. Journey to Mars: the physics of travelling to the red planet. Physics Education, 40 (1) January 2005, pp. 35-45.
Encontros espaciais
