Dinâmica celeste |
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana
Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusive nas simulações. A página original, que considero muito boa é:
Autor: (C) Ángel Franco García
Leis de Kepler O descobrimento da lei da gravitação Força central e conservativa
Solução numérica das equações Órbita de transferência Encontros espaciais Trajetória espiral Encontro de uma sonda espacial com Júpiter Órbitas de mesma energia Trajetória de um projétil (I) Trajetória de um projétil (II) Movimento relativo Queda de um satélite em órbita para a Terra. Os anéis de um planeta Movimento sob uma força central e uma perturbação O problema de Euler Viagem a Lua |
Posição e velocidade em coordenadas polares | |||||
| Nesta página, vamos a deduzir passo a passo a equação da trajetória de uma partícula sob a ação de uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância. As forças de interação gravitacional e elétrica são centrais e conservativas. Por tanto, a energia e o momento angular são mantidos constantes em todos os pontos da trajetória
Posição e velocidade em coordenadas polares
A posição do ponto P é x=r·cosq Expressamos a velocidade da partícula em coordenadas polares
vemos que
As componentes do vetor velocidade em coordenadas polares são, por tanto
A energia e o momento angular em coordenadas polaresA expressão da energia em coordenadas polares é
Onde k/r é a energia potencial correspondente a força conservativa F=k/r2. Com k=-GMm se a interação é gravitacional
Expressamos o momento angular L em coordenadas polares
Explicitamos dq /dt na expressão do momento angular e introduzimos na expressão da energia. Temos duas equações
Equação da trajetóriaEliminamos dt entre estas duas equações para obter a equação da trajetória
Para integrar fazemos a mudança u=1/r
Temos uma integral do tipo
com a=L2/(2m), b=k, c=E Fazemos a mudança
Agora, desfazendo as mudanças
Existe duas possíveis soluções segundo o sinal de b ou de k. Se k ou b é positivo
Se k ou b é negativo
Terceira lei de Kepler
Em um pequeno intervalo de tempo o planeta é deslocado v·dt. A área varrida pelo raio vetor r entre os instantes t e t+dt é a área de um triângulo
O momento angular do planeta é L=r´mv. Como a força de atração é central, o momento angular L permanece constante em módulo e direção.
Enquanto o raio vetor varre a área da elipse é A=p ab o planeta gasta um tempo igual ao período de revolução P. De modo que P=2mp ab/L A partir desta relação vamos obter a terceira lei de Kepler.
Eliminando v1 y v2 neste par de equações temos
Da geometria da elipse temos que r1=a+c sendo c a semi-distância focal. A relação entre os semi-eixos maior a e menor b da elipse é a2-b2=c2. Por que o produto r1·r2=b2 O módulo do momento angular L é expresso em termos dos semi-eixos a e b da elipse
Introduzindo o valor de L na fórmula do período P obtemos a terceira lei de Kepler.
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Equação da trajetória
se a interação é do tipo elétrico
