Dinâmica celeste

Dados da Terra, Júpiter e o Sol

A esfera de influência dos planetas

Movimento da Terra e de Júpiter ao redor do Sol

Trajetória de um corpo celeste

Movimento da sonda espacial da Terra até Júpiter

Encontro da sonda espacial com Júpiter

Movimento da sonda espacial na esfera de influência do planeta Júpiter

Trajetória final da sonda espacial

Estudo energético

Atividades

Referências

Até agora foi estudado o movimento dos corpos celestes ao redor de um centro fixo de forças: o Sol, quando é estudado o movimento dos planetas ou a Terra, quando é estudado o movimento dos satélites artificiais.

Nesta página, são combinados os conceitos

• Lei da Gravitação Universal, força de atração
• Dinâmica do movimento circular uniforme
• Força central e conservativa, trajetória dos corpos celestes
• Movimento relativo. Velocidade relativa

para estudar:

• o lançamento da sonda espacial Pioneer 10 até o planeta Júpiter,

• seu encontro com este planeta,

• a trajetória final resultante depois do encontro.

Dados da Terra, Júpiter e o Sol

Para resolver este problema é preciso os seguintes dados:

• a constante da Gravitação Universal, G=6.67310^-11 N²m²/kg²

• massa do Sol, M_S=1.98·10³⁰ kg,
• a massa da Terra, M_T=5.98·10²⁴ kg
• a distância média entre a Terra e o Sol, R_T=1.496·10¹¹ m
• o raio da Terra, r_T=6.37·10⁶ m
• a massa de Júpiter, M_J=1.90·10²⁷ kg
• a distância media entre Júpiter e Sol, R_J=7.78·10¹¹ m
• o raio de Júpiter r_J=6.98·10⁷ m
• uma Unidade Astronômica UA=1.496·10¹¹ m

A esfera de influência dos planetas

Quando é lançada uma sonda espacial da Terra até Júpiter, excluindo a ação dos outros planetas, a sonda passa por três etapas distintas:

• A saída sob a ação da Terra e do Sol, sendo predominante a atração terrestre.
• A fase heliocêntrica, em quase todo o trajeto entre a Terra e Júpiter
• A chegada a Júpiter, a atração de Júpiter predomina sobre a atração do Sol

Sendo d=7.78·10¹¹ m a distância entre o centro do Sol e o centro de Júpiter.

O raio da esfera de influência de um planeta é a distância ao planeta quando podemos considerar desprezível a atração do planeta em comparação com a força que exerce o Sol. É calculada mediante a fórmula devido a Laplace

sendo d a distância entre o Sol e o planeta considerado, M a massa do planeta, e M_s a massa do Sol.

Esfera de influência da Terra

Com os dados, Sabendo que a massa da Terra é M=5.98·10²⁴ kg, seu raio R_T=6.37·10⁶ m, a distância entre a Terra e o Sol é d=1.496·10¹¹ m e a massa do Sol M_S=1.98·10³⁰ kg. O raio de influência da Terra é R_e=926.7·10⁶ m ou então 145.5 raios terrestres. O tamanho da esfera de influência da Terra é muito pequeno comparado com a distância entre a Terra e o Sol d=1.49·10¹¹ m=23485 raios terrestres. De modo que a nave espacial seguirá uma trajetória heliocêntrica determinada quase exclusivamente pelas condições iniciais no momento do lançamento e a força de atração do Sol.

Na figura, são representadas a força que exerce o sol F_S e a força que exerce a Terra F_T sobre um objeto situado no interior da esfera de influência da Terra, no intervalo -150·R_T a 150·R_T ao redor do centro da Terra. Como podemos apreciar, a força que exerce o Sol é praticamente constante e igual a que exerce sobre o centro da Terra. A força que exerce a Terra é muito pequena quando o objeto se encontra na extremidade da esfera de influência, em comparação com a que exerce o Sol, tal como mostram os cálculos mais abaixo.

Por exemplo, se o objeto se encontra a uma distância para R_e=145.5·R_T =926.7·10⁶ m do centro da Terra, a sua esquerda ou a sua direita. A força que exerce a Terra F_T e a que exerce o Sol F_S é

Esfera de influência de Júpiter

Sabendo que a massa de Júpiter é M=1.90·10²⁷ kg, seu raio R_J=6.98·10⁷ m, a distância entre Marte e o Sol é d=7.78·10¹¹ m e a massa do Sol M_S=1.98·10³⁰ kg. O raio de influência de Júpiter é R_e=4.83·10¹⁰ m=691.8 raios de Júpiter. O tamanho da esfera de influência de Júpiter é pequeno comparado com a distância entre Júpiter e o Sol d=7.78·10¹¹ m=11146 raios de Júpiter. De modo, que a nave espacial seguirá uma trajetória heliocêntrica determinada quase exclusivamente pelas condições iniciais no momento do lançamento e a força de atração do Sol.

Na figura, são representadas a força que exerce o sol F_S e a força que exerce Júpiter F_J sobre um objeto situado no interior da esfera de influência de Júpiter, no intervalo -700R_J a 700·R_J ao redor do centro de Júpiter. Como podemos apreciar, a grande extensão da esfera de influência de Júpiter, e a grande massa deste planeta fazem com que a força que exerce o Sol não seja constante e igual a que exerce sobre o centro de Júpiter, se compararmos com o caso da Terra. A força que exerce Júpiter é todavia notável quando o objeto se encontra na extremidade da esfera de influência, em comparação com a que exerce o Sol, tal como mostram os cálculos mais abaixo.

Por exemplo, se o objeto se encontra a uma distância para R_e=4.83·10¹⁰ m=691.8·R_J do centro de Júpiter, a sua esquerda ou a sua direita. A força que exerce Júpiter F_J e a que exerce o Sol F_S é

Os tamanhos das esferas de influência são muito pequenos comparados com a distância entre a Terra e Júpiter. De modo que a sonda espacial seguirá uma trajetória heliocêntrica determinada quase exclusivamente pelas condições iniciais no momento do lançamento e a força de atração do Sol.

Movimento da Terra e de Júpiter ao redor do Sol

Júpiter descreve uma órbita elíptica cujo semi-eixo maior é a=5.203 UA e tem uma excentricidade ε=0.048.

O semi-eixo menor b vale

Tomamos como raio médio R da órbita de Júpiter, a média aritmética R=(a+b)/2=5.20 UA=5.20·1.496·10¹¹ m=7.78·10¹¹ m

Suponha que Júpiter descreve uma órbita circular ao redor do Sol cujo raio R_J é igual ao raio médio R

Aplicamos a equação da dinâmica do movimento circular, para calcular a velocidade VJ do planeta ao redor do Sol.

Explicitando a velocidade V_J do planeta

Supomos igualmente, que a Terra descreve um movimento circular de raio R_T=1UA=1.496·10¹¹ m. Aplicando a dinâmica do movimento circular uniforme para obter a velocidade da Terra V_T em seu movimento de translação ao redor do Sol.

Trajetória de um corpo celeste

Quando uma nave espacial se move sob a ação da força de atração do Sol ou de um planeta, descreve uma trajetória que é uma cônica.

A energia E e o momento angular L são constantes por ser a força de atração central e conservativa

Em qualquer ponto da trajetória, a energia do corpo celeste vale e o momento angular L=m·v·r·senφ

Sendo φ, o ângulo entre a direção da velocidade (tangente a trajetória) e a direção radial, tal como é indicada na figura.

O tipo de trajetória depende do valor e do sinal da energia total E

• Se E<0 a trajetória é elíptica
• Se E=0, a trajetória é parabólica
• Se E>0 a trajetória é hiperbólica

Movimento da sonda espacial da Terra até Júpiter

A sonda tem a velocidade VT de translação da Terra mais uma velocidade adicional v0 na mesma direção que proporcionam seus impulsores. A velocidade total da nave espacial relativo a um Sistema de Referência ligado ao Sol é vT =VT+v0.

Supomos que esta velocidade adicional á a proporcionada quando a sonda está próxima da Terra porém fora de sua esfera de influência.

Conhecida a posição e a velocidade de partida, determinaremos a equação da trajetória heliocêntrica, sob a única influência da força de atração do Sol. A energia total e o momento angular no ponto de partida valem

Se E<0 a sonda espacial descreve uma trajetória elíptica, cujo afélio (máximo distanciamento do Sol) é r_m e cujo periélio (máxima aproximação do Sol) é R_T (o raio da Terra).

Calculamos a velocidade v_m do satélite no afélio sabendo que a energia e o momento angular são constantes em todos os pontos da trajetória.

Se r_m é menor que o raio de Júpiter R_J, a nave espacial não alcança a órbita de Júpiter. Calculamos a velocidade mínima v_T da nave espacial quando é lançada da Terra para que justamente chegue a Júpiter r_m=R_J. Depois de fazer algumas operações chegamos a expressão

Com os dados

• Massa do Sol, M_S=1.98·10³⁰ kg
• Raio da órbita de Júpiter, R_J=7.78·10¹¹ m
• Raio da órbita da Terra R_T=1.496·10¹¹ m

Obtemos v_T=38481.7 m/s. Como a velocidade de translação da Terra ao redor do Sol é V_T=29711.9 m/s, a velocidade adicional que devem proporcionar os impulsores a nave espacial no ponto de partida terá que ser maior que v₀=v_T-V_T=8769.8 m/s.

Encontro da sonda espacial com Júpiter

Calculamos a intersecção da órbita elíptica da sonda espacial com a órbita circular de Júpiter.

Na equação da trajetória em coordenadas polares podemos r=R_J, e explicitamos o ângulo θ.

Como a energia E é constante em todos os pontos da trajetória, obtemos a velocidade v_e da sonda espacial nesta posição de encontro

Da constância do momento angular L obtemos o ângulo φ entre o vetor velocidade e a direção radial (a que une o Sol com o planeta Júpiter)

mR_Tv_T=mv_eR_J·senφ

Tempo do encontro

É um pouco mais complicado calcular o tempo que gasta a sonda espacial para encontrar com o planeta Júpiter, empregando a lei das áreas

O momento angular em coordenadas polares é escrito

Integrando

O primeiro membro, é a área varrida pelo raio vetor quando se move da posição angular θ=0, a posição θ, em cor cinza na figura. Explicitando o tempo t

A área sombreada é a área da porção da elipse compreendida entre x e a menos a área do triângulo de base r·cos(180-θ) e altura r·sen(180-θ).

Sabendo que a equação da elipse é

onde a é o semi-eixo maior da elipse, b o semi-eixo menor, e c a semi-distância focal.

A área da porção da elipse compreendida entre x e a é

Para integrar, fazemos a mudança de variável x=a·sen z. Os novos limites de integração são:

• quando x=a, z₂=π/2,
• quando r·cosθ+c=a·senz₁

A área total é

O instante t_e de encontro é proporcional a área varrida pelo raio vetor.

Conhecido r e θ,  calculamos o semi-eixo maior a, que é a média aritmética dos raios mínimo e máximo da elipse.

A semi-distância focal c=ε·a

O semi-eixo menor b da elipse

Exemplo:

Suponhamos que os impulsores proporcionam a sonda espacial uma velocidade adicional de 9200 m/s no momento de sua partida nas proximidades da Terra. A velocidade da sonda medida do Sistema de Referência ligado ao Sol é v_T=9200+V_T=38911.9 m/s

Calculamos a energia e o momento angular no ponto de partida

E=-125.73·10⁶·m J, L=5.82·10¹⁵·m kgm²/s

A partir destes dados, obtemos o valor do parâmetro p, e a excentricidade ε da elipse.

ε=0.715, p=2.57·10¹¹ m

Calculamos a posição do ponto de intersecção da trajetória elíptica da sonda espacial com a órbita circular de Júpiter, θ_e=159.6º

A constância da energia E nos permite calcular a velocidade da sonda neste ponto de encontro, v_e=9383.2 m/s

A constância do momento angular L nos permite calcular o ângulo que forma esta velocidade com a direção Sol-Júpiter, φ=52.9º

O instante no qual se encontra a sonda com Júpiter é aquele no qual r=R_J=7.78·10¹¹ m e θ=θ_e=159.6º.

Conhecida a equação da elipse em coordenadas polares, calculamos a, b, c e z₁ e introduzimos na expressão do tempo, resultando t_e=682.4 dias

Movimento da sonda espacial na esfera de influência do planeta Júpiter

A sonda espacial entra na esfera de influência do planeta Júpiter. Supomos que a energia potencial devida a força de atração do Sol é praticamente constante em todos os pontos desta esfera, por que a trajetória ulterior da sonda é determinada exclusivamente pela força de atração do planeta Júpiter,  a velocidade inicial e sua direção no momento no qual entra nesta esfera de influência.

Nos situaremos por tanto, em um Sistema de Referência ligado ao planeta Júpiter, calculamos a velocidade inicial e sua direção neste Sistema de Referência.

Seja v_e é a velocidade da sonda espacial medida no S.R. ligado ao Sol, V_J é a velocidade do planeta Júpiter ao redor do Sol. A velocidade w_e da sonda espacial relativo a um S.R. ligado a Júpiter é.

w_e=v_e-V_J

Decompomos as velocidades, na direção radial (Sol-Júpiter) e na direção perpendicular a radial.

w_e·senα=v_e·senφ-V_J
w_e·cosα=v_e·cosφ

Continuando com os dados do tópico anterior, calculamos a velocidade da nave espacial w_e=7926.2 m/s  e sua direção α=-44.4º  relativo a reta que une o Sol com Júpiter, medidos no S.R. ligado a este planeta.

Para determinar a equação da trajetória calculamos a energia Σ e o momento angular Γ da sonda espacial neste novo S.R.

A uma distância de Júpiter igual a seu raio de influência Re=4.83·1010 m a velocidade da sonda espacial é we.

Para calcular o momento angular, necessitamos um dado a mais, o parâmetro de impacto ou a máxima aproximação r_m da sonda espacial ao centro de Júpiter. Escolhemos este segundo parâmetro por ser mais significativo que o primeiro.

Γ=mr_m·w_m·sen90º= mw_m·r_m

Como a energia total Σ é constante em todos os pontos da trajetória, a velocidade máxima da nave espacial no ponto de máxima aproximação é

A energia Σ e o momento angular Γ determinam a equação da trajetória.  A nave espacial descreve uma trajetória hiperbólica aproximando-se do planeta a uma distância r_m, onde alcança a máxima velocidade e logo, sai da região de influência de Júpiter com a mesma velocidade inicial w_e porém girada de certo ângulo como veremos a seguir.

Com os dados do raio de Júpiter r_J=69.8·10⁶ m e da massa de Júpiter M_J=1.90·10²⁷ kg, calculamos a energia total Σ =28.79·10⁶·m J.

Com o dado da distância de máxima aproximação r_m=2.84·r_J raios planetários ou então r_m=198.2·10⁶ m. calculamos a velocidade da sonda nesta posição w_m=36553.8 m/s, e o momento angular Γ= 7.25·10¹²·m kg·m²/s.

Conhecida a energia Σ e o momento angular Γ a equação da trajetória é

O ângulo que forma a direção final da velocidade é calculado colocando r→∞,logo

O ângulo que forma a direção inicial e a direção final da velocidade é 2θ_L-180 tal como podemos ver na figura.

Com os dados anteriores da energia Σ e do momento angular Γ temos que

ε=1.09, y θ_L=156.5º.

Trajetória final da sonda espacial

Uma vez que a sonda espacial saiu da esfera de influência do planeta Júpiter, passemos de novo ao Sistema de Referência situado no Sol.

O eixo da hipérbole tem que girar um certo ângulo para que a velocidade inicial w forme um ângulo α com a reta que une o Sol com o planeta Júpiter, tal como é mostrado na figura. A velocidade final w’ formará um ângulo β=2θ_L-180+α com esta direção.

 A velocidade final v’ da sonda será a soma vetorial

v’=w’+V_J

Decompomos a velocidade, na direção radial (Sol-Júpiter) na direção perpendicular a radial.

v’·sen φ’=w·senβ+V_J
v’·cosφ’=w·cosβ

Com os dados β=2·156.5-180-44.4=88.7º, w=7926.2, e V_J=13028.8 m/s, obtemos

v’=20953.8 m/s
φ’=89.5º

A sonda sai da esfera de influência de Júpiter com velocidade v’, sua distância ao Sol é aproximadamente igual a R_J=7.78·10¹¹ m. A sonda espacial se move sob a ação da força de atração solar. A energia e o momento angular são

L’=mv’R_J·senφ’

Com os dados anteriores, E’=49.8·10⁶·m J e L’=1.63·10¹⁶·m kgm²/s

A trajetória é uma hipérbole, por que a energia é positiva. A sonda espacial se distancia do Sol para não regressar nunca mais.

Estudo energético

Na parte direita na simulação, foi colocada uma barra, que mostra as variações energéticas que experimenta a sonda espacial ao longo de sua trajetória.

Um corpo situado a uma UA do centro do Sol tem uma energia potencial negativa igual a

Para que o corpo saia do Sistema Solar temos de proporcionar uma energia cinética suficiente para que a energia total seja maior ou igual a zero. A velocidade de escape v_e é a velocidade que proporcionamos a um corpo para que chegue ao infinito com velocidade nula.

Não é necessário aportar esta enorme quantidade de energia a sonda espacial para que visite os planetas exteriores e se distancie do Sistema Solar.

Como a sonda espacial se move com a Terra, se lançamos a sonda na direção tangente a órbita circular e no sentido do movimento da Terra, V_T=29711.9 m/s. A velocidade de escape é reduzida

Podemos reduzir um pouco mais a velocidade de lançamento e por tanto, a energia que transportam os impulsores da sonda, se aproveitamos o encontro favorável com um planeta massivo como Júpiter tal como foi estudado nesta página.

Agora então, como foi calculado no princípio desta página, para que a sonda espacial chegue da Terra a órbita de Júpiter é necessário proporcionar uma velocidade superior a 8769.8 m/s

Entre o ponto de partida da sonda espacial, nas proximidades da Terra, e no ponto de chegada nas proximidades de Júpiter, a energia total é mantida constante e seu valor, com os dados, que foi usado, é

E=-125.73·10⁶·m J

Ao sair da esfera de influência de Júpiter, a energia final é

E’=49.8·10⁶·m J≥0

que é mais que suficiente para que a sonda abandone o Sistema Solar.

• Variação de energia

A diferença de energia proveniente do planeta em movimento, cuja velocidade diminuirá de forma desprezível já que sua massa é muito grande comparada com a massa da sonda espacial.

Se a velocidade orbital de Júpiter é 13028.8 m/s, sua massa M_J=1.9·10²⁷ kg, e a massa da sonda espacial é m=260 kg, a mudança de velocidade que experimenta o planeta como conseqüência de seu encontro com a sonda espacial é ΔV_J≈1.84·10^-21 m/s.

• Variação de momento linear

Outra forma de calcular a variação de velocidade é mediante o princípio de conservação do momento linear, já que o sistema formado por Júpiter e a sonda espacial podemos considerar isolado no momento do encontro.

mv’-mv_e=M_JΔv_J

A velocidade inicial ve da sonda espacial ao entrar na esfera de influência de Júpiter é de 9383.2 m/s e o ângulo que forma com a direção Sol-Júpiter é φ=52.9º A velocidade final v’ da sonda ao sair desta esfera é 20953.8 m/s e o ângulo que forma com a direção Sol-Júpiter é de φ’=89.5º

Encontramos as componentes da velocidade na direção radial (Sol-Júpiter) e na direção perpendicular a radial.

m·(v’·cosφ’-v_e·cosφ)=M_J ·Δv_x
m·(v’·senφ’-v_e·senφ)=M_J ·Δv_y

Obtemos aproximadamente o mesmo valor

Atividades

Introduza

• A velocidade em km/s que proporciona os impulsores da sonda no ponto de partida situado próximo da Terra, no controle de edição titulado Velocidade
• A distância de máxima aproximação de Júpiter, medida em raios de Júpiter (69.8·10⁶ m), no controle de edição titulado Dist. Júpiter.

Clique no botão titulado Começar.

A velocidade que introduzida tem que ser menor que 12.0 km/s, para que a sonda siga uma trajetória elíptica.

Observe a trajetória seguida pela nave espacial em seu caminho para Júpiter desde seu lançamento nas proximidades da Terra.  O planeta Júpiter aparece rodeado de um círculo de cor amarela que nos indica o tamanho relativo de sua esfera de influência.

Se a sonda chega a Júpiter, mudamos o Sistema de Referência colocando ligado a este planeta, e observamos a trajetória hiperbólica da nave espacial no interior de sua esfera de influência. Na simulação não é observada toda a trajetória, somente a contida na esfera de raio 60 vezes o raio de Júpiter.

Quando a sonda espacial sai da esfera de influência de Júpiter, mudamos para o Sistema de Referência colocando ligado ao Sol e observamos a trajetória heliocêntrica completa, a inicial desde a Terra até Júpiter e a final desde Júpiter em diante.

Na parte direita na simulação, podemos observar os dados da velocidade da sonda e do ângulo que forma a velocidade com a direção Sol-Júpiter. São indicados também os tempos parciais em cada uma das etapas do movimento.

A barra colorida da direita nos mostra as variações energéticas. A energia potencial é negativa, e a energia cinética é positiva. A energia total (a soma de ambas contribuições) está mostrada por um segmento de cor clara, e seu valor é indicado em milhões de joules, ·10⁶·m J. Sendo m a massa da sonda.

• Velocidade 8.8 km/s
•  Distância de máxima aproximação a Júpiter 38.4 raios do planeta.