Dinâmica celeste

O ponto P está no exterior da esfera de raio R.

Energia potencial

Pressão no centro da Terra

A aceleração da gravidade em um ponto P situado a uma distância r da massa pontual M se define como a força sobre a unidade de massa, situada neste ponto. É um vetor de módulo

direção radial, e sentido para a massa pontual M, tal como é mostrada na figura.

Nesta página, vamos calcular a aceleração da gravidade em um ponto P situado a uma distância r do centro de uma distribuição esférica e uniforme de massa de raio R.

O ponto P está no exterior da esfera de raio R.

Suponhamos que o ponto P está situado a uma distância r>R ao longo do eixo Z do centro de um planeta de massa M. Dividimos a esfera em discos (de cor azul claro) de raio variável y de espessura dz, tal como é mostrada na figura. Para calcular a força que exerce um destes discos sobre a unidade de massa situada em P, dividimos cada disco em anéis (em cor amarela) de raio x, de largura dx e espessura dz.

Por simetria, como vemos na figura, as componentes horizontais (ao longo do eixo X e Y) da força que exercem os elementos de massa do anel (considerados como massas pontuais, em cor vermelha) são anuladas de duas em duas, ficando somente a componente Z da força resultante que exerce a massa contida no anel.

Se ρ é a densidade constante da distribuição esférica e uniforme de massa. A massa contida no anel é ρ·(2πx·dx)·dz.  A força resultante que exerce a massa contida no anel sobre a unidade de massa situada em P é

Integramos relativo a variável x, entre os limites 0 e y para calcular a resultante das forças em P devidas a distribuição de massa contida pelo disco de raio y e de espessura dz.

Relacionamos a variável y e z para integrar relativo a variável z entre os limites –R e +R

z²+y²=R²

A aceleração da gravidade no ponto P, será obtida integrando

Integrando por partes o terceiro termo entre parentesis

Em vez de dividir a esfera em discos de raio variável y e espessura dz, podemos dividir a esfera em capas esféricas concêntricas de raio x e de espessura dx.

Esta capa dividimos em anéis. Por simetria, como vemos na figura, as componentes horizontais (ao longo do eixo X e Y) da força que exercem os elementos de massa do anel (considerados como massas pontuais, em cor vermelha) são anuladas de duas em duas, ficando somente a componente Z da força resultante que exerce a massa contida no anel.

Se ρ é a densidade constante da distribuição esférica e uniforme de massa. A massa contida no anel é ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx.  A força resultante que exerce a massa contida no anel sobre a unidade de massa situada em P

Integramos relativo a variável θ, entre os limites 0 e π para calcular a força sobre a unidade de massa situada em P exercida pela distribuição de massa contida na capa esférica de raio x e de espessura dx.

A primeira integral é imediata, integramos por partes a segunda. O resultado é

Esta expressão nos da a aceleração da gravidade produzida por uma capa esférica de raio x e de espessura dx em um ponto P situado a uma distância r>x do centro da capa esférica.

Calculamos a força exercida pela esfera de massa M sobre a unidade de massa situada em P, somando a força que exerce cada uma das capas esféricas na qual foi dividida a esfera. O módulo da aceleração da gravidade vale.

Se temos em conta que o vetor g aponta para o centro da Terra

O ponto P está no interior da esfera de raio R.

O ponto P está a uma distância r<R do centro da esfera. Dividimos a esfera em duas, uma esfera oca de raio interior r e raio exterior R, e uma esfera maciça de raio r.

Força que exerce a esfera interior

A força que exerce a distribuição de massa contida na esfera maciça de raio r sobre a unidade de massa situada no ponto P a uma distância r do centro, foi calculada no tópico anterior, somente temos de mudar o limite superior da integral R por r.

Voltamos a calcular a força que exerce uma capa esférica de raio r<x<R e de espessura dx, sobre a unidade de massa situada em P. Agora então, a força em P devida a massa contida nos anéis que está acima de P tem a direção do eixo Z e sentido positivo, enquanto que a força em P devida aos anéis que estão por baixo de P tem a mesma direção porém sentido contrário.

Porção da capa esférica acima de P

Se ρ é a densidade constante da distribuição esférica e uniforme de massa. A massa contida no anel é ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx.  A força resultante que exerce a massa contida no anel sobre a unidade de massa situada em P

Integramos relativo a variável θ, entre os limites 0 e θp=arccos(r/x) para calcular a força sobre a unidade de massa situada em P exercida pela porção de capa esférica de raio x e de espessura dx que está acima de P.

A segunda integral é imediata, integramos a primeira por partes. O resultado é

Porção da capa esférica abaixo de P

Se ρ é a densidade constante da distribuição esférica e uniforme de massa. A massa contida no anel é ρ·(2πxsenθ)·(x·dθ)·dx.  A força resultante que exerce a massa contida no anel sobre a unidade de massa situada em P

Integramos relativo a variável θ, entre os limites θ_p=arccos(r/x) e π para calcular a força sobre a unidade de massa situada em P exercida pela distribuição de massa contida na capa esférica de raio x e de espessura dx.

A primeira integral é imediata, integramos a segunda por partes. O resultado é

Como a força exercida em P pela distribuição de massa contida em  a parte da capa semi-esférica que está acima de P e a força exercida em P pela distribuição de massa contida pela parte da capa semi-esférica que está abaixo de P tem o mesmo valor porém sinais contrários. A força resultante em P devida a capa semi-esférica completa de raio x e de espessura dx é zero.

Por tanto, a força exercida sobre a unidade de massa situada em P pela distribuição de massa contida na esfera oca de raio interior r e exterior R é zero.

A força exercida sobre a unidade de massa situada em P a uma distância r do centro da esfera de raio R, somente é devida a distribuição de massa contida na esfera maciça de raio r<R

Se temos em conta que o vetor g aponta para o centro da Terra

               r<R

A aceleração da gravidade g aumenta linealmente de 0 a GM/R², no interior de uma distribuição esférica e uniforme de massa M e raio R. No exterior desta distribuição, a aceleração da gravidade diminui e proporção inversa ao quadrado da distância ao centro desta distribuição GM/r²

Na figura, é mostrado o gráfico do módulo da aceleração da gravidade g em função do quociente r/R para o planeta Terra, G=6.67·10^-11 Nm²/kg², R=6.37·10⁶ m, M=5.98·10²⁴ kg. A aceleração da gravidade na superfície da Terra vale g=9.83 m/s²

Energia potencial

Uma partícula de massa m experimenta uma força F=mg. A energia potencial E_p(r)  correspondente a esta força conservativa é calculada do seguinte modo

Tomamos como nível zero de energia potencial E_p(∞)=0

• Energia potencial da partícula para r>R

Para r>R, a expressão da força sobre a partícula é F(r)=-GMm/r²

• Energia potencial da partícula para r<R

Para r<R, a expressão da força sobre a partícula é F(r)=-GMmr/R³

Na figura, é representada a energia potencial E_p(r) em função do quociente (r/R)

O princípio de conservação da energia

Conhecida a posição r₀ inicial e a velocidade inicial v₀ da partícula, calculamos a velocidade v da partícula para uma determinada posição r.

Exemplo: Escavamos um túnel através do diâmetro da Terra, e soltamos uma partícula de massa m em um de seus extremos. Determinamos a velocidade da partícula quando se encontra a uma distância r do centro da Terra

Igualamos a energia na posição inicial r=R, v=0, com a energia na posição considerada r.

Quando passa pelo centro da Terra r=0, v=7913.0 m/s.

Os dados são: massa da Terra M=5.98·10²⁴ kg, raio da Terra R=6.37·10⁶ m, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Pressão no centro da Terra

Consideremos um elemento de volume (em cor vermelha) de área dA e de espessura dr. As forças sobre o elemento de massa dm=ρ·dA·dr são

A força de atração, dirigida para o centro da Terra dm·g(r). Onde g(r) é a aceleração da gravidade a uma distância r do centro da Terra A força que exerce a distribuição esférica de massa sobre a cara inferior do elemento de volume p(r)·dA A força que exerce a distribuição esférica de massa sobre a cara superior do elemento de volume p(r+dr)·dA

No equilíbrio

p(r)·dA-p(r+dr)·dA-g(r)·dm=0

A equação fundamental da hidrostática é

dp=-ρg(r)dr

A pressão a uma distância r do centro da Terra é

onde p₀=1.013·10⁵ Pa é a pressão para r=R logo, a pressão atmosférica

No centro da Terra r=0.

Com G=6.67·10^-11 Nm²/kg², R=6.37·10⁶ m, M=5.98·10²⁴ kg

A pressão atmosférica é desprezível frente a pressão no centro de uma distribuição esférica e uniforme de massa.