Dinâmica celeste

Energia potencial

Pressão no centro da Terra

Momento de inércia

Túnel que atravessa a Terra por um diâmetro

Túnel que atravessa a Terra

Atividades

Referências

A variação da densidade da Terra com o raio é bem conhecida atualmente (veja o artigo citado nas referências). A densidade aumenta ao diminuir o raio, experimentando um mudança brusca para r_c=3490 km ou r_c/R=0.548. O interior da Terra é  dividido em duas partes: o núcleo uma esfera de raio r_c e o manto, uma camada esférica de raio interno r_c e externo R.

Uma das conseqüências mais surpreendentes é que, a aceleração da gravidade aumenta com a profundidade até alcançar um máximo e logo, diminui.

Vamos estudar um modelo de Terra que consta de um núcleo de raio r_c=3490 km e densidade constante ρ_c=11.0 g/cm³ e um manto de raio interior r_c e raio externo R=6371 km de densidade constante ρ_m=4.437 g/cm³.

Naturalmente, ρ_c, ρ_m e a densidade média ρ=5.517 g/cm³ estão relacionadas mediante a equação

Variação da aceleração da gravidade g com o raio r

Na página titulada “Aceleração da gravidade” demonstramos que a aceleração da gravidade g em um ponto P no interior de uma distribuição esférica de massa, é devida somente a massa contida na esfera de raio r<R, é calculada mediante a fórmula

• A aceleração da gravidade em um ponto situado no interior do núcleo r<r_c

g=19.577 (r/R) m/s²

• A aceleração da gravidade em um ponto situado no interior do manto r_c<r<R

g=1.920(R/r)²+7.898(r/R) m/s²

• A aceleração da gravidade em um ponto situado no exterior da Terra r>R

g=9.82(R/r)² m/s²

tal como foi calculado na página titulada "Aceleração da gravidade"

Na figura, é mostrada a dependência do módulo de g com o quociente r/R (em cor vermelha) e é comparado com o valor de g em função de (r/R) supondo a Terra homogênea (em cor azul), de densidade constante e igual a densidade média

A aceleração da gravidade cresce linearmente com o raio r, no núcleo para r<r_c. No manto g varia relativamente pouco, diminuindo no início e aumentando no final, tal como vemos com mais detalhes na figura inferior.

Calculamos o valor mínimo da aceleração da gravidade no manto, derivando g com relação a r e igualando a zero.

Em uma primeira aproximação, podemos tomar a aceleração da gravidade no manto como constante e igual ao valor médio (reta de cor azul).

Energia potencial

Uma partícula de massa m experimenta uma força F=mg dirigida radialmente para o centro da Terra. A energia potencial E_p(r)  correspondente a esta força conservativa é calculada do seguinte modo

Tomamos como nível zero de energia potencial E_p(∞)=0

• Energia potencial da partícula para r>R

Para r>R, a expressão da força sobre a partícula é

A expressão da energia potencial neste intervalo é

• Energia potencial da partícula para r_c<r<R

A expressão da força sobre a partícula nesta região é

A expressão da energia potencial neste intervalo é

Para obter esta expressão, foi empregada a relação entre as densidades do manto ρ_m, núcleo ρ_c e média ρ.

• Energia potencial da partícula para 0<r<r_c

A expressão da força sobre a partícula nesta região é

A expressão da energia potencial neste intervalo é

Na figura, está representada a energia potencial E_p(r) (em cor vermelha) em função do quociente (r/R), e comparamos com a energia potencial correspondente ao modelo de Terra homogênea (em cor azul).

O princípio de conservação da energia

Conhecida a posição r₀ inicial e a velocidade inicial v₀ da partícula, calculamos a velocidade v da partícula para uma determinada posição r.

Para um determinado valor da energia total, uma partícula que atravesse a Terra através de um de seus diâmetros alcançará uma velocidade maior, para uma determinada distância ao centro, no modelo de duas camadas, que no modelo de Terra homogênea.

Pressão no centro da Terra

A equação fundamental da hidrostática é

Na página titulada "A aceleração da gravidade" calculamos a pressão no centro da Terra supondo que a densidade da Terra é constante e igual a densidade média. A pressão no modelo mais realista de núcleo mais manto ambos de densidade constante é

onde p₀=1.013·10⁵ Pa é a pressão para r=R logo, a pressão atmosférica, que é desprezível frente a pressão criada no centro pelo manto e o núcleo.

p=3.29·10¹¹ Pa

Aproximação

Se considerarmos a aceleração da gravidade constante no manto e igual a seu valor médio g_m. A expressão para a pressão p no centro da Terra é muito mais simples.

p=3.28·10¹¹ Pa

Momento de inércia

O momento de inércia é um parâmetro muito importante no estudo do movimento da Terra.

Consideramos a distribuição esférica de massa M e raio R, dividida em camadas esféricas de raio x e de espessura dx. Cada camada esférica por sua vez, a dividimos em anéis de raio variável x·senθ. A massa contida no anel é dm=ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx.

O momento de inércia do anel relativo ao eixo de rotação Z é

(xsenθ)²·dm

Integramos com relação ao ângulo θ para calcular o momento de inércia da capa esférica de raio x e de espessura dx, relativo ao eixo de rotação Z.

O momento de inércia do núcleo com relação ao eixo Z é

O momento de inércia do manto relativo ao eixo Z é

O momento de inércia da Terra relativo ao eixo Z é

I=I_c+I_m=9.543·10³⁶+7.412·10³⁷=8.366·10³⁷ kgm²=0.345·MR²

Sendo M=5.98·10²⁴ kg a massa da Terra, e R=6.371·10⁶ m o raio da Terra

O momento de inércia de uma distribuição esférica e homogênea de massa é I=2MR²/5=0.40MR²

Túnel que atravessa a Terra por um diâmetro

Construímos um túnel que atravessa a Terra por um de seus diâmetros. Vamos estudar o movimento de uma partícula de massa m que é solta em um extremo do túnel. Calcularemos o tempo que gasta para completar uma oscilação.

A força que exerce a Terra sobre uma partícula de massa m é mg, dirigida radialmente para o centro da Terra, sua aceleração é g.

• A equação do movimento da partícula quando se encontra no manto r_c<x<R é

A partícula parte da posição x=R com velocidade nula dx/dt=0, chega ao núcleo, x=r_c no instante t_m com velocidade -v_m.

Para calcular v_m aplicamos o princípio de conservação da energia.  A partícula parte do repouso desde um ponto que dista r=R do centro da Terra e chega a um ponto no interior do manto que dista r centro da Terra, com velocidade v.

Quando chega no limite entre o manto e o núcleo, r=r_c,

Para chegar a esta expressão foi empregada a relação entre as densidades do manto ρ_m, núcleo ρ_c e média ρ.

Com os dados:

• G=6.67·10^-11 N·m²/kg²,

• Densidade do núcleo ρ_c=11000 kg/m³,

• Densidade do manto ρ_m=4437 kg/m³,

• Raio do núcleo r_c=3.490·10⁶ m

• Raio da Terra R=6.371·10⁶ m

Obtemos v_m=7444.3 m/s

Para obter o tempo t_m, resolvemos a equação diferencial de segunda ordem por procedimentos numéricos

• A equação do movimento no núcleo é

No núcleo a partícula descreve um MHS cuja freqüência angular é

ω=0.00175 rad/s

A solução da equação diferencial do movimento é

x=Asen(ωt)+Bcos(ωt)
dx/dt=Aωcos(ωt)-Bωsen(ωt)

Os coeficientes A e B são determinados a partir das condições iniciais

Coloquemos o contador de tempo parcial em zero t=0, x=r_c, dx/dt=-v_m.

O tempo gasto para chegar ao centro da Terra x=0 é

A velocidade que alcança ao chegar ao centro da Terra é

    

Para obter a expressão anterior foi empregado as relações trigonométricas

Obtemos esta velocidade aplicando o princípio de conservação da energia. A partícula parte do repouso desde um ponto que dista r=R do centro da Terra e chega a um ponto no interior do núcleo que dista r centro da Terra, com velocidade v.

A velocidade quando passa pelo centro da Terra, para r=0 é

Com os dados do modelo da Terra: t_c=392.4 s, v=9635.9 m/s

Completamos um quarto de oscilação no tempo t_m+t_c. O período de uma oscilação é P=4(t_c+t_m)

Aproximação para o movimento da partícula no manto

Descrevemos de forma aproximada o movimento da partícula, supondo que a aceleração da gravidade no manto é constante e igual ao valor médio g_m.

No manto o movimento da partícula é retilíneo uniformemente acelerado

Chega ao núcleo x=r_c no instante t_m com velocidade -v_m.

Sabendo que a aceleração da gravidade média no manto é g_m=9.57 m/s², a velocidade da partícula quando alcança o núcleo é v_m=7424.5 m/s, um valor próximo ao calculado mediante o princípio de conservação da energia ou resolvendo a equação diferencial do movimento por procedimentos numéricos.

• O tempo gasto para chegar ao núcleo desde que é solta no extremo do túnel é t_m=775.9 s

• O tempo gasto para chegar a origem através do núcleo é t_c=393.2 s

A partir daqui, a partícula descreve um MHS, até que chega a fronteira entre o núcleo e o manto x=-r_c, com velocidade –v_m. No manto é freada a partícula até que chega a x=-R em repouso, completando meio ciclo de oscilação. O período P=4(t_c+t_m)=4676.4 s=77.9 min

Túnel ao longo de uma corda

Construímos um túnel ao longo de uma corda que dista d do centro da Terra A força que move a partícula ao longo do túnel é a componente (em cor azul) mg·cosθ=mg·x/r. Sendo r a distância entre o centro da Terra e a partícula r2=x2+d2.

• A equação do movimento da partícula no manto é

A partícula parte da posição com velocidade nula dx/dt=0, chega ao núcleo, no instante t_m com velocidade -v_m, que é calculada resolvendo a equação diferencial de segunda ordem por procedimentos numéricos.

Aplicando o princípio de conservação da energia obtemos o mesmo valor para v_m que é calculado para d=0, logo, v_m=7444.3 m/s, já que a partícula parte do repouso desde uma posição que dista R do centro da Terra e chega a uma posição que dista r_c do centro da Terra.

• A equação do movimento no núcleo é

No núcleo, a partícula descreve um MHS cuja freqüência angular é a mesma que a calculada no tópico precedente

A solução da equação diferencial do movimento é

x=Asen(ωt)+Bcos(ωt)
dx/dt=Aωcos(ωt)-Bωsen(ωt)

Os coeficientes A e B é determinada a partir das condições iniciais

Coloquemos o contador de tempo parcial em zero t=0, , dx/dt=-v_m.

O tempo gasto para chegar a origem x=0 é

O tempo que passa a partícula no interior do núcleo 4·t_c, vai diminuindo a medida que aumenta d.

Aplicando o princípio de conservação da energia calculamos a velocidade com a qual chega a partícula a origem. A partícula parte do repouso desde uma posição que dista R do centro da Terra e chega a uma posição que dista d do centro da Terra.

Por exemplo se d=0.2R=1.274·10⁶ m, v=9373.4 m/s

A partir daqui, a partícula descreve um MHS, até que chega a fronteira entre o núcleo e o manto , com velocidade –v_m. No manto, é freada a partícula até que chega a em repouso, completando meio ciclo de oscilação.  O período é P=4(t_c+t_m)

Aproximação

Se tomamos a aceleração da gravidade no manto constante g_m, a componente da força sobre a partícula ao longo do túnel -g_m·x/r deixa de ser constante. Por que a equação do movimento é integrada aplicando procedimentos numéricos.

Caso particular d>r_c

A partícula não toca o núcleo, seu movimento transcorre no manto. A equação do movimento da partícula no manto é

A partícula parte da posição com velocidade nula dx/dt=0, e chega a origem  x=0, no instante t_m com velocidade -v_m, que é calculada resolvendo a equação diferencial de segunda ordem por procedimentos numéricos. O período é P=4·t_m

Aplicando o princípio de conservação da energia calculamos a velocidade com a qual chega a partícula a origem. A partícula parte do repouso desde uma posição que dista R do centro da Terra e chega a uma posição que dista d do centro da Terra no interior do manto.

Para chegar a esta expressão foi empregada a relação entre as densidades do manto ρ_m, núcleo ρ_c e média ρ.

Por exemplo se d=0.6R=3.823·10⁶ m, v=6965.3 m/s

Atividades

Introduza

A distância d, do túnel ao centro da Terra, atuando na barra de deslocamento titulada Distância ao centro

Observe o movimento da partícula no túnel que atravessa a Terra, quando parte do repouso em um dos extremos do túnel. Uma flecha indica a componente da força de atração sobre a partícula ao longo do túnel.

Representamos a função energia potencial Ep(r) no núcleo e no manto. A energia total uma reta horizontal de cor preta, a energia total é negativa e é o segmento AB A energia potencial um segmento vertical AC de cor vermelha, A energia cinética um segmento vertical BC de cor azul A inclinação da curva variando de sinal, nos proporciona o valor e sentido da força de atração que exerce a Terra sobre a partícula, uma flecha horizontal de cor azul.

São proporcionados os dados do

• Tempo t, em minutos
• A posição x/R ao longo do túnel, uma fração do raio R da Terra
• A velocidade v da partícula em m/s

Os dados do modelo do interior da Terra são:

• G=6.67·10^-11 N·m²/kg²,

• Densidade do núcleo ρ_c=11000 kg/m³,

• Densidade do manto ρ_m=4437 kg/m³,

• Raio do núcleo r_c=3.490·10⁶ m

• Raio da Terra R=6.371·10⁶ m